Estatística Básica - Bussab e Morettin (2017)
Comandos R para análises estatísticas
Capítulo 12: Testes de Hipóteses
Exemplo 12.1
Os parafusos têm resistência média de 145kg, com desvio padrão de 12kg para o país A e média de 155kg com desvio padrão de 20kg para o país B:
| País | Média | Desvio Padrão |
|---|---|---|
| A | 145kg | 12kg |
| B | 155kg | 20kg |
Na amostra temos a média de 25 parafusos e gostaríamos de testar as seguintes hipóteses:
H0: Os parafusos são de origem B
H1: Os parafusos são de origem A
Sob H0, temos que \(\overline{X}\sim N(155,16)\). Logo:
\(\mathbb{P}(\text{Erro I})=\mathbb{P}(\overline{X}\le 150 | \overline{X}\sim N(155,16))=\)pnorm(q=150, mean=155, sd=4)= 0.10565
Se, por outro lado tivermos H1 verdadeira, temos que \(\overline{X}\sim N(145,12^2/25)\). Logo:
\(\mathbb{P}(\text{Erro II})=\mathbb{P}(\overline{X} > 150 | \overline{X}\sim N(145,5.76))=\)1 - pnorm(q=150, mean=145, sd=12/5)= 0.01861
Assim:
Quadro 12.1: Resumo do teste \(H_0: \mu=155,H_1:\mu=145\),com RC=\(]-\infty;150]\).
| Origem \ Decisão | Decisão:A | Decisão: B |
|---|---|---|
| Origem: A | Sem Erro | \(\beta\)=1.88% |
| Origem: B | \(\alpha\)=10.56% | Sem Erro |
Se calcularmos as mesmas quantidades com \(\overline{x}_c\)=148.75 como sugerido, teremos:
\(\mathbb{P}(\text{Erro I})=\mathbb{P}(\overline{X}\le 148.75 | \overline{X}\sim N(155,16))=\)pnorm(q=148.75, mean=155, sd=4)= 0.05909
\(\mathbb{P}(\text{Erro II})=\mathbb{P}(\overline{X} > 150 | \overline{X}\sim N(145,5.76))=\)1 - pnorm(q=148.75, mean=145, sd=12/5)= 0.05909
Se, por outro lado, quisermos saber qual o valor de \(\overline{x}_c\) de tal maneira a obtermos \(\alpha\)=5%, utilizamos a função qnorm, como já vimos anteriormente:
qnorm(p = 0.05, mean=155, sd =4)## [1] 148.42o que resulta em \(\overline{x}_c\)=148.42 e:
\(\beta=\mathbb{P}(\text{Erro II})=\mathbb{P}(\overline{X} > 148.42 | \overline{X}\sim N(145,5.76))=\)1 - pnorm(q=148.42, mean=145, sd=12/5)= 0.07708
x<-seq(125,167,0.1) # eixo X do gráfico
regiao1=seq(148.42,167,0.01) # Regiao a ser sombreada na figura
cord.x <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1)) # coordenadas X da regiao
cord.y <- c(0,dnorm(regiao1,mean=145,sd=5.76),0) # coordenadas Y da regiao
curve(dnorm(x,mean=145,sd=5.76),xlim=c(125,167),ylim=c(0,0.12),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="black",lwd=2, xaxt='n') # Curva da distribuicao normal
polygon(cord.x,cord.y,col='orange2') # plotando a regiao
lines(x=c(145,145),y=c(0,dnorm(145,145,5.76)),col="gray",lty=2) # linha vertical da media
par(new=TRUE) # inserindo a segunda curva
regiao2=seq(125,148.42,0.01) # Regiao a ser sombreada na figura
cord.x <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y <- c(0,dnorm(regiao2,mean=155,sd=4),0)
curve(dnorm(x,mean=155,sd=4),xlim=c(125,167),ylim=c(0,0.12),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="black",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x,cord.y,col='lightblue3')
lines(x=c(155,155),y=c(0,dnorm(155,155,4)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(145,148.42,155), labels = c("145","148.42","155")) # 'labels' do eixo X
legend("topleft", legend=c("RC=5%", "Poder=7.93%"), pch=c(15,15), col=c("lightblue3","orange2"), cex=2, bty = "n") # legenda
Figura 12.2: Ilustração de erros do tipo I e II para o Exemplo 12.1.
