Exemplo: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os números 1, 11, 29, 68 e 93.

Quem tem maior probabilidade de ser sorteado?

• espalhar os números é a melhor forma de ganhar o sorteio?

• assumindo honestidade da rifa, todos os números têm a mesma probabilidade de ocorrência, com \(\frac{1}{100}\) para cada um.

• como eu e meu colega temos 5 bilhetes, temos a mesma probabilidade de ganhar a rifa: \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\).

• assim, a probabilidade de ganhar depende somente da quantidade de bilhetes que se tem na mão, independente da numeração.

• A v.a. discreta \(X\), assumindo valores \(x_{1},x_{2},...,x_{k}\), segue uma distribuição uniforme discreta se, e somente se, cada valor possível tem a mesma probabilidade de ocorrer, isto é,

\[P(X=x_i) = p(x_i) = \frac{1}{k}, \quad \forall \; 1\leq i \leq k\]

Exemplo: lançamento de um dado honesto de 6 faces

A média e a variância são dadas por:

\(\mathbb E(X)=\displaystyle \sum_{i=1}^k x_iP(X=x_i)= \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i\)

\(Var(X) = \displaystyle \sum_{i=1}^k (x_i - \mathbb E(X))^2 P(X=x_i) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k (x_i - \mathbb E(X))^2\)

ou

\(Var(X) = \mathbb E(X^2) - [\mathbb E(X)]^2 = \displaystyle \frac{1}{k} \left[\sum_{j=1}^{k}x_{j}^{2} - \frac{1}{k} \left ( \displaystyle\sum_{j=1}^{k}x_{j} \right)^{2} \right]\)

Exemplo: lançamento de um dado honesto de 6 faces

Calculando a esperança e a variância de \(X\):

\(\mathbb E(X) = \frac{1}{6} (1+2+3+4+5+6)= \frac{21}{6} = 3.5\)

\(Var(X) = \displaystyle \frac{1}{6} \left[(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) - \frac{1}{6} (21)^{2} \right] = \frac{1}{6} \times \frac{35}{2} = 2.92\)

Cálculo da função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma variável uniforme discreta:

\[F(x)= P(X\leq x)= \sum_{x_i \leq x} \frac{1}{k} = \frac{\#(x_i \leq x)}{k}\]

Exemplo: voltando ao exemplo do lançamento de um dado honesto de 6 faces

• \(F(2)= P(X\leq2)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{2}{6}\)

• \(F(2.5)= P(X\leq2.5)= P(X=1)+P(X=2)=\frac{2}{6}\)

Em muitas aplicações, cada observação de um experimento aleatório é binária: tem apenas dois resultados possíveis.

Por exemplo, uma pessoa pode:

• aceitar ou recusar uma oferta de cartão de crédito de seu banco.

• votar sim ou não em uma assembléia.

• Considere um experimento aleatório com dois resultados possíveis: sucesso e fracasso.

• Seja \(p\) a probabilidade de sucesso.

• Exemplo: lançar uma moeda e verificar se cai cara ou coroa. Consideramos como sucesso, a obtenção de cara. Se a moeda é honesta, \(p=1/2\).

• Esse tipo de experimento é conhecido como Ensaio de Bernoulli.

• Exemplo: lançar um dado, sendo "sucesso" o obtenção da face 6. Se o dado é honesto, a probabilidade de sucesso é \(p=1/6\).

• Exemplo: Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade, e é perguntado a ela se concorda com um projeto.

• As possíveis respostas são apenas "Sim" ou "Não". \[\Omega=\{\mbox{Sim},\mbox{Não}\}\]

\[ X = \begin{cases} 1, & \mbox{se a pessoa respondeu sim } (sucesso) \\ 0, & \mbox{caso contrário } (fracasso) \\ \end{cases} \]

\[P(X=1)=P(sucesso)=p \;\; \rightarrow \;\; P(X=0)=P(fracasso)=1-p\]

Seja \(X\) uma v.a. discreta assumindo apenas valores 0 e 1, onde \(X=1\) corresponde a sucesso e seja \(p\) a probabilidade de sucesso.

A distribuição de probabilidade de \(X\) é dada por:

\[ P(X=x) = \begin{cases} p & \mbox{se } x=1 \\ 1-p & \mbox{se } x=0 \\ \end{cases} \]

Ou de forma equivalente, podemos escrever como: \[P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \quad \mbox{para } x=0,1\]

Notação: \(X \sim b(p)\)

Se \(X\) é um v.a. Bernoulli, \(X \sim b(p)\), então:

\[\mathbb E(X) = p \quad \mbox{e} \quad Var(X)=p(1-p)\]

Demonstração:

• Esperança: \(\mathbb E(X)= 0\times(1-p) + 1\times p = p\)

• \(\mathbb E(X^{2})= 0^{2}\times(1-p) + 1^{2}\times p = p\)

• Variância: \[\begin{aligned} Var(X) &= \mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2} \\ & = p-p^{2} =p(1-p) \end{aligned} \]

Exemplo: lançamos um dado e consideramos sucesso a obtenção da face 5

Supondo que o dado seja honesto, a probabilidade de sucesso é \(p = 1/6\). Então:

\[ \begin{aligned} P(X=x) &= \left(\frac{1}{6} \right)^x \left(\frac{5}{6} \right)^{1-x} \qquad \mbox{para } x=0,1 \\ &= \begin{cases} 5/6 & \mbox{se } x=0 \\ 1/6 & \mbox{se } x=1 \\ \end{cases} \end{aligned} \]

• Encontre a esperança e variância de X.

