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## Attaching package: 'expm'
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##     expm

1. Las estilistas Linda y Bella pueden atender cada una a un cliente a la vez. Tienen tres asientos para que los clientes puedan esperar cuando estan ambas ocupadas. Si estos asientos estan ocupados, los clientes adicionales no esperan. Las estilistas operan en forma independiente. Las probabilidades Pn de que haya exactamente n clientes en el sistema, para n = 0, 1, 2, . . . , 5 son P0 = 0.15, P1 = 0.1, P2 = 0.25, P3 = 0.28, P4 = 0.16 y P5 = 0.06.

(a) Calcule L, Lq.

\[L=\sum_{n=0}^{\infty} n Pn\]

L=(0 * 0.15) + (1 * 0.1) + (2 * 0.25) + (3 * 0.28) + (4 * 0.16) + (5 * 0.06)
show(L)
## [1] 2.38

\[Lq=\sum_{n=s}^{\infty} (n-s) Pn\]

Lq=((2 - 2) * 0.25) + ((3 - 2) * 0.28) + ((4 - 2) * 0.16) + ((5 - 2) * 0.06)
show(Lq) 
## [1] 0.78

(b) Halle el numero esperado de clientes que estan siendo servidos.

\[Numero de Servidores = L - Lq\]

Numerodeservidores= 2.38-0.78
show(Numerodeservidores) 
## [1] 1.6

(c) Si llegan 3 clientes en promedio por hora, calcule W y Wq.

\[\lambda = \frac{3}{1}\]

\[\lambda = 3\]

\[W = \frac{L}{\lambda}\]

w=2.38/3
show(w) 
## [1] 0.7933333

\[Wq = \frac{Lq}{\lambda}\]

Wq=0.78/3
show(Wq) 
## [1] 0.26

(d) ¿ Cual es el tiempo esperado de un servicio?

\[Ts = W - Wq\]

Ts=0.7933- 0.26
show(Ts) 
## [1] 0.5333

2. Demuestre que:

\[L=\sum_{n=0}^{s-1}nP_n+L_q+s\left(1-\sum_{n=0}^{s-1}P_n\right)\]

Se procede a demostrar el modelo de linea de espera y tasa de llegada.

Donde: \[L=\sum_{n=0}^{\inf}nP_n\] \[L_q=\sum_{n=s}^{\inf}P_n\]

\[L=Promedio del Sistema\] \[L_q=Promedio de Cllientes en Cola\]

Se tiene que:

\[\sum_{n=s}^{\inf}nP_n=L_q+s\left(1-\sum_{n=0}^{s-1}P_n\right)\]

Entonces: \[L_q=\sum_{n=s}^{\inf}nP_n-\sum_{n=s}^{\inf}sP_n\] \[L=\sum_{n=0}^{s-1}nP_n+\sum_{n=s}^{\inf}nP_n-\sum_{n=s}^{\inf}sP_n+s\left(1-\sum_{n=0}^{s-1}P_n\right)\] \[W=\frac{L}{\lambda}\;\;\;\;W_q=\frac{L_q}{\lambda}\;\;\;\;\lambda _0=(1-P_M)\]

3. Identifique los clientes y los servidores del sistema de colas en cada situacion:

(a) La caja de salida de un supermercado.

Servidores=Cajas.

Clientes=Clientes supermercado.

(b) Un puesto de bomberos.

Servidores=Camiones de bomberos.

Clientes=Incendios.

(c) Una caseta de peaje.

Servidores=Casetas de peaje.

Clientes=Automoviles.

(d) Un taller de carros.

Servidores=Mecanicos.

Clientes=Automoviles.

(e) Un muelle de carga y descarga.

Servidores=Muelle.

Clientes=Barcos.

(f) Un lavadero de carros.

Servidores=Estaciones de lavado

Clientes=Automoviles

(g) Un taller que produce maquinas sobre pedido.

Servidores=Lineas de produccion.

Clientes= Pedidos.

