Componentes principais são bastante utilizados em modelagem estatística, mas a sua definição matemática rigorosa faz com que a ACP pareça um conceito mais abstrato do que somos capazes de compreender, em particular quando falam “maximizar a variância total” e “diminuir a dimensionalidade”. A primeira reação é um grande “HEIN?”.

Abaixo tem alguns gráficos em 3 dimensões que eu acredito que dê uma boa ilustração sobre o que essas duas afirmativas querem dizer.

O primeiro gráfico é a representação com 100% da informação em três dimensões. O segundo gráfico é como fica a representação do mesmo conjunto de dados, mas com uma dimensão a menos (redução de dimensionalidade).

Ao diminuir uma dimensão, perdemos informação e essa perda é mensurada pela variância explicada pelas dimensões que deixamos para trás.

Exemplo 1 - Tetraedro

a <- 1
tetraedro <- data.frame( x = c(a * sqrt(3)/3, - a * sqrt(3)/6, - a * sqrt(3)/6, 0),
                         y = c(0, - a/2, a/2, 0),
                         z = c(0, 0, 0, a * sqrt(6)/3),
                         cor = c("a", "b", "c", "d"),
                         id = 1:4)

tetraedro_linhas <- combn(x = tetraedro$id, m = 2) %>%
  t %>%
  as.data.frame.matrix %>%
  set_names(c("id1", "id2")) %>%
  mutate(id_par = 1:n()) %>%
  gather(id_ordem, id, id1, id2) %>%
  left_join(tetraedro, by = "id") %>%
  arrange(id_ordem)

tetraedro_pc <- prcomp(tetraedro %>% dplyr::select(x, y, z))
summary(tetraedro_pc)
## Importance of components:
##                           PC1    PC2    PC3
## Standard deviation     0.4082 0.4082 0.4082
## Proportion of Variance 0.3333 0.3333 0.3333
## Cumulative Proportion  0.3333 0.6667 1.0000

p1 <- plot_ly(x = ~x, y = ~y, z = ~z, width = "50%", height = "50%") %>%
  add_lines(data = tetraedro) %>%
  add_markers(data = tetraedro) 

p2 <- plot_ly(x = ~PC2, y = ~PC3, z = ~PC3, width = "50%", height = "50%") %>%
  add_lines(data = tetraedro_pc %>% predict %>% as.data.frame) %>%
  add_markers(data = tetraedro_pc %>% predict %>% as.data.frame) 


htmltools::tagList(list(p1, p2))

Exemplo 2 - Uma forma legal


x <- c()
y <- c()
z <- c()
c <- c()

for (i in 1:62) {
  r <- 20 * cos(i / 20)
  x <- c(x, r * cos(i))
  y <- c(y, r * sin(i))
  z <- c(z, i)
  c <- c(c, i)
}  

data <- data.frame(x, y, z, c)


p1 <- plot_ly(data, x = ~x, y = ~y, z = ~z, type = 'scatter3d', mode = 'lines+markers',
              line = list(width = 6, color = ~c, colorscale = 'Viridis'),
              marker = list(size = 3.5, color = ~c, colorscale = 'Greens', cmin = -20, cmax = 50))

data2 <- prcomp(data %>% dplyr::select(x, y, z))
summary(data2)
## Importance of components:
##                            PC1     PC2    PC3
## Standard deviation     18.0494 10.1375 9.8547
## Proportion of Variance  0.6198  0.1955 0.1847
## Cumulative Proportion   0.6198  0.8153 1.0000

p2 <- plot_ly(predict(data2) %>% as.data.frame, x = ~PC1, y = ~PC2, z = 1, type = 'scatter3d', mode = 'lines+markers',
              line = list(width = 6, color = ~c, colorscale = 'Viridis'),
              marker = list(size = 3.5, color = ~c, colorscale = 'Greens', cmin = -20, cmax = 50))


htmltools::tagList(list(p1, p2))

Componentes Principais - Intuição

Exemplo 1 - Tetraedro

Exemplo 2 - Uma forma legal