\(\qquad \mathbb E(X)=\frac{1}{6} \qquad \qquad \mathbb E(X^2)=\frac{1}{6}\)

\(\qquad Var(X)=\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{6-1}{36}=\frac{5}{36}\)

Ao obtermos uma amostra do experimento/fenômeno aleatório com observações binárias, podemos resumir os resultados usando o número ou a proporção de observações com o resultado de interesse.

Sob certas condições, a v.a. \(X\) que conta o número de vezes que um resultado específico ocorreu, dentre dois possíveis, tem uma distribuição de probabilidade chamada Binomial.

• Considere um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\) e o evento \(A\).

• Vamos dizer que ocorreu sucesso se o evento \(A\) aconteceu. Se \(A\) não aconteceu ocorreu fracasso.

• Repetimos o experimento \(n\) vezes, de forma independente.

• Seja \(X\) o número de sucessos nos \(n\) experimentos.

Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de \(80\%\).

Um grupo de 3 indivíduos é sorteado, dentre a população vacinada, e cada um é submetido a testes para averiguar se está imunizado.

Nesse caso, consideramos como sucesso a imunização.

\[ X_i = \begin{cases} 1, & \mbox{indivíduo i está imunizado} \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{cases} \]

Pelo enunciado, sabe-se que \(P(X_{i}=1)=p=0.8\).

• Os indivíduos 1, 2 e 3 são independentes.

• As v.a.'s \(X_1\), \(X_2\) e \(X_3\) são Bernoulli.

• Se o interesse está em estudar \(X=\) número de indivíduos imunizados no grupo, \(X\) poderá assumir valores \(\{0,1,2,3\}\).

• Note que \(X=X_{1}+X_{2}+X_{3}\).

• Assim, as probabilidades de cada valor possível de \(X\) são:

\(X\)	0	1	2	3
\(P(X=x)\)	\((0.2)^{3}\)	\(3\times0.8\times(0.2)^{2}\)	\(3\times(0.8)^{2}\times0.2\)	\((0.8)^{3}\)

• E o comportamento de \(X\) é completamente determinado pela função:

\[P(X=x)={3\choose x}(0.8)^{x}(0.2)^{3-x}, \qquad x=0,1,2,3\]

Modelo Geral: Considere a repetição de \(n\) ensaios \(X_i\) Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso \(p\).

A variável aleatória \(X=X_{1}+...+X_{n}\) representa o total de sucessos e corresponde ao modelo Binomial com parâmetros \(n\) e \(p\), ou seja, \(X\sim Bin(n,p)\).

A probabilidade de se observar \(x\) é dada pela expressão geral: \[P(X=x)={n\choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}, \qquad x=0,1,...,n\]

A esperança e variância de uma v.a. Binomial são dadas por: \[\mathbb E(X)=np \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=np(1-p)\]

• No exemplo da vacina, temos então que o número de indíviduos imunizados segue uma distribuição Binomial com \(n=3\) e \(p=0.8\)

\[X\sim Bin(3,0.8)\]

• Qual a probabilidade de que dentre os 3 indíviduos, nenhum tenha sido imunizado? \[ P(X=0) = {3 \choose 0} (0.8)^0 (0.2)^3 = 0.008\]

• Encontre a esperança e variância:

\[\mathbb E(X)=3\times 0.8 = 2.4 \qquad \mbox{e} \qquad Var(X)=3\times0.8\times0.2 = 0.48\]

Um inspetor de qualidade extrai uma amostra aleatória de 10 tubos armazenados num depósito onde, de acordo com os padrões de produção, se espera um total de \(20\%\) de tubos defeituosos.

Qual é a probabilidade de que não mais do que \(2\) tubos extraídos sejam defeituosos?

Se \(X\) denotar a variável "número de tubos defeituosos em 10 extrações independentes e aleatórias", qual o seu valor esperado? Qual a variância?

Note que a variável aleatória \(X\) = número de tubos defeituosos em 10 extrações tem distribuição binomial, com parâmetros \(n=10\) e \(p=0.2\).

Então, "não mais do que dois tubos defeituosos" é o evento \(\{X\leq2\}\).

