Lesson3. Multi-Dimensional Scaling
Kosugitti
2016年10月28日
毎回やる儀式
- インターネットに接続しておいてください（このサイトが見えていればOK）。
- Rstudioを起動し，この授業のプロジェクトを開いてください。(File>Open Project)
- File>New File>R scriptで新しいコードファイルを作ってください。
今日は多次元尺度構成法！
今日のモデルのRQ例
- 音楽の好みはひとそれぞれ。なんか分類する方法ないかしら。
- 先日のキングオブコント，バナナマンの設楽さんだけ評価が違ったような気がするんだけど，みんなどういう基準で評価してるんだ？
- SMAP，TOKIO，嵐・・・五人組のユニットが多いけど，ユニットを作る共通次元みたいなものがあるのかしら。
今日のモデルのRQ例解説
- 音楽はジャンルによって，似ているとか似ていないとかがあります。例えば，ジャズとスカは似ている，クラッシックとテクノは似ていないなどの評価をすることができます。この類似度評定を元に音楽ジャンルを分類します。(MDSで布置を得る)
- 一対比較の類似度評定から分類するのは簡単ですが，対象が多くなると組み合わせ数が多くなり，一つ一つの判断が大変になります。そこで，特定の値同士の距離行列を類似度評定とみなして分類することを考えます。(距離行列からMDS)
- 複数の類似度評定があるとき，これを「次元の歪み」として表現する発展的なモデルがあります(INDSCAL)。
ここからが本番
今回のテーマは 多次元尺度構成法 (MultiDimensional Scaling)，略してMDSです。
前回まではクラスタリングで「まとめていく」話をしていました。変数間の距離の近いものをひとまとめにする，というものでした。 数字が似ていると近い，という話でしたが，距離があるということは，空間的に離れているということ。この空間を再現するのがMDSです。
MDSは 距離から地図を作る技術 ，ととらえてください。 少し抽象的な言い方をすると，「相対的な関係から，背景にある空間関係を見出す」とも言えます。
距離から地図を作る(計量MDS/metric MDS)
サンプルデータで確かめてみましょう。まずはRの持っている距離データから。
data(eurodist)
eurodist## Athens Barcelona Brussels Calais Cherbourg Cologne
## Barcelona 3313
## Brussels 2963 1318
## Calais 3175 1326 204
## Cherbourg 3339 1294 583 460
## Cologne 2762 1498 206 409 785
## Copenhagen 3276 2218 966 1136 1545 760
## Geneva 2610 803 677 747 853 1662
## Gibraltar 4485 1172 2256 2224 2047 2436
## Hamburg 2977 2018 597 714 1115 460
## Hook of Holland 3030 1490 172 330 731 269
## Lisbon 4532 1305 2084 2052 1827 2290
## Lyons 2753 645 690 739 789 714
## Madrid 3949 636 1558 1550 1347 1764
## Marseilles 2865 521 1011 1059 1101 1035
## Milan 2282 1014 925 1077 1209 911
## Munich 2179 1365 747 977 1160 583
## Paris 3000 1033 285 280 340 465
## Rome 817 1460 1511 1662 1794 1497
## Stockholm 3927 2868 1616 1786 2196 1403
## Vienna 1991 1802 1175 1381 1588 937
## Copenhagen Geneva Gibraltar Hamburg Hook of Holland Lisbon
## Barcelona
## Brussels
## Calais
## Cherbourg
## Cologne
## Copenhagen
## Geneva 1418
## Gibraltar 3196 1975
## Hamburg 460 1118 2897
## Hook of Holland 269 895 2428 550
## Lisbon 2971 1936 676 2671 2280
## Lyons 1458 158 1817 1159 863 1178
## Madrid 2498 1439 698 2198 1730 668
## Marseilles 1778 425 1693 1479 1183 1762
## Milan 1537 328 2185 1238 1098 2250
## Munich 1104 591 2565 805 851 2507
## Paris 1176 513 1971 877 457 1799
## Rome 2050 995 2631 1751 1683 2700
## Stockholm 650 2068 3886 949 1500 3231
## Vienna 1455 1019 2974 1155 1205 2937
## Lyons Madrid