4. Un banco tiene dos cajeros en servicio. Los clientes llegan a una tasa de 40 por hora. Una cajera requiere en promedio dos minutos para atender a un cliente. Se sabe que los clientes esperan en cola un promedio de un minuto. Determine las medidas de desempeño básicas \[W, W_q, L \;\; y \;\; L_q\]

lambda=40
Mu=30*2
L=lambda/(Mu-lambda)
show(L)
## [1] 2
W=L/lambda
show(W)
## [1] 0.05
Wq=1/60
show(Wq)
## [1] 0.01666667
Lq=lambda*Wq

show(Lq)
## [1] 0.6666667

5. Considere un proceso de nacimiento y muerte con \[{\mu_n = 2}\] para \[{n = 1, 2, 3, . . .} \], \[{\lambda_0} = 3, {\lambda_ 1} = 2, {\lambda_2 = 1}\], y \[{\lambda_n} = 0 \] para n = 3, 4, 5, . . . .

(a) Construya el diagrama de tasas.

(b) Calcule P0, P1, P2, P3 y Pn para n = 4, 5, 6, . . . .

\[P_1= \frac{{\lambda_0} P_0}{\mu_1}\] \[P_1= \frac{3}{2} P_0\]

\[P_2= \frac{{\lambda_0} {\lambda_1} P_0}{{\mu_1}{\mu_2}}\] \[P_2= \frac{3}{2} P_0\]

\[P_3= \frac{{\lambda_0} {\lambda_1} {\lambda_2} P_0}{{\mu_1}{\mu_2}{\mu_3}}\] \[P_3= \frac{3}{4} P_0\]

\[P_n= \frac{{\lambda_0} {\lambda_1} {\lambda_2} {\lambda_{n-1}} P_0}{{\mu_1}{\mu_2}{\mu_3}{\mu_n}}\]

Como \[\lambda_{n}=0\]

\[P_n=0\]

Teniendo en cuenta que:

\[P_0+P_1+P_2+P_3+P_n=1\]

Reemplazando:

\[P_0+\frac{3}{2} P_0+\frac{3}{2} P_0+\frac{3}{4} P_0+0=1\]

\[P_0(1+\frac{3}{2} +\frac{3}{2} +\frac{3}{4})=1\]

\[P_0=\frac{1}{4.75}\]

\[P_0=0.2105\]

De forma que:

\[P_0=0.2105\]

\[P_1= \frac{3}{2}* 0.2105=0.31575\]

\[P_2= \frac{3}{2}* 0.2105=0.31575\]

\[P_3= \frac{3}{4}* 0.2105=0.157875\]

\[P_n=0\]

(c) Calcule W, Wq, L y Lq.

L=(0 * 0.2105) + (1 * 0.3157) + (2 * 0.3157) + (3 * 0.157875) + (4 * 0) 
show(L)
## [1] 1.420725
Lq=((0 * 0.2105) + (1 * 0.3157) + (2 * 0.3157) + (3 * 0.157875) + (4 * 0))-(1 - 0.2105)
show(Lq) 
## [1] 0.631225
Lambda=1.58
show(Lambda)
## [1] 1.58
w=L/Lambda
show(w)
## [1] 0.899193
Wq=Lq/Lambda
show(Wq)
## [1] 0.3995095

6. Compruebe que para una cola M/M/1 se tienen las siguientes relaciones:

(a) \[\lambda=\frac{(1-P_0)^2}{W_q P_0}\]

(b) \[\mu=\frac{1-P_{0}}{W_q P_0}\] Se tiene que: \[W_q P_0=\frac{(1-P_0)^2}{\lambda}\] \[W_q P_0=\frac{1-P_0}{\mu}\] Se igualan las dos ecuaciones \[\frac{(1-P_0)^{2}}{\lambda}=\frac{1-P_0}{\mu}\] Si \[\rho=\frac{\lambda}{\mu}\:\:\: ; \:\:\:\mu=\frac{\lambda}{\rho}\] \[P_0=1-\rho\:\:\: ; \:\:\:\rho=1-P_0\] Se Reemplaza las ecuaciones \[\frac{(1-P_0)^2}{\lambda}=\frac{1-1+\rho}{\frac{\lambda}{\rho}}\] \[\frac{(1-P_0)^2}{\lambda}=\frac{\rho ^2}{\lambda}\] \[\frac{(1-P_0)^2}{\lambda}=\frac{(1-P_0)^2}{\lambda}\]