Sabemos que, para \(X \sim Bin(10, 0.2)\) \[P(X=x) = { 10\choose x } (0.2)^x (0.8)^{10-x}, \qquad x=0,1, \ldots, 10\]

e que \[\begin{aligned} P(X\leq2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ &=(0.8)^{10} + 10 (0.2)(0.8)^{9} + 45 (0.2)^2 (0.8)^8 = 0.678 \end{aligned} \]

Se \(X \sim Bin(n,p)\), então \(\mathbb E(X) = np\) e \(Var(X) = np(1-p)\)

Então:

\(\mathbb E(X) = 10 (0.2) = 2\)

\(Var(X) = 10 (0.2)(0.8) = 1.6\)

Quando se encontram quatro ou mais tubos defeituosos, o processo de produção é interrompido para revisão. Qual é a probabilidade que isto aconteça?

\[ \begin{aligned} P(X\geq 4) &= 1 - P(X < 4) \\ &= 1 - P(X \leq 3) \\ &= 1-0.879 = 0.121 \end{aligned} \]

Exemplo: Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores A e B classificaram um grande lote de peças adquiridas em categorias \(I\) e \(II\), pagando \(\$ 1.20\) e \(\$ 0.80\) por peça, respectivamente, do seguinte modo:

• Comprador A: retira uma amostra de cinco peças; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como \(II\).

• Comprador B: retira uma amostra de dez peças; se encontrar mais que duas defeituosas, classifica como \(II\).

Em média, qual comprador oferece mais lucro?

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 159.

Sabemos que 1/5 das peças são defeituosas.

Podemos nos concentrar na probabilidade dos vendedores julgarem um lote como tipo \(I\) ou \(II\).

Seja \(X\) o número de peças defeituosas em \(n\) testes.

O experimento do comprador A tem distribuição \(X_A \sim Bin(5, 1/5)\) enquanto o experimento do comprador B tem distribuição \(X_B \sim Bin(10, 1/5)\).

Para o comprador A, temos que: \[ \begin{aligned} P(X_A > 1 ) &= 1 - P(X_A = 0 ) - P(X_A = 1 ) \\ &= 1 - {5 \choose 0} \left (1-\frac{1}{5} \right)^5- {5 \choose 1} \left( \frac{1}{5} \right) \left (1-\frac{1}{5} \right)^4 = 0.263 \end{aligned}\]

De modo similar, para o comprador B temos: \[\begin{aligned} P(X_B > 2 ) &= 1 - {10 \choose 0} \left (1-\frac{1}{5} \right )^{10} - {10 \choose 1} \frac{1}{5} \left (1-\frac{1}{5} \right )^9 \\ &- {10 \choose 2} \left( \frac{1}{5} \right)^2 \left (1-\frac{1}{5} \right )^8 = 0.322 \end{aligned}\]

Como o segundo comprador irá classificar o lote como \(II\) com maior probabilidade que o primeiro, ele é o que oferece menor lucro para o fornecedor.

Mas podemos verificar o lucro esperado do vendedor.

Preço por peça na categoria \(I\): $1.20. Preço por peça na categoria \(II\): $0.80.

Se o industrial decidir vender o lote para o comprador A, temos que

\[\mathbb E(\mbox{lucro A}) = 1.20 \times 0.737 + 0.80 \times 0.263 \approx 1.09\]

Ou seja, ele irá lucrar em média \(\$ 1.09\) por peça.

Já se ele vender para o comprador B, temos que

\[\mathbb E(\mbox{lucro B}) = 1.20 \times 0.678 + 0.80 \times 0.322 \approx 1.07\]

que é um lucro dois centavos inferior.

Portanto, é mais interessante ao industrial que o comprador A examine mais peças.

Se o inimigo escolhe a versão 1, Sherlock deve escolher 10 ou 100 lançamentos?

Seja \(X_i\) a v.a. que indica o resultado do \(i\)-ésimo lançamento da moeda, ou seja,

\[X_i = \begin{cases} 1, & \mbox{se sair cara} \\ 0, & \mbox{se sair coroa} \end{cases} \quad \mbox{e} \quad P(X_i=0)=P(X_i=1)=0.5 \]

Seja \(X=\sum_{i=1}^nX_i\) a v.a. que indica o número de caras em \(n\) lançamentos da moeda. Então, \(X \sim \mbox{Bin}(n, 0.5).\)

Na versão 1, Sherlock vence se a proporção de caras é maior do que \(0.60\), ou seja, se \(X\geq n \times 0.6\).

Basta então Sherlock comparar \(P(X\geq n\times 0.6)\) para \(n=10\) ou \(n=100\) e escolher o que resultar em maior probabilidade.

Na prática, para tomar uma decisão rápida, Sherlock deve considerar que a proporção esperada de caras é sempre 0.5, mas que quando \(n\) é menor, existe maior variabilidade em torno desse valor esperado.

• Se a proporção de caras for maior do que \(0.60\), Sherlock vence.

Aqui Sherlock deve escolher \(n=10\), pois a variância de \(X/n\) (proporção de caras) é maior com \(n=10\).

• Se a proporção de caras for maior do que \(0.40\), Sherlock vence.

Aqui Sherlock deve escolher \(n=100\), pois a variância de \(X/n\) é menor com \(n=100\), portanto chances maiores da proporção observada estar próxima da proporção esperada.

• Se a proporção de caras estiver entre \(0.40\) e \(0.60\), Sherlock vence.

Mesmo raciocínio do item anterior.

• Se a proporção de caras for menor do que \(0.30\), Sherlock vence.

Mesmo raciocínio do item 1.