Wstęp.

Za cel pracy postawiono analizę opłacalności inwestycji w lokaty strukturyzowane - produkty oferujące wysokie zwroty w poróWnaniu do depozytów. Wymaga to jednak spełnienia odpowiednich warunków, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się łatwe do wypełnienia, jednak czy jest tak w rzeczywistości?. Na podstawie trzech wybranych lokat opartych o notowania kursu USD/PLN:

zostanie oszacowana wartość oczekiwania stóp zwrotu z tych instrumentów oraz jej prawdopodobieństwo. W tym celu posłużono się metodą Monte Carlo wraz z jej wariacjami - na podstawie historycznych zwrotów, rozkładu normlanego lub t-studenta oraz z wykorzystaniem modeli GARCH.

Charakterystyka wybranych lokat.

1. “DB LOKATA INWESTYCYJNA STABILIZACJA ZŁOTEGO III” - Deutsche Bank Polska“.

Formuła produktu opiera się na założeniu, że kurs USD/PLN w czasie trwania lokaty inwestycyjnej pozostanie w zdefiniowanym przedziale. Okres subskrypcji to od 11.01.2016 do 28.01.2016, a trwania inwestycji to od 29.01.2016 do 29.07.2016 (6 miesięcy). Zysk z Lokaty Inwestycyjnej Stabilizacja Złotego III uzależniony jest od kursu średniego Narodowego Banku Polskiego dla pary walutowej USD/PLN (tj. wskaźnika). Obserwacja, czy zdefiniowane bariery zostały przekroczone, odbywa się każdego dnia okresu inwestycji. Jeżeli wskaźnik w trakcie trwania inwestycji pozostanie w zdefiniowanym przedziale, zostanie naliczone oprocentowanie w wysokości 2% za okres inwestycji. Przedział ten to: \[fixing_{1} \in (fixing_{0}-0.22 ; fixing_{0} + 0.22)\] \(fixing_0\) - kurs średni dolara według Narodowego Banku Polskiego z dnia 28.01.2016, który wyniósł 4.0723. \[ \\ \] W celu ocenienia wrażliwości lokaty na zmianę jej definicji zdecydowano się także zastosować szerszy przedział, mianowicie: \[(fixing_{0}-0.24 ; fixing_{0} + 0.24)\]

Szczegółowe informacje dotyczące lokaty znajdują się tutaj.

2. “LOKATA STRUKTURYZOWANA USD ZŁOTY STABILIZACJA” - Bank Zachodni WBK.

Lokata USD Złoty Stabilizacja to strategia na stabilizację kursu USD/PLN (tj. wskaźnika). Okres subskrypcji to 06.07.2016 - 19.07.2016, czas trwania inwestycji: 20.07.2016 - 19.07.2017 (12 miesięcy). Stopa procentowa może wynieść 5,0% w skali roku, w przypadku, gdy kurs w dniu ostatniej obserwacji przyjmie wartość z przedziału: \[fixing_{1} \in (fixing_{0}-0.06 ; fixing_{0} + 0.06)\] \(fixing_0\) - kurs średni dolara według Narodowego Banku Polskiego z dnia 20.07.2016, który wyniósł 3.8724. \[ \\ \] W celu ocenienia wrażliwośći lokaty na zmianę jej definicji zdecydowano się także zastosować szerszy przedział: \[(fixing_{0}-0.08 ; fixing_{0} + 0.08)\]

Szczegółowe informacje dotyczące lokaty znajdują się tutaj.

3. “RANGE ACCRUAL USD DOLAR PLUS XVI” - Bank Zachodni WBK.

W zależności od zachowania się notowań kursu USD/PLN w okresie depozytowym oprocentowanie oblicza się następująco: 1) wynosi 6,00% za każdy dzień obserwacji kursu, w którym spełniony zostanie warunek naliczania oprocentowania. 2) wynosi 0,00% za każdy dzień obserwacji kursu, w którym niespełniony zostanie warunek naliczania oprocentowania. Czas subskrypcji wystąpił od 18.02.2015 do 03.03.2015 oraz trwania inwestycjiod 04.03.2015 do 01.06.2016.

Odsetki wyliczane są ze wzoru: Odsetki = 6,00*\(\frac{n}{N}\) gdzie:
N - liczba wszystkich dni obserwacji,
n - liczba dni, w którym spełniony zostanie warunek: \[fixing_{1} \in (fixing_{0}-0.02 ; fixing_{0} + 0.16)\] \(fixing_0\) - kurs średni dolara według Narodowego Banku Polskiego z dnia 04.03.2015, który wyniósł 3.7485.
\[ \\ \] W celu ocenienia wrażliwośći lokaty na zmianę jej definicji zdecydowano się także zastosować szerszy przedział, mianowicie: \[(fixing_{0}-0.04 ; fixing_{0} + 0.18)\]

Szczegółowe informacje dotyczące lokaty znajdują się tutaj.

Wstępna analiza danych.