7. Se tiene un buffer para la transmision de mensajes que llegan con tiempos entre llegadas exponenciales con media E(X). El tiempo de transmision de mensajes tiene distribucion exponencial con media E(T). El buffer emplea una tecnica de autorregulacion de tal manera que cuando hay s o mas mensajes todo mensaje que llega se rechaza con probabilidad 1-p. Encontrar la probabilidad de que un mensaje sea bloqueado.

  1. \[ \lambda P_{0}=\mu P_{1}\Rightarrow P_{1}=\frac{\lambda}{\mu}P_{0}=\rho P_{0} \]

  2. \[ \lambda P_{1}=\mu P_{2}\Rightarrow P_{2}=\frac{\lambda}{\mu}P_{1}=\rho ^{2}P_{0} \]

(S+1) \[ \lambda \rho P_{S}=\mu P_{s+1}\Rightarrow P_{s+1}=\frac{\lambda \rho}{\mu}P_{s}=P^{s+1}\rho ^{2}P_{0} \] (S+2) \[ \lambda \rho P_{s+1}=\mu P_{s+2}\Rightarrow P_{s+2}=\frac{\lambda \rho}{\mu}P_{s+1}=P^{s+2}\rho ^{2}P_{0} \] \[ P_{0}=\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{\infty}\prod_{n=1}^{i}\frac{\lambda _{n}-1}{\mu _{n}}} \] \[ =\frac{1}{\sum_{i=0}^{s-1}P^{i}+\sum_{i=s}^{\infty}P^{i-s}P^{i}} \] \[ =\frac{1}{\frac{1-P^{s}}{1-P}+P^{5}\sum_{i=5}^{\infty}(\rho P)^{i-s}} \] \[ =\frac{1}{\frac{1-P^{s}}{1-P}+\frac{P^{s}}{1-\rho P}} \]

La probabilidad de bloqueo es:

\[ P_{b}=\sum_{i=s}^{\infty}(1-\rho)P_{i}=(1-\rho)P_{0}\sum_{i=s}^{\infty}\frac{P_{n}}{P_{0}} \] \[ =(1-\rho)P_{0}\sum_{i=5}^{\infty}\rho ^{i-s}\rho ^{i} \] \[ P_{b}=(1-\rho)P_{0}\frac{\rho ^{s}}{1-\rho P} \]

8. Una población finita de usuarios de tamaño N, opera en un múltiplex estadístico en un ciclo continuo de pensar, esperar, servicio. Durante la fase pensar el usuario genera un mensaje. El mensaje hace cola detrás de otros mensajes, si los hay, esperando para ser transmitido. Cuando el mensaje llega a servicio se transmite por un canal de comunicación. Los tiempos de generación del mensaje y servicio tienen distribución exponencial con tasas \[\mu \;\; y \;\; \lambda\] respectivamente. El estado del sistema es el número de usuarios que esperan ser servidos.

(a) Haga el diagrama de tasas.

