1. Introdução

A estatística está presente em nosso dia a dia. Seja quando analisamos as possibilidades e probabilidades acerca de algo trivial ou até mesmo em análise de processos industriais.

Diversos problemas surgem e existem várias técnicas estatísticas, variando deste um simples gráfico de dados até a construção de modelos e estimação de parâmetros.

“Como o uso de estatística ajudará a resolver este problema e que técnica deveria ser utilizada?”

Nessa aula serão apresentados os conceitos básicos dessa ferramenta e sua aplicação no sofware R.

2. Processo Estatístico

3. Conceitos básicos

3.1 Estatística Descritiva de Dados

3.1.1 Medidas de localização: média aritimética, mediana, moda, quartis, percentil.

3.1.1.1 Média Aritimética: Somatório de todos os valores de um determinado conjunto, dividitos pela quantidade de dados do mesmo.

\[ \mu =\frac{\sum x_{i}}{n} \]

3.1.1.2 Mediana: Valor médio de um conjunto de dados

3.1.1.3 Moda: Valor que possui maior frequência dentro de um conjunto de dados

3.1.1.4 Quartil: Valor que divide um determinado conjunto de elementos odenados em quatro partes iguais.

3.1.1.5 Percentil: Valor que divide um determinado conjunto de elementos odenados em cem partes iguais.

Exemplo:

Dado o seguinte conjunto de dados:

Dados = c(8, 10, 15, 35, 40, 3, 19, 10, 34, 7)
print(Dados)
##  [1]  8 10 15 35 40  3 19 10 34  7

Ordenando em ordem crescente:

sort(Dados)
##  [1]  3  7  8 10 10 15 19 34 35 40

Média dos valores:

mean(Dados)
## [1] 18.1

Mediana:

median(Dados)
## [1] 12.5

Quartis:

quantile(Dados)
##    0%   25%   50%   75%  100% 
##  3.00  8.50 12.50 30.25 40.00

Frequência:

table(Dados)
## Dados
##  3  7  8 10 15 19 34 35 40 
##  1  1  1  2  1  1  1  1  1

Moda:

subset(table(Dados), table(Dados)==max(table(Dados)))
## 10 
##  2

3.1.2 Medidas de Variabilidade: amplitude, desvio padrão, variância, coeficiente de variação.

3.1.2.1 Desvio Padrão: Indica o grau de variação de um conjunto de dados

  • População: \[\sigma = \sqrt{\frac{(x_{i}-\mu )^{2}}{n}}\]

  • Amostra: \[s = \sqrt{\frac{(x_{i}-\mu )^{2}}{n-1}}\]

3.1.2.2 Variância: Raiz quadrado do desvio padrão (\(\sigma\))

  • População: \[\sigma^{2} = \frac{(x_{i}-\mu )^{2}}{n}\]

  • Amostra: \[s^{2} = \frac{(x_{i}-\mu )^{2}}{n-1}\]

3.1.2.3 Coeficiente de Variação: Medida da quantidade de variação de um conjunto de dados em relação a média

  • População: \[C.V.= 100\cdot (\frac{\sigma }{\mu })\]

  • Amostra: \[C.V.= 100\cdot (\frac{\sigma }{\mu })\]

Exemplo:

Dado o seguinte conjnto de dados:

Dados = c(8, 10, 15, 35, 40, 3, 19, 10, 34, 7)
print(Dados)
##  [1]  8 10 15 35 40  3 19 10 34  7

Desvio-Padrão:

sd(Dados)
## [1] 13.38698

Variância:

var(Dados)
## [1] 179.2111

Coeficiente de Variação:

CV = 100*sd(Dados)/mean(Dados)
print(CV)
## [1] 73.96119

4. Tratamento estatístico de dados

4.1 Estatística Descritiva dos dados

Exemplo 1: Para fins de vistoria ambiental e manutenção, a concentração de monóxido de carbono (CO, mg/m³) foi medida em quatro chaminés. A tabela abaixo representar os valores medidos:

chamine = read.table("Aula1chamine.txt", header=TRUE)
print(chamine)
##    Amostra Cham1 Cham2 Cham3 Cham4
## 1        1  40.5 41.64 35.00 44.50
## 2        2  41.5 58.36 37.00 45.00
## 3        3  42.5 42.29 42.00 45.50
## 4        4  43.5 57.71 53.90 46.00
## 5        5  44.5 42.93 53.00 46.50
## 6        6  45.5 57.07 50.60 47.00
## 7        7  46.5 43.57 50.50 47.50
## 8        8  47.5 56.43 53.80 48.00
## 9        9  48.5 44.21 52.50 48.50
## 10      10  49.5 55.79 53.60 49.00
## 11      11  50.5 44.86 50.40 49.50
## 12      12  51.5 55.14 52.20 50.00
## 13      13  52.5 45.50 52.70 50.50
## 14      14  53.5 54.50 52.40 51.00
## 15      15  54.5 46.14 52.70 51.50
## 16      16  55.5 53.86 51.40 52.00
## 17      17  56.5 46.79 53.80 52.50
## 18      18  57.5 53.21 52.90 53.00
## 19      19  58.5 47.43 56.81 72.71
## 20      20  59.5 52.57 42.79 49.79