x<-seq(125,167,0.1)
regiao1=seq(125,148.42,0.01) # Regiao a ser sombreada na figura
cord.x <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.y <- c(0,dnorm(regiao1,mean=155,sd=4),0)
curve(dnorm(x,mean=155,sd=4),xlim=c(125,167),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="black",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x,cord.y,col='lightblue3')
lines(x=c(155,155),y=c(0,dnorm(155,155,4)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(148.42,155), labels = c("148.42","mu=155"))
par(new=TRUE)
# Curva tracejada
curve(dnorm(x,mean=148.42,sd=3),xlim=c(125,167),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="gray",lty=2, lwd=2, xaxt='n')
par(new=TRUE)
# Curva tracejada
curve(dnorm(x,mean=145,sd=3),xlim=c(125,167),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="gray",lty=2, lwd=2, xaxt='n') 
Figura 12.3: Teste \(H_0: \mu=155\) vs \(H_1:\mu< 155\),com RC=\(]-\infty;148.42]\).
Para calcular regiões críticas bilaterais, basta dividirmos a probabilidade do erro I, \(\alpha\), por 2, para que a RC seja simétrica a média:
\[ 0.05=\mathbb{P}(\text{Erro I})=\mathbb{P}(\overline{X} < \overline{x}_{c1} \text{ ou } \overline{X} > \overline{x}_{c2}| \overline{X}\sim N(155,16)). \] Teremos então:
qnorm(p=0.05/2, mean=155, sd=4)= 147.16014qnorm(p=1-0.05/2, mean=155, sd=4)= 162.83986
x<-seq(130,190,0.1)
regiao2=seq(130,147.16,0.01)
regiao1=seq(162.84,190,0.01)
cord.x1 <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.x2 <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y1 <- c(0,dnorm(regiao1,mean=155,sd=4),0)
cord.y2 <- c(0,dnorm(regiao2,mean=155,sd=4),0)
curve(dnorm(x,mean=155,sd=4),xlim=c(125,190),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x1,cord.y1,col='lightblue3')
polygon(cord.x2,cord.y2,col='lightblue3')
lines(x=c(155,155),y=c(0,dnorm(155,155,4)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(147.16,155,162.84),
labels = c("X_c1","155","X_c2"))
par(new=TRUE)
# Curva tracejada
curve(dnorm(x,mean=145,sd=4.5),xlim=c(130,190),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="gray",lty=2, lwd=2, xaxt='n')
par(new=TRUE)
# Curva tracejada
curve(dnorm(x,mean=140,sd=3),xlim=c(130,190),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="gray",lty=2, lwd=2, xaxt='n')
par(new=TRUE)
# Curva tracejada
curve(dnorm(x,mean=170,sd=3),xlim=c(130,190),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="gray",lty=2, lwd=2, xaxt='n')
par(new=TRUE)
# Curva tracejada
curve(dnorm(x,mean=175,sd=4.5),xlim=c(130,190),ylim=c(0,0.15),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",col="gray",lty=2, lwd=2, xaxt='n') 
Figura 12.4: Teste \(H_0: \mu=155\) vs \(H_1:\mu \ne 155\).
Exemplo 12.2
Neste exemplo, temos \(\mu=500g\) e \(\sigma^2=400g^2\). com uma amostra de 16 pacotes e $]overline{x}=492g. Queremos testar \(H_0:\mu=500g\) vs \(H_1:\mu\ne 500g\). Logo, sob \(H_0\), temos que \(\overline{X}\sim N(500,400/16)\). Então, ao nível $=$1%:
qnorm(p=0.01/2, mean=500, sd=5)= 487.12085qnorm(p=1-0.01/2, mean=500, sd=5)= 512.87915
A esta altura, o leitor pode facilmente escrever uma função para calcular as regiões críticas e imprimir os gráficos:
RC<-function(tipo="bilateral",x_min=NA,x_max=NA, media, desvpad, alpha, grafico=TRUE){
