De maneira geral, um teste de hipóteses sempre é composto pelos seguintes passos:

• Passo 1: Suposições

• Passo 2: Hipóteses

• Passo 3: Estatística do Teste

• Passo 4: Valor-de-p ou região crítica

• Passo 5: Conclusões

• Se você fornece data, hora e local de nascimento, um astrólogo monta o seu Mapa Astral.

• De acordo com a astrologia, a posição dos astros no momento em que nascemos influencia nossa maneira de ser. - Wikipedia

• As configurações de um Mapa Astral se repetem apenas a cada 26.000 anos, portanto ele é quase como uma impressão digital - não existe um igual ao outro. - Wikipedia

• Há comprovação científica de que seu mapa astral reflete sua personalidade?

Um teste foi feito da seguinte maneira: 116 pessoas selecionadas aleatoriamente forneceram data, hora e local de nascimento.

Um astrólogo preparou um mapa astral para essas 116 pessoas, usando apenas os dados fornecidos acima.

Cada voluntário também preencheu um questionário: "California Personality Index".

Para um outro astrólogo, foram dados:

• data, hora, local, Mapa Astral de um dos voluntários (exemplo, voluntário 3)

• questionário de personalidade preenchidos pelo voluntário 3.

• 2 questionários de personalidade, escolhidos ao acaso entre os 115 restantes, preenchidos por outros dois voluntários.

• Ao astrólogo, pediu-se então para identificar qual questionário havia sido preenchido pelo dono daquele Mapa Astral.

• Seja \(p\) a probabilidade de que o astrólogo identifique o questionário correto.

• Se de fato a informação do Mapa Astral não caracteriza a personalidade de uma pessoa e na verdade o astrólogo está apenas escolhendo um dos 3 questionários ao acaso, a probabilidade de acerto é \(p=1/3\).

• Astrólogos confiam em seus estudos e dizem que a probabilidade de acerto é maior do que \(1/3\).

• Como testar se eles estão certos?

• Escolher ao acaso um astrólogo e fazer o teste com ele uma vez, é suficiente?

• 28 astrólogos foram selecionados aleatoriamente a partir de uma lista de astrólogos familiarizados com o "California Personality Index".

• A lista foi preparada pelo "National Council for Geocosmic Research".

• Vimos que podemos estudar fenômenos aleatórios definindo variáveis aleatórias e teoria da probabilidade.

• Um astrólogo pode associar corretamente o questionário ao mapa astral ou não.

• Para cada situação, há uma probabilidade associada. Portanto temos um evento aleatório.

• Como definir a variável aleatória?

• \(X_i\): astrólogo associa corretamente um questionário ao mapa astral \(i\).

• \(X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\).

• Podemos pensar em \(p\) como a proporção de acerto na população de astrólogos.

• Se astrólogos não têm a capacidade de predição, \(p= 1/3\).

• Astrólogos alegam que são capazes: \(p>1/3\).

• Como usar dados para testar estes dois cenários?

Hipótese: Usando o mapa astral de uma pessoa, a probabilidade de um astrólogo predizer corretamente qual dos 3 questionários está associado àquele mapa astral é igual a \(1/3\). Ou seja, os astrólogos apenas selecionam ao acaso um dos questionários.

Nesse caso, para saber se os astrólogos têm a capacidade de predizer a personalidade usando o mapa astral, usaríamos as seguintes hipóteses:

\[ \begin{cases} H_0: p = 1/3 & \mbox{(hipótese nula)} \\ H_1: p > 1/3 & \mbox{(hipótese alternativa)} \end{cases} \]

No experimento com os 28 astrólogos, observar uma proporção alta de acertos pode ser uma evidência contra a hipótese de que \(p=1/3\).

\[ \begin{cases} H_0: p = 1/3 & \mbox{(hipótese nula)} \\ H_1: p > 1/3 & \mbox{(hipótese alternativa)} \end{cases} \]

No experimento dos astrólogos, \(H_0\): \(p=1/3\) representa a hipótese de que não há efeito, no sentido de que os astrólogos não têm uma capacidade maior de predizer a personalidade usando o mapa astral.

A hipótese alternativa, \(H_1\): \(p>1/3\), representa a hipótese de que há efeito, ou seja, os astrólogos têm uma capacidade de predizer a personalidade usando o mapa astral.

Em teste de hipóteses, mantém-se a favor de \(H_0\) a menos que os dados tragam grande evidência contra.

Lembre-se: A hipótese nula é conservadora!

Estatística do teste: vimos que podemos usar uma estatística para estimar um parâmetro populacional e que a estatística do teste descreve quão longe a estimativa está do parâmetro populacional usado em \(H_0\).