Marseilles Milan Munich Paris Rome Stockholm
## Barcelona
## Brussels
## Calais
## Cherbourg
## Cologne
## Copenhagen
## Geneva
## Gibraltar
## Hamburg
## Hook of Holland
## Lisbon
## Lyons
## Madrid 1281
## Marseilles 320 1157
## Milan 328 1724 618
## Munich 724 2010 1109 331
## Paris 471 1273 792 856 821
## Rome 1048 2097 1011 586 946 1476
## Stockholm 2108 3188 2428 2187 1754 1827 2707
## Vienna 1157 2409 1363 898 428 1249 1209 2105この距離行列からMDSによって地図を作ります。MDSは大きく分けて二種類あって，計量MDS(メトリックMDS)と非計量MDS(ノンメトリックMDS)とよばれます。
非計量MDSは距離の大小関係を条件にする分析方法で，データが順序尺度水準であれば良いとされています。計量MDSは間隔尺度水準以上でなければなりません。前者が物理的な距等，厳密な距離関係に向いている，後者が心理的な距離等，厳密さを少し緩めた仮定をもったデータに向いている，ととらえておけばいいでしょう。
今回のデータは実測値なので，前者のMDSを使います。関数はcmdscaleです。
result.cmd <- cmdscale(eurodist,2)
plot(result.cmd,type="n")
text(result.cmd,rownames(result.cmd))
距離データから地図がかけたでしょうか。ピンとこない人は，次のサイトを参考に実際の距離を計算し，MDSしてみましょう。 次に示すのは一例です。
http://www.alles.or.jp/~halcyon/
chu_goku <- matrix(c( 0, 93.2,292.1,203.7,230.8,
93.2, 0,204.5,132.6,137.6,
291.2,204.5, 0,107.4, 98.5,
203.7,132.6,107.4, 0,120.6,
230.8,137.6, 98.5,120.6, 0),ncol=5)
colnames(chu_goku)<-c("Yamaguchi","Hiroshima","Tottori","Ssimane","Okayama")
result.cmd <- cmdscale(chu_goku,2)
plot(result.cmd,type="n")
text(result.cmd,colnames(chu_goku))
心理的尺度や評定値から地図を作る(非計量的MDS/non-metric MDS)
非計量なMDSはMASSパッケージのisoMDS関数を使います。
library(MASS)コントの大会，KOCでの評価をデータセットにして作りました(Moodleで配布したKOC2016.csv参照)。
dat <- read.csv("KOC2016.csv")
# 4-8列目のデータを横に倒して距離行列を作る
dist(t(dat[4:8]))## 設楽 日村 三村 大竹
## 日村 12.206556
## 三村 12.083046 9.949874
## 大竹 13.038405 9.110434 9.165151
## 松本 17.916473 14.422205 12.529964 12.206556これを元に，MDSをしてみます。
KOC.dist <- dist(t(dat[4:8]))
result.iso <- isoMDS(KOC.dist,k=2)## initial value 3.354092
## iter 5 value 0.037157
## iter 5 value 0.000000
## iter 5 value 0.000000
## final value 0.000000
## convergedresult.iso## $points
## [,1] [,2]
## 設楽 8.158060 4.145646
## 日村 2.228005 -4.276799
## 三村 1.261745 -0.166295
## 大竹 -1.517073 -3.190291
## 松本 -10.130738 3.487739
##
## $stress
## [1] 1.573116e-14ここで，$pointsとあるのは地図の座標です。 $stressとあるのは適合度で，今回はとても小さな数字です(e-14は10の-14乗)から，当てはまりが良いと言えます。 普通ここの数字が0.1ぐらいであればよい(参考；https://www1.doshisha.ac.jp/~mjin/R/27/27.html) といいます。何次元あるかわからないときは，stressの値で判断するといいでしょう。
プロットします。
plot(result.iso$points,type="n")
text(result.iso$points,row.names(result.iso$points))
松本さんと設楽さんは評価が似ていないので，距離が遠くなって地図上も遠くなりました。重心にいるのが三村さんで，平均的な判断をしたと言えます。
ちなみにこの評価は，それぞれのネタに対しても当然計算できます。