(b) Escriba las ecuaciones de balance

Estado 0 \[\mu P_1=\lambda NP_0 \;\;\rightarrow\;\;P_1=\frac{\lambda}{\mu}NP_0\] Estado 1 \[\lambda NP_0+\mu P_2=\lambda (N-1)P_1+\mu P_1 \;\;\rightarrow\;\;P_2=\frac{\lambda^2 (N-1)N}{\mu^2}P_0\] Estado 2 \[\lambda (N-1)P_1+\mu P_3=\mu P_2+\lambda (N-2)P_2 \;\;\rightarrow\;\;P_3=\frac{\lambda ^3N(N-2)(N-1)}{\mu}P_0\] Estado 3 \[\lambda (N-2)P_2=\mu P_3 \;\;\rightarrow\;\;P_3=\frac{\lambda ^3}{\mu ^3}N(N-1)(N-2)P_0\] Estado N-1 \[2\lambda P_{N-2}+\mu P_N= \mu P_{N-1}+\lambda P_{N-1} \;\;\rightarrow\;\;P_N=\frac{(\mu+\lambda)P_{N-1}-2\lambda P_{N-2}}{\mu}\] Estado N \[\lambda P_{N-1}=\mu P_N \;\;\rightarrow\;\;P_N=\frac{\lambda}{\mu}P_{N-1}\]

(c) Encuentre expresiones para \[C_n, P_0 \;\; y \;\; P_n\]

\[P_0=1-\rho\] \[P_n=\rho ^n\frac{N!}{(N-n)!}P_0\] \[C_n=\rho ^n\frac{N!}{(N-n)!}\]

9. Diez empleados comparten una oficina con cuatro telefonos. Los empleados siempre estan haciendo una de dos actividades: trabajando o usando el telefono. No se permiten otras actividades. Cada empleado opera continuamente como sigue: el empleado esta inicialmente trabajando por un perıodo de tiempo exponencial con parametro \[\lambda\] . Luego el empleado intenta usar una de las lineas telefonicas. Si todas las lineas estan ocupadas el empleado es bloqueado y retorna a trabajar inmediatamente. Si un telefono esta disponible el empleado lo usa por un tiempo exponencial de parametro \[ \mu \] y retorna a trabajar.

(a)Defina un espacio de estados apropiado para este sistema.

(b) Haga el diagrama de estados para este sistema y muestre las tasas de transicion

(c) Escriba las ecuaciones de balance.

\[ Ecu 0: \mu P_{1}=10\lambda P_{0} \] \[ Ecu 1: 10\lambda P_{0}+2\mu P_{2}=9\lambda P_{1}+\mu P_{1} \] \[ Ecu 2: 9\lambda P_{1}+3\mu P_{3}=8\lambda P_{2}+2\mu P_{2} \] \[ Ecu 3: 8\lambda P_{2}+4\mu P_{4}=7\lambda P_{3}+3\mu P_{3} \] \[ Ecu 4: 7\lambda P_{3}=4\mu P_{4} \]

(d) Calcule la probabilidad de bloqueo para el sistema. Es decir, encuentre la proporcion de intentos de solicitar servicio que seran bloqueados sobre el numero de llegadas, en terminos de los parametros y de las probabilidades de estado.

\[ P_{B}=P_{4}=\frac{7\lambda}{4\mu}*[(\frac{60\lambda ^{3}P_{0}}{\mu ^{4}})-(\frac{15\lambda ^{2}P_{0}}{\mu ^{2}})] \] \[ =P_{0}[(\frac{105\lambda ^{4}}{\mu ^{4}})-(\frac{26.25\lambda ^{3}}{\mu ^{3}})] \]

(e) Halle la tasa de generacion promedio de llamadas.

\[ \bar{\lambda}=\sum_{n=1}^{4}\lambda_{i}P_{i} \] \[ =(\frac{10\lambda P_{0}}{\mu})+(\frac{45\lambda^{2}P_{0}}{2\mu^{2}})+(\frac{60\lambda ^{3}P_{0}}{\mu^{3}})-(\frac{15\lambda ^{2}P_{0}}{\mu^{2}})+(\frac{105\lambda ^{4}P_{0}}{\mu^{4}})-(\frac{26.25\lambda ^{3}P_{0}}{\mu^{3}}) \] \[ \bar{\lambda}=\sum_{n=1}^{4}\lambda _{i}P_{i}=(\frac{10\lambda P_{0}}{\mu})+(\frac{7.5\lambda^{2}P_{0}}{\mu^{2}})+(\frac{33.75\lambda ^{3}P_{0}}{\mu^{3}})+(\frac{105\lambda ^{4}P_{0}}{\mu^{4}}) \]