Por exemplo, se \(H_0:\) \(p=1/3\), e se a proporção de acertos observada no experimento é \[\hat{p}=40/116=0.345,\] queremos uma estatística que quantifique quão longe está \(\hat{p}=0.345\) de \(p=1/3\).

Valor-de-p: para interpretar uma estatística do teste, vamos usar uma probabilidade para resumir a evidência contra \(H_0\). Esta probabilidade é o que chamamos de valor-de-p.

Conclusão: baseado no valor-de-p, decidir se rejeita ou não a hipótese nula. Lembrem-se que a conclusão é sempre em termos da hipótese nula: rejeitar ou não \(H_0\).

Mas quão pequeno deve ser o valor-de-p para ser considerado forte evidência contra \(H_0\)?

Geralmente, fixamos o nível de significância do teste (\(\alpha\)), e usamos a seguinte regra. É comum usarmos \(\alpha=0.05\).

• Se valor-de-p \(\leq \alpha\): rejeitamos \(H_0\), ou seja, os dados trazem forte evidência contra a hipóstese nula

• Se valor-de-p > \(\alpha\): não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não temos evidência nos dados contra a hipótese nula

1. Suposições

• A variável de interesse é binária.

• \(X_i\): astrólogo \(i\) associa corretamente um questionário ao mapa astral.

• \(X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\).

• Os dados foram obtidos usando processo de aleatorização: uma amostra aleatória de voluntários e astrólogos foi feita.

• Temos uma a.a. de tamanho \(116\). Portanto, a distribuição amostral da estimativa para \(p\), \(\hat{p}\), tem distribuição aproximadamente normal, pelo TLC.

2. Hipóteses

• \(H_0\): \(p=p_0=1/3\). Astrólogos chutam qual o questionário está associado ao mapa astral.

• \(H_1\): \(p>p_0=1/3\). Astrólogos predizem melhor do que um chute qual o questionário está associado ao mapa astral.

3. Estatística do Teste

• \(\hat{p}\sim\mbox{Normal}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\).

• Se \(H_0\) é verdadeira: \(\hat{p}\sim\mbox{Normal}\left(p_0,\frac{p_0(1-p_0)}{n}\right)\).

• A estatística do teste é: \[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{EP_0(\hat{p})}\] onde \(EP_0(\hat{p})\) é o erro padrão de \(\hat{p}\) sob \(H_0\): \(\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\).

\[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \overset{H_0}{\sim}\mbox{Normal}(0,1)\]

• A estatística do teste mede quão distante está \(\hat{p}\) de \(p\) em unidades de "erro-padrão".

No experimento dos astrólogos, dentre 116 mapas, 40 foram corretamente associados ao questionário de personalidade, ou seja, \[\hat{p}= 40/116=0.345\]

Então a estatística do teste é dada por: \[z_{obs}=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}= \frac{0.345-1/3}{\sqrt{\frac{1/3(1-1/3)}{116}}}=0.27\]

A proporção amostral está a 0.27 erro-padrão de distância da proporção populacional segundo \(H_0\).

4. Valor-de-p

\(z_{obs}=0.27\) traz evidência contra \(H_0\) a favor de \(H_1\)?

Quão improvável é \(z_{obs}=0.27\) se a proporção de acertos dos astrólogos é de fato \(p=p_0=1/3\)?

Valor-de-p: probabilidade de que uma estatística do teste assuma um valor igual ou mais extremo, assumindo que \(p=p_0=1/3\).

Mais extremo: neste caso, é um maior valor de \(z_{obs}\), pois equivale a um maior \(\hat{p}\), maior proporção amostral de acertos (astrólogos alegam que \(p>1/3\)).

Sendo \(Z\sim\mbox{Normal}(0,1)\), temos \[\mbox{valor-de-p} = P(Z>z_{obs})=P(Z>0.27)=0.3936\]

5. Conclusão: O valor-de-p obtido no experimento foi 0.3936.

O valor não é tão pequeno.

Não encontramos evidências contra \(H_0\).

Não podemos concluir que astrólogos têm poderes preditivos especiais usando mapa-astral.

Detalhes da pesquisa podem ser encontrados no artigo da revista Nature: A double-blind test of Astrology.

Suponho que temos uma população e uma hipótese sobre a proporção \(p\) de indíviduos com certa característica.