KOC.dist <- dist((dat[4:8]))
result.iso2 <- isoMDS(KOC.dist,k=2)## initial value 5.681832
## iter 5 value 3.064185
## final value 2.955881
## convergedresult.iso2## $points
## [,1] [,2]
## [1,] -2.591474 -3.2151996
## [2,] -13.331355 -1.3219487
## [3,] -1.671479 -0.1121383
## [4,] 4.050928 -1.1772914
## [5,] -8.117286 -4.6602890
## [6,] 8.336328 -3.1168835
## [7,] -6.001741 5.5651082
## [8,] -1.047049 1.4840079
## [9,] -7.639617 1.2747067
## [10,] 8.726201 -1.6935552
## [11,] -3.352796 0.7642731
## [12,] 1.066265 4.4695982
## [13,] 3.390341 -0.6426404
## [14,] 9.642331 -0.9598076
## [15,] 8.540403 3.3420597
##
## $stress
## [1] 2.955881result.iso2 <- isoMDS(KOC.dist,k=3)## initial value 3.069107
## iter 5 value 1.604949
## iter 10 value 1.355053
## iter 15 value 1.230978
## iter 20 value 1.164499
## final value 1.154477
## convergedresult.iso2## $points
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -2.754420 -3.58794756 -1.6474076
## [2,] -11.965179 -2.45297354 4.9805260
## [3,] -1.646526 -0.03193805 -0.4013751
## [4,] 4.408976 -1.19503205 -1.8073314
## [5,] -9.315448 -4.13111604 -1.7868069
## [6,] 7.711424 -2.91837595 2.8115902
## [7,] -6.322182 5.72974386 0.6604279
## [8,] -1.057645 1.34095170 1.0732267
## [9,] -7.510444 1.79983452 -3.0809487
## [10,] 8.573470 -1.13682388 2.0689492
## [11,] -3.722965 1.05751439 -1.2242810
## [12,] 1.176690 4.97013334 1.0383819
## [13,] 3.572762 -0.89902517 -1.4671551
## [14,] 9.952440 -1.78718190 0.3979760
## [15,] 8.899049 3.24223634 -1.6157723
##
## $stress
## [1] 1.154477ストレス値をみてください。2の時は当てはまりが悪かったので，3にすると改善されましたね。今回は説明に３次元いるようです。
プロットは二次元で，三枚描くことにしましょう。
# dim1 and dim2
plot(result.iso2$points[,1:2],type="n")
text(result.iso2$points[,1:2],as.character(dat$actor))
# dim1 and dim3
plot(result.iso2$points[,1],result.iso2$points[,3],type="n")
text(result.iso2$points[,1],result.iso2$points[,3],as.character(dat$actor))
# dim2 and dim3
plot(result.iso2$points[,2],result.iso2$points[,3],type="n")
text(result.iso2$points[,2],result.iso2$points[,3],as.character(dat$actor))
このように，印象評定のデータから類似度を計算し，分析に用いることもできます。実際マーケティングなんかでは使われてたりします。
INDSCAL（個人差MDS）
今回は扱いません。smacofパッケージを使うと簡単にできます。興味がある方にはご案内します。
MDSのまとめ
- 距離＝相対的な関係から地図を再現することができる
- 厳密な距離でない，順序尺度水準の評定値や一対比較法のデータからでも，地図を再現することができる(計量MDSと非計量MDSの違いを理解しておくこと)
- 次元の意味を考えることで，心理的次元を見出す・考察することができる。
本日の課題
- 野球のデータを使ったクラスター分析と同じ距離行列をつかって，MDSを行い，布置をプロットしてください。
発展的課題
- 課題の結果をggplotでプロットしてみましょう。座標とクラスターの関係はどうなっているでしょうか。