Correlação e Regressão
(Fonte: minicurso de Estatística básica: Introdução ao software R. Disponível em: http://www.ufsm.br/pet-ee)
A equação de regressão linear pode ser obtida no R por meio da função lm() que serve para calcular a regressão linear simples.
#Exemplo:
x <- c(201,225,305,380,560,600,685,735)
y <- c(17,20,21,23,25,24,27,27)
dados <- data.frame(x,y) #criando um data.frame
is.data.frame(dados) #verifica se dados é um data.frame## [1] TRUE
regressao<-lm(y~x,data=dados)
regressao##
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = dados)
##
## Coefficients:
## (Intercept) x
## 15.65995 0.01591
Para verificarmos os resultados da função lm(), inclusive os coeficientes da regressão linear, devemos utilizar o comando:
summary(regressao)##
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.8577 -0.5662 0.4366 0.5560 1.2946
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 15.659947 1.035959 15.12 5.29e-06 ***
## x 0.015909 0.002066 7.70 0.000251 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.148 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9081, Adjusted R-squared: 0.8928
## F-statistic: 59.3 on 1 and 6 DF, p-value: 0.0002513
Assim como a maioria das funções do R, armazenamos os resultados retornados pela função lm() em um objeto. O valor retornado por lm() é uma lista.
is.list(regressao) #verifica se "regressão" é uma lista## [1] TRUE
names(regressao)## [1] "coefficients" "residuals" "effects" "rank"
## [5] "fitted.values" "assign" "qr" "df.residual"
## [9] "xlevels" "call" "terms" "model"
Alguns comandos úteis são listados a seguir:
regressão$fitted.values: calcula os valores preditos da variável resposta para cada elemento da amostra (faz uma previsão);
regressão$residuals: calcula o erro ou os resíduos (valor observado - valor predito) para cada ponto da amostra;
regressão$coefficients: obtém uma estimativa dos coeficientes da regressão.
regressao$fitted.values## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 18.85767 19.23949 20.51222 21.70540 24.56903 25.20540 26.55767 27.35312
regressao$residuals## 1 2 3 4 5 6
## -1.8576726 0.7605094 0.4877828 1.2946016 0.4309667 -1.2053966
## 7 8
## 0.4423314 -0.3531227
regressao$coefficients## (Intercept) x
## 15.65994700 0.01590908
Gráfico com a reta da regressão
#plot(x,y) ou
z = plot(x,y)
grid(z) #aplicando grid ao gráfico
abline(regressao)
Outros componentes do ajuste são úteis para propósito de diagnóstico. Por exemplo, pode-se examinar o gráfico de valores ajustados contra resíduos. Este comando pode nos mostrar os desvios dos dados em relação ao modelo linear (estimado).
plot(regressao$fitted.values,regressao$residuals)
Além disso, podemos fazer um histograma dos resíduos para verificar a presença de dados discrepantes (outliers).
hist(regressao$residuals)
Podemos identificar diferentes classes que são atribuídas a diferentes objetos do R. Este mecanismo facilita a automação de diversas tarefas no R. Por exemplo, podemos descobrir qual a classe atribuída a um objeto que armazena resultados da função lm(). lm é a sigla em inglês para linear model (modelo de regressão linear)
class(regressao)## [1] "lm"
O estudo sobre regressão exige que o modelo seja diagnosticado antes de ser usado para análises. O comando a seguir fornece alguns resultados sobre o modelo ajustado. É possível avaliar os resíduos, normalidade e dados discrepantes.
plot(regressao)
Coeficiente de Correlação (r) e Coeficiente de Determinação r2
Através do gráfico de dispersão pode-se indicar se a correlação linear é positiva, negativa ou a inexistência de correlação. Além disso, podemos identificar, por meio do coeficiente de correlação (r), o grau da correlação
cor(x,y)## [1] 0.9529494
Por exemplo, para r = +0,953, temos uma correlação positiva forte, ou seja, a variável dependente y cresce quase na mesma proporção que a variável independente x.
O Coeficiente de Determinação explica o grau de ajuste do modelo, ou o percentual de variação de y que é explicada pela variabilidade de x. Seu valor varia de 0 a 1.
cor(x,y)^2## [1] 0.9081126
Um exemplo aplicado
Para uma amostra de oito operadores de máquina, foram coletados o número de horas de treinamento (x) e o tempo necessário para completar o trabalho (y).
Pede-se: a) Faça o gráfico de dispersão para esses dados. b) Determine o modelo de regressão linear simples entre as variáveis “x” e “y”. c) Em seguida, trace, no gráfico anterior, a reta de regressão. d) Calcule e intereprete os coeficientes de correlação (r) e determinação (r2).
y <- c(5.2,5.1,4.9,4.6,4.7,4.8,4.6,4.9)
x <- c(13,15,18,20,19,17,21,16)
y #apresentação do vetor y## [1] 5.2 5.1 4.9 4.6 4.7 4.8 4.6 4.9
x #apresentação do vetor x## [1] 13 15 18 20 19 17 21 16
z = plot(x,y)
grid(z) #aplicando grid ao gráfico
dados <- data.frame(x,y) #criando um data.frame
is.data.frame(dados) #verifica se dados é um data.frame## [1] TRUE
regressao<-lm(y~x,data=dados)
regressao##
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = dados)
##
## Coefficients:
## (Intercept) x
## 6.2261 -0.0792
abline(regressao) # adiciona o modelo de regressão
#coeficiente de correlação
cor(x,y) ## [1] -0.9592155
#coeficiente de determinação
cor(x,y)^2## [1] 0.9200944