# 'x_min' e 'x_max' são os valores maximo e mínimo do grafico
# 'tipo' é o tipo de teste. Pode ser 'bilateral', 'superior' ou 'inferior'
# 'media' e 'desvpad' são a média e desvio padrao sob H0
# alpha é o nível de significancia
# Se grafico == TRUE plota o grafico, caso contrario apenas retorna o valor de Xc.
if (grafico == TRUE){
x<-seq(x_min,x_max,0.1)
if (tipo == "bilateral"){
regiao1=seq(x_min,qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad),0.001)
regiao2=seq(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad),x_max,0.001)
cord.x1 <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.x2 <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y1 <- c(0,dnorm(regiao1,mean=media,sd=desvpad),0)
cord.y2 <- c(0,dnorm(regiao2,mean=media,sd=desvpad),0)
curve(dnorm(x,mean=media,sd=desvpad),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x1,cord.y1,col='lightblue3')
polygon(cord.x2,cord.y2,col='lightblue3')
lines(x=c(media,media),y=c(0,dnorm(media,media,desvpad)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad), media, qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad)),
labels = round(c(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad), media, qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad)),3))
writeLines(paste("RC:(-infinito; ",round(qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad),3),"] + [",round(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad),3),"; +infinito)",sep=""))
return(c(qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad),qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad)))
}
else if (tipo == "superior"){
regiao2=seq(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad),x_max,0.001)
cord.x2 <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y2 <- c(0,dnorm(regiao2,mean=media,sd=desvpad),0)
curve(dnorm(x,mean=media,sd=desvpad),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x2,cord.y2,col='lightblue3')
lines(x=c(media,media),y=c(0,dnorm(media,media,desvpad)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad),media),
labels = round(c(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad),media),3))
writeLines(paste("RC:[",round(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad),3),"; +infinito)",sep=""))
return(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad))
}
else if (tipo == "inferior"){
regiao1=seq(x_min,qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad),0.001)
cord.x1 <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.y1 <- c(0,dnorm(regiao1,mean=media,sd=desvpad),0)
curve(dnorm(x,mean=media,sd=desvpad),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x1,cord.y1,col='lightblue3')
lines(x=c(media,media),y=c(0,dnorm(media,media,desvpad)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(media,qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad)),
labels = round(c(media,qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad)),3))
writeLines(paste("RC:(-infinito; ",round(qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad),3),"]",sep=""))
return(qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad))
}
else {
writeLines("'tipo' deve ser 'bilateral', 'superior' ou 'inferior'.")
return(0)
}
}
else{
if (tipo == "bilateral"){
writeLines(paste("RC:(-infinito; ",round(qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad),3),"] + [",round(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad),3),"; +infinito)",sep=""))
return(c(qnorm(p=alpha/2, mean=media, sd=desvpad),qnorm(p=1-alpha/2, mean=media, sd=desvpad)))
}
else if (tipo == "superior"){
writeLines(paste("RC:[",round(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad),3),"; +infinito)",sep=""))
return(qnorm(p=1-alpha, mean=media, sd=desvpad))
}
else if (tipo == "inferior"){
writeLines(paste("RC:(-infinito; ",round(qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad),3),"]",sep=""))
return(qnorm(p=alpha, mean=media, sd=desvpad))
}
else {
writeLines("'tipo' deve ser 'bilateral', 'superior' ou 'inferior'.")
return(0)
}
}
}Portanto, a Figura 12.5 fica:
RC(tipo = "bilateral",480,520,500,5,0.01)
## RC:(-infinito; 487.121] + [512.879; +infinito)## [1] 487.12 512.88Figura 12.5: Região crítica para o teste \(H_0:\mu=500\) vs \(H_1:\mu\ne 500\) do Exemplo 12.2.
Exemplo 12.3
Queremos testar as hipóteses:
- \(H_0:p=0.60\)
- \(H_1:p<0.60\)
Temos que, sob \(H_0\), \(\hat{p}\sim N(0.6,0.24/200)\). Logo:
pc<-RC(tipo = "inferior", x_min = 0.45,x_max = 0.75, media = 0.60, desvpad = sqrt(0.24/200), alpha = 0.05)