Hipóteses:
\[ \begin{aligned} H_0: p = p_0 \quad \mbox{vs} \quad H_1: & p \neq p_0 \mbox{ (bilateral)} \\ & p < p_0 \mbox{ (unilateral à esquerda)} \\ & p > p_0 \mbox{ (unilateral à direita)} \end{aligned} \]

Estatística do Teste: Baseada na distribuição amostral de \(\hat p\), \[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

Condição: \(np_0 ≥ 10\) e \(n(1−p_0) ≥ 10\) para aproximação normal.

valor-de-p

• \(H_1: p \neq p_0\) (bilateral): valor-de-p=\(P(|Z| ≥|z_{obs}|)\)

• \(H_1: p < p_0\) (unilateral à esquerda): valor-de-p=\(P(Z \leq z_{obs})\)

• \(H_1: p > p_0\) (unilateral à direita): valor-de-p=\(P(Z \geq z_{obs})\)

Conclusão

Para um nível de significância \(\alpha\):

• Se valor-de-p \(\leq \alpha\): rejeitamos \(H_0\)

• Se valor-de-p > \(\alpha\): não rejeitamos \(H_0\)

Uma indústria farmacêutica diz que menos de 20% dos pacientes que estão usando um certo medicamento terão efeitos colaterais.

Realizou-se então um ensaio clínico com 400 pacientes e verificou-se que 68 pacientes apresentaram efeitos colaterais

Hipóteses: \(H_0: p = 0.20 \quad \mbox{vs} \quad H_1: p < 0.20\)

Estatística do Teste: Da amostra temos que \(\hat p = 68/400 = 0.17\) \[z_{obs} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.17 - 0.20}{\sqrt{\frac{0.20(1-0.20)}{400}}} = -1.5\]

\[\mbox{valor-de-p} =P(Z \leq- 1.5) = 0.067\]

Conclusão: Para \(\alpha=0.05\), como o valor-de-p é maior que 0.05, não temos evidências nos dados para rejeitar a hipótese de que \(p=0.20\). Na verdade, a evidência está na direção que a indústria farmacêutica queria, mas não é o suficiente para rejeitar \(H_0\).

E se estivéssemos testando: \(H_0: p = 0.20 \quad \mbox{vs} \quad H_1: p \neq 0.20\)

\[\begin{aligned} \mbox{valor-de-p} &=P(|Z| \geq 1.5) = P(Z \leq -1.5) + P(Z \geq 1.5) \\ &= 2P(Z \leq -1.5) = 2 \times 0.067=0.134 \end{aligned} \]

Conclusão: Para \(\alpha=0.05\), como o valor-de-p é maior que 0.05, não temos evidências nos dados para rejeitar a hipótese de que \(p=0.20\).

Algumas pessoas afirmam que conseguem distinguir o sabor da coca-cola normal da coca zero.

Faremos então um teste para comprovar se a afirmação é verdadeira.

Experimento:

• Sorteia-se, sem a pessoa saber, coca ou coca zero, usando um dado (se sair par, recebe uma coca-cola normal, se sair ímpar, uma coca zero.

• A bebida sorteada é então dada à pessoa sendo testada, que deve então dizer qual ela acredita que é.

• Repetimos isso 20 vezes.

• Anota-se o total de acertos.

Suposições:

• Cada tentativa, \(X_i\), é uma Bernoulli\((p)\), em que \(p\) é a probabilidade de acerto.

• Estamos interessados no total ou na proporção de acertos em 20 tentativas.

• Podemos usar a distribuição exata do total de acertos ou a aproximação pela Normal caso as condições sejam satisfeitas.

Hipóteses:

• \(H_0: p=1/2\), (a pessoa não consegue diferenciar as duas bebidas)

• \(H_1: p>1/2\).

Evidência contra \(H_0\): Valores altos do número de acertos.

Hipóteses: \(H_0: p = 0.50 \quad \mbox{vs} \quad H_1: p > 0.50\)

Temos que \(T \sim Bin(20, p)\), onde \(T\) é o número de acertos.

A proporção amostral de acertos: \(\qquad \hat p = \frac{T}{20}= \frac{13}{20}=0.65\).

Estatística do teste: Utilizando a aproximação pela Normal

\[z_{obs} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.65 - 0.5}{\sqrt{\frac{(0.50)(0.50)}{20}}} = 1.34\]

valor-de-p = \(P(Z \geq 1.34) = 0.0901\)

Conclusão: Fixando \(\alpha=0.05\), não rejeitamos a hipótese de que \(p=0.5\).

Hipóteses: \(H_0: p = 0.50 \quad \mbox{vs} \quad H_1: p > 0.50\)

Sabemos que \(T \overset{H_0}{\sim} \mbox{Binomial}(20, 0.5)\).

Estatística do Teste: Podemos usar o número total de acertos \(T\) como estatística do teste, pois conhecemos sua distribuição exata sob \(H_0\). Portanto,

\[t_{obs}=13\]

Valor-de-p: \(P(T\geq 13)=0.1316\)

Conclusão: Fixando \(\alpha=0.05\), não rejeitamos \(H_0\). Portanto, os dados não trazem evidência para acreditarmos que o aluno sabe diferenciar entre Coca-Cola zero e normal.