博弈论

博弈论说白了就是讲两方势力在一件事上为了自己的最大利益所采取的行动或决策的理论

策略类型

• 纯策略：就是单一行动，当某行动的收益大于另外的行动时该行动为支配策略，另外的行动为被支配策略
• 混合策略：考虑石头剪子布，当不存在纯策略的支配时，有时需要混合行动，以一定概率随机采取行动
• 最佳回应：当知道对手策略时自己采取的收益最大的策略
• 纳什均衡：如果任何参与者改变行为的收益都不会增加，那么此时进入纳什均衡，任何有限博弈都存在纳什均衡，可能是纯策略的，也可能是混合策略的
• 帕累托最优：表示某个博弈结果不差于其他博弈结果，囚徒困境中帕累托最优并非纳什均衡，整体收益与个体行为目标并不一致

寻找纳什均衡

• 排除法：把被支配的行动删除，从剩下的行动方案中选择
• 最大最小策略：寻找其他人对自己收益最小时自己收益最大的策略
• 在有限两人零和博弈的纳什均衡中，参与者的最大最小值与最小最大值一致
• 最大最小可用来线性求解纳什均衡

混合策略纳什均衡

• 混合策略的目的在于不论你使用哪一种行动，对方的收益都不变

• 对于选手1而言，采取丙行动的收益是\(aq+c(1-q)\)，采取丁行动的收益是\(eq+g(1-q)\)，q代表选手2采取甲行动概率
• 如果要达到双方均衡，那么不论采取什么行动收益应该一致，不会因为对方概率的变化而偏离，那么我们就可以求解均衡时选手2的行动概率：

\[aq+c(1-q) = eq+g(1-q)\]

\[q = \frac{g-c}{a+g-c-e}\]

• 这个结果表明选手2采取行动主要要参考选手1的行动收益差
• 同理，对选手2而言，采取甲行动收益是\(bp+f(1-p)\)，采取乙行动收益是\(dp+h(1-p)\)，p为选手1采取丙行动的概率，求解的到：

\[p=\frac{h-f}{b+h-d-f}\]

• 要达到混合策略纳什均衡，博弈双方的行动概率主要参考对方的行动收益差；同时因为概率已知，我们也可以给出纳什均衡时双方的期望收益
• 应用：守门员博弈，当攻守双方达到纳什均衡时，其概率分布十分接近现实的统计数据，通过策略调整，博弈双方收益会逐渐收敛到纳什均衡，然后就不再变化

扩展形式博弈

• 所谓扩展形式，就是要考虑双方实施策略的先后顺序，正常的一般是同时实施，扩展的博弈是一个层级结构，双方根据对方已经使用的策略来使用自己的策略
• 扩展形式可以还原为矩阵形式，会产生冗余，但反之不一定
• 信息对称的扩展形式一定有纯策略纳什均衡
• 求解扩展形式博弈要从完美子博弈开始，从最小的分支倒推，记录策略，实际上也是最小最大值的求解

重复博弈

• 重复博弈中，当前收益跟未来收益权重不一致，未来收益一般小于当前收益权重：

\[U = U_1 + \sigma U_2+ ...\] - \(\sigma\)介于0，1之间 - 有限重复博弈可以用倒推法得到解 - 无限重复博弈要分别计算不同策略下收益，当无限重复博弈概率不断增加，有可能打破子博弈均衡，此时会发生偏移 - 囚徒困境中，当博弈重复进行的概率增加时，合作就是收益更大的选择

贝叶斯博弈

• 双方信息不对称，一方知道结果，另一方只能通过概率猜测是否对方是某种类型
• 计算不同行动的收益期望，求解概率，如果认为概率高于某个值，则选择对应行动