## RC:(-infinito; 0.543]Figura 12.7: Região crítica para o teste \(H_0:p=0.60\) vs \(H_1:p < 0.60\) do Exemplo 12.3.
Poder de um Teste
Para calcular o poder, precisamos primeiro calcular os limites da região crítica. A região complementar a região crítica é a região de aceitação (RA). No Exemplo 12.2 a RC era dada por:
limites<-RC(tipo="bilateral", alpha=0.01, media=500, desvpad=5, grafico = FALSE)## RC:(-infinito; 487.121] + [512.879; +infinito)De posse dos valores que compõem os limites das regiões crítica e de aceitação, usando \(\overline{X}\sim N(505,25)\), temos agora que calcular \(\pi(\mu)=1-\beta(\mu)\) para esta região. Para isto, basta calcular os a área da distribuição Normal com o valor \(\mu\) desejado, dentro da RA:
\(\pi(\mu)=\mathbb{P}(\text{rejeitar }H_0 | \mu=505)=\mathbb{P}(\overline{X}<487.1\text{ ou }\overline{X}> 512.9 | \mu=505)=\)pnorm(512.9,505,5)-pnorm(487.1,505,5)= 0.94277
Dessa forma, a Tabela 12.1 será calculada com os comandos a seguir:
mu_abaixo=c(500,498,495,492,490,487,485,480,475)
mu_acima=c(500,502,505,508,510,513,515,520,525)
tab12_1<-data.frame(mu_abaixo,mu_acima,
pi_mu=(1-sapply(mu_acima,function(mu){return(pnorm(limites[2],mean=mu,sd=5)-pnorm(limites[1],mean=mu,sd=5))}))*100,
beta_mu=sapply(mu_acima,function(mu){return(pnorm(limites[2],mean=mu,sd=5)-pnorm(limites[1],mean=mu,sd=5))})*100)
print(kable(tab12_1,col.names = c("À esquerda de 500", "À direita de 500", "pi(mu) (em %)","beta(mu) (em %)"),digits = 1))| À esquerda de 500 | À direita de 500 | pi(mu) (em %) | beta(mu) (em %) |
|---|---|---|---|
| 500 | 500 | 1.0 | 99.0 |
| 498 | 502 | 1.6 | 98.4 |
| 495 | 505 | 5.8 | 94.2 |
| 492 | 508 | 16.5 | 83.5 |
| 490 | 510 | 28.2 | 71.8 |
| 487 | 513 | 51.0 | 49.0 |
| 485 | 515 | 66.4 | 33.6 |
| 480 | 520 | 92.3 | 7.7 |
| 475 | 525 | 99.2 | 0.8 |
Tabela 12.1: Valores de \(\beta(\mu)\) e \(\pi(\mu)\) usando a regra de decisão RC=\(\{\overline{x}\in\mathbb{R}|\overline{x}\le 487.1\text{ ou } \overline{x}\ge 512.9\}\).
Figura 12.8
Para construir a Figura 12.8, basta fixar na função RC o valor 500 para a média apenas nos parâmetros de região e executar cada um dos gráficos modificando o valor do parâmetro média para o valor desejado:
RC_<-function(tipo="bilateral",x_min=NA,x_max=NA, media, desvpad, alpha,media_){
x<-seq(x_min,x_max,0.1)
if (tipo == "bilateral"){
regiao1=seq(x_min,qnorm(p=alpha/2, mean=media_, sd=desvpad),0.001)
regiao2=seq(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media_, sd=desvpad),x_max,0.001)
cord.x1 <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.x2 <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y1 <- c(0,dnorm(regiao1,mean=media,sd=desvpad),0)
cord.y2 <- c(0,dnorm(regiao2,mean=media,sd=desvpad),0)
curve(dnorm(x,mean=media,sd=desvpad),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x1,cord.y1,col='lightblue3')
polygon(cord.x2,cord.y2,col='lightblue3')
lines(x=c(media,media),y=c(0,dnorm(media,media,desvpad)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media_, sd=desvpad), media_, qnorm(p=alpha/2, mean=media_, sd=desvpad)),
labels = round(c(qnorm(p=1-alpha/2, mean=media_, sd=desvpad), media_, qnorm(p=alpha/2, mean=media_, sd=desvpad)),3))
}
else if (tipo == "superior"){
regiao2=seq(qnorm(p=1-alpha, mean=media_, sd=desvpad),x_max,0.001)