(f) Resuelva las ecuaciones de balance.

\[ P_{1}=\frac{10\lambda P_{0}}{\mu} \] \[ P_{2}=\frac{9\lambda P_{1}+\mu P_{1}-10\lambda P_{0}}{2\mu}=\frac{9\lambda (\frac{10\lambda P_{0}}{\mu})+\mu (\frac{10\lambda P_{0}}{\mu})-10\lambda P_{0}}{2\mu}=\frac{(\frac{90\lambda ^{2}P_{0}}{\mu })}{2\mu} \] \[ P_{2}=\frac{45\lambda ^{2}P_{0}}{2\mu ^{2}} \] \[ P_{3}=\frac{8\lambda P_{2}+2\mu P_{2}-9\lambda P_{1}}{3\mu} \] \[ =P_{3}=\frac{8\lambda (\frac{45\lambda ^{2}P_{0}}{2\mu ^{2}})+2\mu (\frac{45\lambda ^{2}P_{0}}{2\mu ^{2}})-9\lambda (\frac{10\lambda P_{0}}{\mu})}{3\mu} \] \[ =\frac{(\frac{360\lambda ^{3}P_{0}}{2\mu ^{2}})+2\mu (\frac{45\lambda ^{2}P_{0}}{2\mu ^{2}})-(\frac{90\lambda ^{2}P_{0}}{\mu})}{3\mu} \] \[ P_{3}=(\frac{60\lambda ^{3}P_{0}}{\mu ^{3}})-(\frac{15\lambda ^{2}P_{0}}{\mu ^{2}}) \] \[ P_{4}=\frac{7\lambda P_{3}}{4\mu } \] \[ P_{4}=\frac{7\lambda}{4\mu}*[(\frac{60\lambda ^{3}P_{0}}{\mu ^{3}})-(\frac{15\lambda ^{2}P_{0}}{\mu ^{2}})] \] \[ P_{4}=(\frac{105\lambda ^{4}P_{0}}{\mu ^{4}})-(\frac{26.25\lambda ^{3}P_{0}}{\mu ^{3}}) \]

(g) Para \[\mu =\frac{1}{3} \]

llamadas por minuto. Recalcule.

\[ Ecu 0: \frac{1}{3}P_{1}=10\lambda P_{0} \] \[ Ecu 1: 10\lambda P_{0}+\frac{2}{3}P_{2}=9\lambda P_{1}+\frac{1}{3}P_{1} \] \[ Ecu 2: 9\lambda P_{1}+P_{3}=8\lambda P_{2}+\frac{2}{3}P_{2} \] \[ Ecu 3: 8\lambda P_{2}+\frac{4}{3}P_{4}=7\lambda P_{3}+P_{3} \] \[ Ecu 4: 7\lambda P_{3}=\frac{4}{3}P_{4} \]

Ecuaciones:

\[ P_{1}=\frac{10\lambda P_{0}}{1/3}=30\lambda P_{0} \] \[ P_{2}=\frac{9\lambda P_{1}+\frac{1}{3}P_{1}-10\lambda P_{0}}{2/3}= \frac{9\lambda (30\lambda P_{0})+\frac{1}{3}(30\lambda P_{0})-10\lambda P_{0}}{2/3} \] \[ P_{2}=\frac{9\lambda (30\lambda P_{0})}{2/3}=405\lambda ^{2}P_{0} \] \[ P_{3}=8\lambda P_{2}+\frac{2}{3}P_{2}-9\lambda P_{1}= 8\lambda (405\lambda ^{2}P_{0})+\frac{2}{3}(405\lambda ^{2}P_{0})-9\lambda (30\lambda P_{0}) \] \[ P_{3}=3240\lambda ^{3}P_{0} \] \[ P_{4}=\frac{7\lambda P_{3}}{4/3}\Rightarrow \frac{7\lambda (3240\lambda ^{3}P_{0})}{4/3} \] \[ P_{4}=17010\lambda ^{4}P_{0} \]

10. Considere la cola M/M/s en la que los clientes llegan a una tasa promedio de uno cada media hora y cada servidor tarda un promedio 20 minutos por cliente y obtenga los siguientes resultados para s=1 y s=2 servidores. La hora es la unidad de tiempo.

