author: dr.sc. Ante Kasap (ante.kasap@gmail.com, akasap@agr.hr) date: 10.11.2015.
This document is exemplification of the calculation of permutations, variations and combinations using the program R. One example for each possible scenario is presented. Basic knowledge of R program is sufficient for performing displayed calculations. Functions are written by using only integrated functions in R. Installation and loading of additional packages is not required.
U okviru ovog dokumenta su prikazani izracuni permutacija, varijacija i kombinacija na jednostavnim primjerima koristeci program R. Prikazan je po jedan primjer za svaki od ukupno 6 mogucih scenarija buduci da permutacije, varijacije i kombinacije mogu biti sa i bez ponavljanja. Za provedbu prikazanih izracuna dovoljno je bazicno poznavanje R programa.Koristene funkcije su napisane samo koristeci integrirane funkcije u R. Nije potrebna instalacija i ucitavanje dodatnih paketa.
If/Ako
1) all elements selected/izabrani svi elementi skupa
2) order is important/bitan poredak medu izabranim elementima
3) no repetition /elementi pocetnog skupa se ne ponavljaju
formula:
P(n)=n!
How many different three-digit numbers can be written with digits 1,2,3, provided there is no repetition of the same digits within three-digit number?
Koliko razlicitih troznamenkastih brojeva mozemo napisati imajuci na rapolaganju brojke 1,2,3 pod uvjetom da se jedna te ista brojka ne smije ponoviti u troznamenkastom broju?
n=3
rezultat_1<-factorial(n)
rezultat_1
## [1] 6
If/Ako
1) all elements selected/izabrani svi elementi skupa
2) order is important/bitan poredak medu izabranim elementima
3) repetition is allowed/elementi pocetnog skupa se ponavljaju
formula:
P(n,m1,m2,m3,….mk)= n! / m1! * m2! * m3! *…. mk!
where m1, m2, m3, .. mk are numbers of repetitions of the same elements in the set
pri cemu su m1, m2, m3,.. i mk brojevi ponavljanja istih elemenata u skupu
How many different necklaces can we do if we have 10 white, 5 blue and 7 green balls?
Koliko razlicitih ogrlica mozemo napraviti ako imamo 10 bijelih, 5 plavih i 7 zelenih kuglica?
m1=10
m2=5
m3=7
m<-c(m1,m2,m3)
n<-sum(m)
rezultat_2<-factorial(n) / prod(factorial(m))
rezultat_2
## [1] 512143632
If/Ako
1) not all elements selected/nisu izabrani svi elementi skupa
2) order is important/bitan poredak medu izabranim elementima
3) no repetition /elementi pocetnog skupa se ne ponavljaju
formula:
V_k_n = n! / (n-k)!
# Function for can be written as:
# Funkciju za formmulu mozemo napisati kao:
varijacije_BP = function(n, k) {
return(factorial(n) / factorial(n-k))
}
# pri cemu su n i k argumenti napisane funkcije, odnosno n je velicina osnovnog # skupa, a k je velicina klase.
How many different tri-colored flags can we make with 6 different available colors, provided that each flag has three colors (order of colors matters, e.g. red-white-blue is different from -blue-white-red)?
Koliko se razlicitih trobojnih zastava moze napraviti napraviti sa 6 razlicitih boja pod uvjetom da svaka zastava ima sve tri razlicite boje (bitan je i raspored boja, npr. crveno-bijelo-plavo je razlicito od plavo-bijelo-crveno)?
n<-6
k<-3
## Pozivanjem gore napisane funkcije za odabrani n i k dobijemo rjesenje
rezultat_3<-varijacije_BP(n,k)
rezultat_3
## [1] 120
If/Ako
1) not all elements selected/nisu izabrani svi elementi skupa
2) order is important/bitan poredak medu izabranim elementima
3) repetition is allowed/elementi pocetnog skupa se ponavljaju
formula:
V_k_n = nk
How many flags of different colors can be made of 6 available colors? Assumption is that flags have three available places for color. Order of colors is important and same color can be repeated (eg. Spain flag, maximum number of repetition of the colour per flag is three).
Koliko se zastava razlicite boje moze napraviti sa 6 rapolozivih boja? Bitan je raspored boja na zastavi ali se iste boje mogu mogu ponoviti na istoj zastavi (npr. Spanjolska zastava).Pretpostavka je da se radi o zastavama koje imaju tri raspoloziva mjesta za boje.
n<-6
k<-3
rezultat_4 = n^k
rezultat_4
## [1] 216
If/Ako
1) not all elements selected/nisu izabrani svi elementi skupa
2) order is not important/nije bitan poredak medu izabranim elementima
3) repetition is not allowed/elementi pocetnog skupa se ne ponavljaju
formula:
C_k_n = n! / k! * (n-k)!
kombinacije_BP = function(n, x) {
return(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))
}
Assume that you have at your disposal 5 different types of fruit. How many different salads can be made if every fruit salad must be made of 3 different types of fruit?
Ako imamo na rapolaganju 5 razlicitih vrsta voca. Koliko razlicitih vocnih salata mozemo napraviti ako svaka vocna salata mora biti napravljena od 3 razlicite vrste voca?
n=5
k=3
# Pozivanjem gore napisane funkcije dobijemo rjesenje
rezultat_5<- kombinacije_BP(n,k)
rezultat_5
## [1] 10
If/Ako
1) not all elements selected/nisu izabrani svi elementi skupa
2) order is not important/nije bitan poredak medu izabranim elementima
3) repetition is allowed/elementi pocetnog skupa se ponavljaju
formula:
C_k_n = n+k-1 (above)povrh k
whis is the same/sto je isto
C_k_n = (n+k-1)! / k!((n+k-1)-k)!
kombinacije_SP = function(n, x) {
return(factorial(n+k-1) / (factorial(k) * factorial((n+k-1)-k)))
}
Suppose that you have at your disposal 5 different types of fruit. How many different fruit salads can be made if every fruit salad should be made from 3 fruits provided that it is possible to choose the same species of fruit more than once?
Ako imamo na rapolaganju 5 razlicitih vrsta voca. Koliko razlicitih vocnih salata mozemo napraviti ako svaka vocna salata mora biti napravljena od tocno 3 vocke s time da je moguce odabrati za istu vocku vise puta?
n=5
k=3
# Pozivanjem gore napisane funkcije dobijemo rjesenje
rezultat_6<- kombinacije_SP(n,k)
rezultat_6
## [1] 35