1. Риск ба Өгөөж

1.1

XYZ компанийн хувьцааны үнэ $50. Жилийн дараа 0.6 магадлалтайгаар 10% өсөж, 0.4 магадлалтайгаар 5% буурна. Мөн дараа жилийн эцэст $3-ийн ногдол ашиг төлөх бол

(a)

Ирэх жилийн өгөөж \(R\) гэвэл 0.6 магадлалтайгаар \(R=\frac{55+3-50}{50}=0.16\), мөн 0.4 магадлалтайгаар \(R=\frac{47.5+3-50}{50}=0.01\). \[\mathrm{E}(R)=0.6\cdot 0.16 +0.4\cdot 0.01=0.1\] \[\mathrm{Var}(R)= 0.6\cdot(0.16-0.1)^2+0.4\cdot(0.01-0.1)^2=0.0054\]

(b)

\[\mathrm{E(aX)=a\mathrm{E}(X)},\quad \mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)\] $10,000-ийн хөрөнгийг XYZ компанийн хувьцаанд хөрөнгө оруулсан бол дараа жил дунджаар \(10.000\cdot \mathrm{E}(R)=11.000\) болно. Вариац нь \(10000^2\mathrm{Var}(R)=540000\), стандарт хазайлт нь \(734.8\).

1.2

Захын тархалтаас \(A\), \(B\)-ийн дунджуудыг олбол

\[\mathrm{E}(A)=\mathrm{E}(B)=-0.1\cdot 0.3 + 0.2\cdot 0.7=0.11.\] Мөн \[\mathrm{E}(AB)=0.01\cdot 0.1+(-0.02)\cdot 0.4+0.04\cdot 0.5=0.013\] Ковариац нь

\[\begin{align}\mathrm{Cov}(A, B)&=\mathrm{E}(AB)-\mathrm{E}(A)\mathrm{E}(B)\\ &=0.013-0.11\cdot 0.11=0.0009\end{align}\]

1.3

Энэ хугацааны үнийн өөрчлөлтийг харвал

## [1] "YHOO"
Date Prices daily_returns
2014-12-31 50.51 NA
2015-12-31 33.26 -0.0032964

\[\text{Holding period return } = \frac{33.26-50.51}{50.51}=-0.341\]

1.4

S&P 500 индексийн January 1 1980 -аас December 31 2015 хүртэлх өдөр бүрийн үнийн өгөгдөл

## [1] "GSPC"
mean var sd
0.0003893 0.0001254 0.0111977

Хоногийн өгөөж нь \(r_m−6σ_m\)-аас бага байх, \(r_m+6σ_m\)-аас их байх өдрүүдийг олбол

##          Date  Prices     returns
## 1  1987-10-19  224.84 -0.20466931
## 2  1987-10-26  227.67 -0.08278947
## 3  1988-01-08  243.40 -0.06768304
## 4  1997-10-27  876.99 -0.06865684
## 5  1998-08-31  957.28 -0.06801408
## 6  2008-09-29 1106.42 -0.08806776
## 7  2008-10-09  909.92 -0.07616710
## 8  2008-10-15  907.84 -0.09034978
## 9  2008-11-20  752.44 -0.06712293
## 10 2008-12-01  816.21 -0.08929524
##         Date  Prices    returns
## 1 1987-10-21  258.38 0.09099355
## 2 2008-10-13 1003.35 0.11580037
## 3 2008-10-28  940.51 0.10789006
## 4 2008-11-13  911.29 0.06921271
## 5 2009-03-23  822.92 0.07075755

Хоногийн өгөөжийн граф, хистограмм

2 CAPM

3 Бонд

3.1

Купонтой бондын хувьд купон рейт нь yield-to-maturity-тайгаа тэнцүү бол бондын үнэ нь PAR утгатайгаа тэнцүү

\[\begin{align}P&=\frac{PAR*r}{(1+r)}+\frac{PAR*r}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{PAR*r}{(1+r)^T}+\frac{PAR}{(1+r)^T}\\ &=\frac{PAR*r}{1+r}\left(1+\frac{1}{(1+r)}+\cdots+\frac{1}{(1+r)^{T-1}}\right)+\frac{PAR}{(1+r)^T}\\ &=\frac{PAR*r}{1+r}\left(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^T}}{1-\frac{1}{(1+r)}}\right)+\frac{PAR}{(1+r)^T}\\ &=PAR\left(1-\frac{1}{(1+r)^T}\right)+\frac{PAR}{(1+r)^T}=PAR\end{align}\]

3.2

4%-ийн купонтой, хагас жил болгон купон төлөгдөх, 10 жилийн бондын PAR утга $100. Одоо $105-р зарагдаж байгаа. 10 жилийн купонгүй бондын хүү 3.8% (хагас жилээр compounding хийнэ). Арбитражын боломжгүй гэж үзвэл, 8%-ийн купон рейт 10-жилийн бондын үнэ ямар байх вэ?

\[105=\]

3.3

3.4

3.5

Спот-рейт 5%

t CF PVCF weights
1 0.05 0.0476190 0.0476190
2 0.05 0.0453515 0.0453515
3 0.05 0.0431919 0.0431919
4 0.05 0.0411351 0.0411351
5 0.05 0.0391763 0.0391763
6 0.05 0.0373108 0.0373108
7 0.05 0.0355341 0.0355341
8 0.05 0.0338420 0.0338420
9 0.05 0.0322304 0.0322304
10 1.05 0.6446089 0.6446089

дюрешн

## [1] 8.107822

Price

## [1] 1

Спот-рейт 6%

t CF PVCF weights
1 0.05 0.0471698 0.0509174
2 0.05 0.0444998 0.0480353
3 0.05 0.0419810 0.0453163
4 0.05 0.0396047 0.0427512
5 0.05 0.0373629 0.0403313
6 0.05 0.0352480 0.0380484
7 0.05 0.0332529 0.0358947
8 0.05 0.0313706 0.0338630
9 0.05 0.0295949 0.0319462
10 1.05 0.5863145 0.6328962

дюрешн

## [1] 8.022534

Price

## [1] 0.9263991

\[\frac{0.926-1}{1}=-0.074\] Дээрхи тооцоог энэ excel файлаас харна уу

3.6

Хөвөгч хүүтэй бондын дюрэшн хүү өөрчлөгдөхийн өмнөх агшинд 0 болохыг харуул. Мөн， хүү өөрчлөгдсөнөөс хойш, дараагийн хүүгийн өөрчлөлт хүртэлх дюрэшн нь 0-ээс их гэдгийг харуул

3.7

Жилд 2%-ийн купонтой, 10-жилийн бондын ийлд 2%(жилээр). Купоныг хагас жил тутам төлдөг бол

а)

дюрэшн, засварлагдсан дюрэшн, convexity-г ол.

b)

YTM нь 1% өсөхөд үнэ хэдэн хувь өөрчлөгдөх вэ?

с)

duration-formula ашиглахад ойролцоогоор үнийн бууралт хэдэн хувь бэ

d)

duration-with-convexity формула ашиглахад ойролцоогоор үнийн бууралт хэдэн хувь вэ?