cord.x2 <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y2 <- c(0,dnorm(regiao2,mean=media,sd=desvpad),0)
curve(dnorm(x,mean=media,sd=desvpad),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x2,cord.y2,col='lightblue3')
lines(x=c(media,media),y=c(0,dnorm(media,media,desvpad)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(qnorm(p=1-alpha, mean=media_, sd=desvpad),media),
labels = round(c(qnorm(p=1-alpha, mean=media_, sd=desvpad),media),3))
}
else if (tipo == "inferior"){
regiao1=seq(x_min,qnorm(p=alpha, mean=media_, sd=desvpad),0.001)
cord.x1 <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.y1 <- c(0,dnorm(regiao1,mean=media,sd=desvpad),0)
curve(dnorm(x,mean=media,sd=desvpad),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x1,cord.y1,col='lightblue3')
lines(x=c(media,media),y=c(0,dnorm(media,media,desvpad)),col="darkgray",lty=2)
axis(side=1,at = c(media,qnorm(p=alpha, mean=media_, sd=desvpad)),
labels = round(c(media,qnorm(p=alpha, mean=media_, sd=desvpad)),3))
}
}
par(mfrow=c(6,1))
RC_(tipo="bilateral", alpha=0.01, media=500, desvpad=5, x_min=460,x_max=540,media_=500)
RC_(tipo="superior" , alpha=0.005, media=502, desvpad=5, x_min=460,x_max=540,media_=500)
RC_(tipo="superior" , alpha=0.005, media=510, desvpad=5, x_min=460,x_max=540,media_=500)
RC_(tipo="superior" , alpha=0.005, media=515, desvpad=5, x_min=460,x_max=540,media_=500)
RC_(tipo="inferior" , alpha=0.005, media=495, desvpad=5, x_min=460,x_max=540,media_=500)
RC_(tipo="inferior" , alpha=0.005, media=487, desvpad=5, x_min=460,x_max=540,media_=500) 
x=c(475,480,485,487,490,492,495,498,500,502,505,508,510,513,515,520,525)
plot(x,(1-sapply(x,function(mu){return(pnorm(limites[2],mean=mu,sd=sqrt(400/16))-pnorm(limites[1],mean=mu,sd=sqrt(400/16)))}))*100,type="b", ylab="", xlim=c(475,525),ylim=c(0,100))
par(new=T)
limites_100<-RC(tipo="bilateral", alpha=0.01, media=500, desvpad=sqrt(400/100), grafico = FALSE)## RC:(-infinito; 494.848] + [505.152; +infinito)plot(x,(1-sapply(x,function(mu){return(pnorm(limites_100[2],mean=mu,sd=sqrt(400/100))-pnorm(limites_100[1],mean=mu,sd=sqrt(400/100)))}))*100,type="l", ylab="", lty=2, xlim=c(475,525), ylim=c(0,100))
Figura 12.9: Curva de poder para o Exemplo 12.2.
Exemplo 12.4
Note que, para a curva tracejada, que representa o poder para amostras de tamanho 100, os limites da RC precisam ser recalculados e seus novos valores são 494.8 e 505.2, pois a variância da média amostral também mudou.
limites_100<-RC(tipo="bilateral", alpha=0.01, media=500, desvpad=sqrt(400/100), grafico = FALSE)## RC:(-infinito; 494.848] + [505.152; +infinito)Exemplo 12.5
Sob \(H_0\), temos \(\hat{p}\sim N(0.6,0.24/200)\). Assim, o que precisamos fazer para encontrar o valor-p é utilizar a função pnorm para calcular o valor da probabilidade para um determinado valor \(\hat{p}_c\) desejado:
val_p=pnorm(0.52, 0.6,sqrt(0.24/200))e com o valor-p calculado, basta utilizar a função RC para construir a Figura 12.11:
RC(tipo = "inferior", x_min = 0.5,x_max=0.7,media = 0.6,desvpad = sqrt(0.24/200),alpha = val_p)
## RC:(-infinito; 0.52]## [1] 0.52Figura 12.11: Determinação do valor-p para o Exemplo 12.5
Exemplo 12.7:
Queremos testar \(H_0:\mu=300\) vs \(H_1:\mu\ne 300\):
Sob \(H_0\), temos que \(\overline{X}\sim N(300,30^2/10)\), com \(\overline{x}=314\).
