## El peso promedio de recién nacidos en una región es de 3.2Kg. y
## desviación estándar de 0.9 Kg. Ocurre la dispersión de un contaminante
## debido a un accidente y se sospecha que puede tener efecto sobre el
## peso de los recién nacidos. En una muestra de 100 individuos (bebés
## recién nacidos) se obtiene una media de 3.0 Kg.
## Pregunta: ¿la muestra es indicativa de algún efecto sobre el peso de
## los recién nacidos?
## Los datos indican:
mu = 3.2 ## μ = 3.2 Media de población (peso en Kg.) de recién nacidos
σ = 0.9 ## Desviación estándar de población del peso de recién nacidos
## Asimismo, el tamaño de la única muestra es:
n = 100
## Y la media de la muestra es:
xbar = 3 ## Este es un único valor
## Solución: Es un resultado estadístico que si X1, X2, ..., Xn es una
## muestra aleatoria de una variable aleatoria X, con media μ y varianza
## σ(al cuadrado), Xbar=(1/n)ΣXi también tiene media μ y varianza σ(al
## cuadrado)/n.
## Nota.- Es importante comprender lo que este resultado dice y no dice
## acerca de Xbar, la media de las muestras aleatorias. El hecho de que el
## valor esperado E[Xbar] sea μ:
## (A) No dice que la media de xbar de 'n' valores observados sea igual a
## la media de la población μ.
## (B) Si dice que si REPETIDAMENTE tomamos muestras de tamaño n y
## calculamos xbar para cada una, el promedio después de muchas muestras
## de las xbar si es μ, el mismo valor de la media poblacional.
## (C) Similarmente, el resultado Var[Xbar]=σ(al cuadrado)/n describe la
## variabilidad de estos valores xbar sobre muestras repetidas del mismo
## tamaño n. [Referencia: Larson, H., 'Introduction to Probability Theory
## and Statistical Inference'. Wiley, 3d Ed. 1982, pp.346-347]
## Las medias de muestras de tamaño n extraidas de la población, por lo
## antes señalado (UN UNIVERSO DE MUCHAS MUESTRAS), tiene una media
## esperada de μ,
(Xbar = mu)
## [1] 3.2
## y tienen una desviación estándar S = σ/sqrt(n).
(S = σ/sqrt(n))
## [1] 0.09
## Muchas muestras aleatorias (n > 30), por el Teorema del Límite Central
## exhiben un comportamiento aleatorio con distribución Normal, con los
## valores antes señalados de media Xbar=μ y desviación estándar S. Su
## gráfica correspondería a la siguiente figura:
promedio <- seq(2.6, 3.8, length = 100)
plot(promedio, dnorm(promedio, Xbar, S), type = "l", xlab = "")
text(3.4, 3, labels = "Densidad para Xbar, n=100", col = "blue", cex = 0.8,
pos = 4)
arrows(3.4, 3, 3.4 - 0.1, 3 - 0.1, col = "red", lwd = 7)
abline(v = mu - S, col = "gray")
abline(v = mu + S, col = "gray")
text(mu - S, 2.8, labels = "mu-S", col = "blue", cex = 0.9, pos = 1)
text(mu + S, 2.8, labels = "mu+S", col = "blue", cex = 0.9, pos = 1)
text(mu, 0, labels = "Xbar=mu", col = "blue", cex = 0.9, pos = 3)
abline(v = mu, col = "gray")
## Línea para xbar = 3.0 Kg
abline(v = xbar, col = "red")
text(xbar, 0.4, labels = "xbar=3.0 Kg. (media de la muestra)", col = "red",
cex = 0.8, pos = 3)
## La pregunta: ¿la muestra de la población es indicativa de algún efecto
## sobre el peso de los recién nacidos? (Se está comparando UNA MUESTRA DE
## TAMAÑO 100 con la distribución esperada de muchas muestras de tamaño
## 100) se responde si se observa xbar = 3.0 Kg. (el valor medio de una
## sola muestra) en la gráfica.
## Es decir que el valor 3.0 Kg está alejado de la media de 3.2 Kg el
## equivalente a (3.2 - 3.0)/S, o sea 2.22 veces la desviación estandar S.
((3.2 - 3)/S)
## [1] 2.222
Se concluye que se rechazaría la Hipótesis de que el peso de los bebes no ha cambiado con la contaminación ya que el valor encontrado de la media de la muestra (3 Kg.) está muy alejado del valor de la media (3.2 Kg.) que se esperaría de muchas muestras de tamaño n=100 obtenidas de la población NO CONTAMINADA.
## Hay un 1.3% de probabilidad de que el valor de la media de una muestra
## sea menor o igual a 3.0 Kg: P(x <= 3.0), que en R se calcula así:
## pnorm(x, media, desv.est)
(pnorm(3, Xbar, S) * 100)
## [1] 1.313