Medidas de Localização e Variabilidade

Obs: O comando summary calcula a média, mediana, valor mínimo e máximo e primeiro e terceiro quartis.

tabela = matrix(c(summary(chamine$Cham1), summary(chamine$Cham2), summary(chamine$Cham3), summary(chamine$Cham4)), nrow=6, ncol=4)
colnames(tabela) <- c('Chaminé 1', 'Chaminé 2', 'Chaminé 3', 'Chaminé 4')
rownames(tabela) <- c('Mínimo', '1ª Quartil', 'Mediana', 'Média', '3ª Quartil', 'Máximo')
print(tabela)
##            Chaminé 1 Chaminé 2 Chaminé 3 Chaminé 4
## Mínimo         40.50     41.64     35.00     44.50
## 1ª Quartil     45.25     44.70     50.48     46.88
## Mediana        50.00     50.00     52.45     49.25
## Média          50.00     50.00     50.00     50.00
## 3ª Quartil     54.75     55.30     53.15     51.12
## Máximo         59.50     58.36     56.81     72.71

4.2 Representação de Dados por Gráficos

\[Histograma\]

Procedimento manual:

  1. Ordenar valores

  2. Encontrar a amplitude total: \(A = x_{max} - x_{min}\)

  3. Estimar o número de classes: \(2^{k}\geq n\)

  4. Estimar o tamanho de cada intervalo de classe: \(C = \frac{A}{k}\)

  5. COntar o número de observações que caem em cada intervalo de classe (subintervalo), frequência.

  6. Determinar a frequência relativa do intervalo: \[F_{relativa} = \frac{frequência}{Total}\]

  7. Construir o gráfico

Procedimento computacional:

par(mfrow = c(2,2))
hist(chamine$Cham1, main = "Chaminé 1", xlab = "Concentração", ylab = "Frequência")
hist(chamine$Cham2, main = "Chaminé 2", xlab = "Concentração", ylab = "Frequência")
hist(chamine$Cham3, main = "Chaminé 3", xlab = "Concentração", ylab = "Frequência")
hist(chamine$Cham4, main = "Chaminé 4", xlab = "Concentração", ylab = "Frequência")

\[Boxplot\]

par(mfrow = c(2,2))
boxplot(chamine$Cham1,main = "Chaminé 1")
boxplot(chamine$Cham2,main = "Chaminé 2")
boxplot(chamine$Cham3,main = "Chaminé 3")
boxplot(chamine$Cham4,main = "Chaminé 4")

\[Dispersão\]

Ferramenta que possibilita a observação e comprovação matetmática de correlação entre um conjunto de dados.

O índice de correlação (\(r\)) pode ser calculado da seguinte forma:

\[r = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})\, (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}\, (y_{i} - \bar{y})^{2}}}\]

par(mfrow = c(2,2))
plot(chamine$Amostra, chamine$Cham1, main = "Chaminé 1", xlab = "Amostra", ylab = "Concentração", type = "b")
plot(chamine$Amostra, chamine$Cham2, main = "Chaminé 2", xlab = "Amostra", ylab = "Concentração", type = "b")
plot(chamine$Amostra, chamine$Cham3, main = "Chaminé 3", xlab = "Amostra", ylab = "Concentração", type = "b")
plot(chamine$Amostra, chamine$Cham4, main = "Chaminé 4", xlab = "Amostra", ylab = "Concentração", type = "b")

Coeficiente de Assimetria (\(C_{S}\))

Coeficiente de Curtose (\(C_{K}\))

Diagrama de Pareto

O Diagrama de Pareto é uma técnica estatística que tem por finalidade auxiliar-mos na tomada de decisão. Sua técnica consiste em contruir um gráfico de barras que ordene as frequências das ocorrências em ordem decrescente, o que permite a priorização dos problemas. O objetivo é vizualizar e identificar as causas mais importantes dos problemas e assim, otimizar a sua resolução.