Para la cola M/M/1 se tiene: \[C_n=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n=P^n\] \[P_0=1-\rho\] \[P_n=\rho^n(1-\rho)\] \[L=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\] \[L_q=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}\] \[W=\frac{1}{\mu-\lambda}\] \[W_q=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}=W-\frac{1}{\lambda}\] \[P(W>t)=e^{\mu(1-\rho)t}\] \[P(W_q>t)=\rho e^{\mu(1-\rho)t}\]

s=1
summary(QueueingModel(NewInput.MMC(lambda = 2, mu = 3, c = 1)))
## The inputs of the model M/M/c are:
## lambda: 2, mu: 3, c: 1, n: 0, method: Exact
## 
## The outputs of the model M/M/c are:
## 
## The probability (p0, p1, ..., pn) of the n = 0 clients in the system are:
## 0.3333333
## The traffic intensity is: 0.666666666666667
## The server use is: 0.666666666666667
## The mean number of clients in the system is: 2
## The mean number of clients in the queue is: 1.33333333333333
## The mean number of clients in the server is: 0.666666666666667
## The mean time spend in the system is: 1
## The mean time spend in the queue is: 0.666666666666667
## The mean time spend in the server is: 0.333333333333333
## The mean time spend in the queue when there is queue is: 1
## The throughput is: 2

\[\mu=3\] \[\lambda=2\] \[\rho=\frac{2}{3}\] \[P_0=1-\frac{2}{3}=0.333\] \[P_1=\frac{2}{3}\left(1-\frac{2}{3}\right)=0.222\] \[P_n=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n}{n!}\frac{1}{3}\] \[L_q=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}=\frac{4}{3}=1.333\] \[L=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}=2\] \[W_q=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}=\frac{2}{3}=0.666\] \[W=\frac{1}{\mu-\lambda}=1\] \[P\left(W_q>0\right)=0.666\] \[P\left(W_q>\frac{1}{2}\right)=0.404\] \[P\left(W_q>1\right)=0.245\] \[P\left(W>\frac{1}{2}\right)=0.61\]

s=2
summary(QueueingModel(NewInput.MMC(lambda = 2, mu = 6, c = 2)))
## The inputs of the model M/M/c are:
## lambda: 2, mu: 6, c: 2, n: 0, method: Exact
## 
## The outputs of the model M/M/c are:
## 
## The probability (p0, p1, ..., pn) of the n = 0 clients in the system are:
## 0.7142857
## The traffic intensity is: 0.333333333333333
## The server use is: 0.166666666666667
## The mean number of clients in the system is: 0.342857142857143
## The mean number of clients in the queue is: 0.00952380952380952
## The mean number of clients in the server is: 0.333333333333333
## The mean time spend in the system is: 0.171428571428571
## The mean time spend in the queue is: 0.00476190476190476
## The mean time spend in the server is: 0.166666666666667
## The mean time spend in the queue when there is queue is: 0.1
## The throughput is: 2

\[\mu=6\] \[\lambda=2\] \[\rho=\frac{1}{3}\] \[P_0=1-\frac{5}{7}=0.714\] \[P_1=\frac{2}{21}=0.095\] \[P_n=\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n}{n!}\frac{5}{7}\] \[L_q=0.009\] \[L=0.342\] \[W_q=0.004\] \[W=0.171\] \[P\left(W_q>0\right)=0.047\] \[P\left(W_q>\frac{1}{2}\right)=0.0003\] \[P\left(W_q>1\right)=2.16E_{-6}\] \[P\left(W>\frac{1}{2}\right)=0.37\]