5.5 역행렬을 이용한 대수적 단순화

(a) 행렬에 의한 나눗셈은 존재하지 않음.
  • \(A\ X=B\) 에서 \(A^{-1}\) 이 존재하면 양변 좌측에 각각 \(A^{-1}\) 를 곱해서 \(A^{-1}A\ X=A^{-1}B\), 즉, \(X=A^{-1}B\)가 성립함. 그러나 우측에 곱했을 때는 다른 결과가 나오게 됨.
(b) \(P\ K=Q\ K\)라고 해서 \(P=Q\)가 되는 것은 아님.
  • \(\begin{bmatrix}7&5&4\\3&3&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&2\\-1&0&1\\0&2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&22&31\\0&26&39\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&1&8\\2&2&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&2\\-1&0&1\\0&2&3\end{bmatrix}\)
matrix(c(7, 3, 5, 3, 4, 10), 2)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    7    5    4
## [2,]    3    3   10
matrix(c(1, -1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 3), 3)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    2
## [2,]   -1    0    1
## [3,]    0    2    3
matrix(c(7, 3, 5, 3, 4, 10), 2) %*% matrix(c(1, -1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 3), 3)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2   22   31
## [2,]    0   26   39
matrix(c(3, 2, 1, 2, 8, 11), 2)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3    1    8
## [2,]    2    2   11
matrix(c(1, -1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 3), 3)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    2
## [2,]   -1    0    1
## [3,]    0    2    3
matrix(c(3, 2, 1, 2, 8, 11), 2) %*% matrix(c(1, -1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 3), 3)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2   22   31
## [2,]    0   26   39
det(matrix(c(1, -1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 3), 3))
## [1] 0
  • \(K\) 가 역행렬을 가지면, 양변 우측에 \(K^{-1}\) 을 곱하여 \(P\ K\ K^{-1}=Q\ K\ K^{-1}\), 즉 \(P=Q\).
(c) \(R+R\ S\ T=R(I+S\ T)\)
  • 만일, \(T^{-1}\) 이 존재하면, \(R+R\ S\ T=R(I+S\ T)=R(T^{-1}T+S\ T)=R(T^{-1}+S)T\).
(d) \(x\ne1\) 일 때, \(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=(x^n-1)/(x-1)\). 이와 비교되는 행렬대수는?
  • \((X-I)^{-1}\) 이 존재하면, \(I+X+X^2+\cdots+X^{n-1}=(X^n-I)(X-I)^{-1}\). 또한 \(I+X+X^2+\cdots+X^{n-1}=(X-I)^{-1}(X^n-I)\)
예제 5.5 \((I+M^{-1})^{-1}=M(M+I)^{-1}\)
  • 먼저 \((I+M^{-1})M(M+I)^{-1}=I\) 를 보이자.

          \((I+M^{-1})M(M+I)^{-1}=(M+M^{-1}M)(M+I)^{-1}=(M+I)(M+I)^{-1}=I\).

     양변 좌측에 \((I+M^{-1})^{-1}\) 을 곱하면,

          \((I+M^{-1})^{-1}(I+M^{-1})M(M+I)^{-1}=(I+M^{-1})^{-1}\).

     이것을 간단히 하면,

          \(M(M+I)^{-1}=(I+M^{-1})^{-1}\).

5.6 역행렬을 이용한 연립방정식의 해

  • \(A\vec{x}=\vec{b}\) 에서 \(A^{-1}\) 이 존재하면 양변 좌측에 \(A^{-1}\) 을 곱하여 \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\)를 얻는다.
예제 5.6 \(A\vec{x}=\vec{b}\). 단, \(A=\begin{bmatrix}2&-2&-1\\1&1&-2\\1&0&-1\end{bmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix}\).

          \(A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&-2&5\\-1&-1&3\\-1&-2&4\end{bmatrix}\).

      따라서, 연립방정식의 해는

          \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}=\begin{bmatrix}-1&-2&5\\-1&-1&3\\-1&-2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}13\\6\\9\end{bmatrix}\)

source("adjoint.R")
A <- matrix(c(2, 1, 1, -2, 1, 0, -1, -2, -1), 3)
b <- c(5, 1, 4)
minor(A, 1, 1)
## [1] -1
minor(A, 2, 1)
## [1] 2
minor(A, 3, 1)
## [1] 5
minor(A, 1, 2)
## [1] 1
minor(A, 2, 2)
## [1] -1
minor(A, 3, 2)
## [1] -3
minor(A, 1, 3)
## [1] -1
minor(A, 2, 3)
## [1] 2
minor(A, 3, 3)
## [1] 4
cofactor(A, 1, 1)
## [1] -1
cofactor(A, 2, 1)
## [1] -2
cofactor(A, 3, 1)
## [1] 5
cofactor(A, 1, 2)
## [1] -1
cofactor(A, 2, 2)
## [1] -1
cofactor(A, 3, 2)
## [1] 3
cofactor(A, 1, 3)
## [1] -1
cofactor(A, 2, 3)
## [1] -2
cofactor(A, 3, 3)
## [1] 4
adjoint(A)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -1   -2    5
## [2,]   -1   -1    3
## [3,]   -1   -2    4
det(A)
## [1] 1
solve(A)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -1   -2    5
## [2,]   -1   -1    3
## [3,]   -1   -2    4
solve(A) %*% b
##      [,1]
## [1,]   13
## [2,]    6
## [3,]    9
solve(A, b)
## [1] 13  6  9

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