Exemplo:

Uma indústria química contabilizou os motivos pelos quais houve algum problema na estação de tratamento de efluentes durante um ano. Construa e analise o Diagrama de Pareto utilizando os dados acima.

require(qcc)
## Loading required package: qcc
## Package 'qcc', version 2.6
## Type 'citation("qcc")' for citing this R package in publications.
x=c(55,38,22,8,7,4,2)
names(x)=c("Lavagem de equipamentos do processo","Decantação ineficiente dos clarificadores","Excesso de águas pluviais","Falta de energia","Quebra de bomba","Falta de suprimentos","Diversos")
pareto.chart(x,ylab="Ocorrências",main="Problemas na estação de tratamento de efluentes",
col=rainbow(length(x)))

##                                            
## Pareto chart analysis for x
##                                             Frequency Cum.Freq. Percentage
##   Lavagem de equipamentos do processo              55        55  40.441176
##   Decantação ineficiente dos clarificadores        38        93  27.941176
##   Excesso de águas pluviais                        22       115  16.176471
##   Falta de energia                                  8       123   5.882353
##   Quebra de bomba                                   7       130   5.147059
##   Falta de suprimentos                              4       134   2.941176
##   Diversos                                          2       136   1.470588
##                                            
## Pareto chart analysis for x
##                                             Cum.Percent.
##   Lavagem de equipamentos do processo           40.44118
##   Decantação ineficiente dos clarificadores     68.38235
##   Excesso de águas pluviais                     84.55882
##   Falta de energia                              90.44118
##   Quebra de bomba                               95.58824
##   Falta de suprimentos                          98.52941
##   Diversos                                     100.00000

5. Exercícios

5.1 Os dados abaixo são medidas de vazão (m³/h) de um determinado produto. Represente-os em gráfico Histograma.
vazao <- read.table("Aula1vazao.txt")
print(vazao$V2)
##  [1] 104 114 119 104 102  81  78  90  93  94  96 112  95  74  92  97  85
## [18]  95  96  96  93  89  95  90 100  87  87  96  98  81  98 106  90 128
## [35]  80 106  99 122  99 127  95 107  82 109 100 105  94  92 106
hist(vazao$V2, main = "Histograma", xlab = "Vazão", ylab= "Frequência")

5.2 Represente os dados em forma de diagrama de caixa (box plot) e analise esses gráficos.
fornecedor <- read.table("Aula1fornecedor.txt")
print(fornecedor)
##      V1    V2    V3
## 1 22.02 21.49 20.33
## 2 23.83 22.67 21.67
## 3 26.67 24.62 24.67
## 4 25.38 24.18 22.45
## 5 25.49 22.78 22.29
## 6 23.50 22.56 21.95
## 7 25.90 24.46 20.49
## 8 24.89 23.79 21.81
par(mfrow = c(2,2))
boxplot(fornecedor$V3,main = "Fornecedor 1")
boxplot(fornecedor$V2,main = "Fornecedor 2")
boxplot(fornecedor$V1,main = "Fornecedor 3")

5.3 Os dados abaixo são sobre a octanagem de combustível para motor de 79 misturas de gasolina. Encontre a mediana e os quartis para estes dados e construa o gráfico de tendências. Há alguma evidência de que houve um aumento ou diminuição na qualidade da gasolina? Explique.
oct = read.table("Aula1octanagem.txt")
print(oct)
##       V1
## 1   88.5
## 2   87.7
## 3   83.4
## 4   86.7
## 5   87.5
## 6   94.7
## 7   91.1
## 8   91.0
## 9   94.2
## 10  87.8
## 11  84.3
## 12  86.7
## 13  88.2
## 14  90.8
## 15  88.3
## 16  90.1
## 17  93.4
## 18  88.5
## 19  90.1
## 20  89.2
## 21  89.0
## 22  96.1
## 23  93.3
## 24  91.8
## 25  92.3
## 26  89.8
## 27  89.6
## 28  87.4
## 29  88.4
## 30  88.9
## 31  91.6
## 32  90.4
## 33  91.1
## 34  92.6
## 35  89.8
## 36  90.3
## 37  91.6
## 38  90.5
## 39  93.7
## 40  92.7
## 41  90.0
## 42  90.7
## 43 100.3
## 44  96.5
## 45  93.3
## 46  91.5
## 47  88.6
## 48  87.6
## 49  84.3
## 50  86.7
## 51  89.9
## 52  88.3
## 53  92.7
## 54  93.2
## 55  91.0
## 56  98.8
## 57  94.2
## 58  87.9
## 59  88.6
## 60  90.9
## 61  88.3
## 62  85.3
## 63  90.0
## 64  88.7
## 65  89.9
## 66  90.4
## 67  90.1
## 68  94.4
## 69  92.7
## 70  91.8
## 71  91.2
## 72  89.3
## 73  90.4
## 74  89.3
## 75  89.7
## 76  90.6
## 77  91.1
## 78  91.2
## 79  91.0
## 80  92.2
## 81  92.2
## 82  92.2
x = 1:82
plot(x,oct$V1, main = "Dispersão", xlab = "Amostras", ylab = "Octanagem")

summary(oct$V1)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   83.40   88.60   90.40   90.49   92.10  100.30
boxplot(oct$V1)

6.Análise de ações