Dessa forma, basta calcular o valor da probabilidade acima de 314 minutos e multiplicar por dois, dado que distribuição é normal, supondo \(H_0\) verdadeira:
(1-pnorm(314,300,30/sqrt(10)))*2## [1] 0.14002Exemplo 12.8
No teste para a variância, utilizamos a distribuição de Qui-quadrado. Queremos testar:
- \(H_0:\sigma^2=100\)
- \(H_1:\sigma^2\ne 100\)
Apesar de termos uma outra distribuição associada ao teste, o procedimento é o mesmo, isto é, basta utilizar a função qchisq para calcular a região crítica e decidir de acordo com o valor amostral observado:
#Calculo da estatistica observada:
q_obs=15*169/100
q_obs## [1] 25.35#Calculo da RC:
alpha=0.05 # nivel de significancia desejado
n=16 # numero de pacotes
qc_inf=qchisq(p = alpha/2,df=n-1) #valor critico da regiao inferior
qc_sup=qchisq(p = 1- alpha/2,df=n-1) #valor critico da regiao superior
#Valores críticos:
c(qc_inf,qc_sup)## [1] 6.2621 27.4884# Plotando o gráfico:
x_min=0
x_max=35
x<-seq(x_min,x_max,0.1)
regiao1=seq(0,qchisq(p=alpha/2, df=n-1),0.001)
regiao2=seq(qchisq(p=1-alpha/2, df=n-1),x_max,0.001)
cord.x1 <- c(min(regiao1),regiao1,max(regiao1))
cord.x2 <- c(min(regiao2),regiao2,max(regiao2))
cord.y1 <- c(0,dchisq(regiao1,df=n-1),0)
cord.y2 <- c(0,dchisq(regiao2,df=n-1),0)
curve(dchisq(x,df=n-1),xlim=c(x_min,x_max),xlab="",ylab="",xaxs="i",yaxs="i",lwd=2, xaxt='n')
polygon(cord.x1,cord.y1,col='orange2')
polygon(cord.x2,cord.y2,col='orange2')
axis(side=1,at = c(qchisq(p=alpha/2,df=n-1), qchisq(p=1-alpha/2,df=n-1)),
labels = round(c(qchisq(p=alpha/2,df=n-1), qchisq(p=1-alpha/2,df=n-1)),3))
Figura 12.12: Região crítica para o teste do Exemplo 12.8.
Exemplo 12.9
Como vimos no capítulo anterior, para calcular o intervalo de confiança, basta fazermos a conta dos seus limites utilizando as funções da distribuição desejada:
x<-c(253,187,96,450,320,105)
s_o<-var(x)
#Variancia observada:
s_o## [1] 18460alpha=0.1 # nivel de significancia desejado
n=6
qc_inf=qchisq(p = alpha/2,df=n-1) #valor critico da regiao inferior
qc_sup=qchisq(p = 1- alpha/2,df=n-1) #valor critico da regiao superior
#Valores críticos:
c(qc_inf,qc_sup)## [1] 1.1455 11.0705pchisq(qc_sup,df=n-1)-pchisq(qc_inf,df=n-1)## [1] 0.9Assim, utilizando a desigualdade (12.7):
\[
\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_2}\le \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_1}
\]
os limites são calculados no R com : 8337, 8.057710^{4}
IC(\(\sigma^2\),90%)=[8337 , 8.057710^{4}]
Exemplo 12.10
Neste caso, queremos testar :
- \(H_0:\mu=30\)
- \(H_0:\mu > 30\)
e como \(\sigma\) é desconhecido, então \(\overline{X}\sim t\)
Temos que \(\overline{x}=31.5mg\), com n=25 e desvio padrão de 3mg. Para calcular o valor crítico \(t_c\), utilizamos a função qt:
t_c=qt(p=1-0.05,df=24)
t_c## [1] 1.7109# Valor observado da estatística t:
T=sqrt(25)*(31.5-30)/3
T## [1] 2.5Logo, como a região crítica é (1.71088,\(+\infty\)) e T pertence a esta região, então rejeitamos \(H_0\).
O valor-p pode ser calculado da seguinte forma:
1-pt(T,df=24)## [1] 0.0098271Finalmente, o IC para \(\mu\) é calculado da mesma forma como anteriormente:
alpha=0.05
n=25
lim_inf=31.5+qt(alpha/2,df=n-1)*(3/sqrt(n))
lim_sup=31.5+qt(1-alpha/2,df=n-1)*(3/sqrt(n))
print(paste("IC(mu;",1-alpha,")=[",round(lim_inf,2),";",round(lim_sup,2),"]"))## [1] "IC(mu; 0.95 )=[ 30.26 ; 32.74 ]"