Poniżej przedstawiono średni kurs NBP USD/PLN w okresie od 2000-01-03 do 2016-08-31. Można zauważyć wyraźny spadek kursu do początku kryzysu w połowie 2008 roku. Od tego momentu kurs jest w trendzie rosnącym.

\[ \\ \] Oraz ciągłe stopy zwrotu dla których można zauważyć grupowanie się wariancji w okresie największych zmian kursu, czyli początku kryzysu finansowego. \[ \\ \]

##             X..USDPLN.Kurs.diff
## nobs                4213.000000
## NAs                    1.000000
## Minimum               -0.067485
## Maximum                0.059370
## 1. Quartile           -0.004864
## 3. Quartile            0.004395
## Mean                  -0.000012
## Median                -0.000438
## Sum                   -0.052072
## SE Mean                0.000139
## LCL Mean              -0.000285
## UCL Mean               0.000261
## Variance               0.000082
## Stdev                  0.009039
## Skewness               0.354149
## Kurtosis               5.048107

średnie zwroty oraz wariancja sa bliskie zera. Najistotniejszą wielkością jest kurtoza, która znacznie przekracza 0, co oznacza leptokurtyczność rozkładu. Te przypuszczenie potwierdza histogram, gdzie wartości zwrotów są stanowczo bardziej skoncentrowane wokół średniej, niż w przypadku rozkładu normalnego.

W celu oceny wrażliwości osiąganych stóp zwrotu zdecydowano się dodatkowo podzielić badaną bazę na dwa okresy. W pierwszym z nich:

można wyraźnie zaobserwować spadek kursu, co powinno mieć odzwierciedlenie w możliwościach osiągnięci zakładanego zysku z lokaty.

Drugi okres to reszta próbki, czyli daty gdzie kurs wzrasta i stabilizuje się:

Przypuszczenia te potwierdzają dodatkowo poniższe rysunki.

Losowanie proste Monte Carlo.

Pierwsza z zastosowanych metod polega na wykonaniu symulacji Monte Carlo (10 000 powtórzeń) w oparciu o dane historyczne. Na tej podstawie będzie można ocenić prawdopodobieństwo oraz wysokość osiągniętego zysku z danej lokaty.

Pierwsza lokata - “DB LOKATA INWESTYCYJNA STABILIZACJA ZŁOTEGO III”.

Dla pierwszej lokaty będziemy losować 127 elementową próbkę, gdyż okres inwestycji wynosi 6 miesięcy.

Sukces zaobserwowaliśmy w poniżej przedstawionej ilości przypadków:

## [1] 0.0432

, wariancja wynosi:

## [1] 0.04133789

oraz oczekiwana stopa zwrotu w stosunku rocznym (wyrażona w procentach) z tej lokaty to:

## [1] 0.1728

\[ \\ \] Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko możliwość losowania danych historycznych z pierwszego okresu to sukces osiągamy w liczbie przypadków wynoszęcej:

## [1] 0.1134

, wariancja to:

## [1] 0.1005505

,a oczekiwana stopa zwrotu w stosunku rocznym (wyrażona w procentach) to:

## [1] 0.4536

\[ \\ \] Dla drugiego okresu udział sukcesów w 10 000 próbce to:

## [1] 0.0115

, wariancja:

## [1] 0.01136889

, oczekiwana stopa zwrotu w stosunku rocznym (wyrażona w procentach):

## [1] 0.046

\[ \\ \] Ciekawym przypadkiem jest zmiana definicji lokaty (powiększenie przedziału) i wtedy udział sukcesów wynosi:

## [1] 0.0643

, wariancja:

## [1] 0.06017153

oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.2572

Druga lokata - “LOKATA STRUKTURYZOWANA USD ZŁOTY STABILIZACJA”.

Dla drugiej lokaty będziemy losować 252 elementową próbkę, gdyż okres inwestycji wynosi 12 miesięcy, a prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu:

## [1] 0.0929

, wariancja:

## [1] 0.04133789

Z kolei oczekiwany zwrot (wyrażony w procentach) z tej lokaty to:

## [1] 0.4645

\[ \\ \]

Losując obserwacje tylko z pierwszego okresu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi:

## [1] 0.0905

, wariancja:

## [1] 0.1005505

oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.4525

\[ \\ \] Z kolei dla drugie okresu udział sukcesów to:

## [1] 0.0639

, wariancja:

## [1] 0.01136889

oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.3195

\[ \\ \] Powiększając przedział fixingu prawdopodbieństwo sukcesu zwiększa się do:

## [1] 0.1225

, wariancja:

## [1] 0.04133789

, a oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.6125

Trzecia lokata - “RANGE ACCRUAL USD DOLAR PLUS XVI” - Bank Zachodni WBK.

Dla trzeciej lokaty będziemy losować 315 elementową próbkę, gdyż okres inwestycji wynosi 15 miesięcy, a rzeczywiście osiągnięte oprocentowanie z inwestycji wyniosło 3.2%:

\[ \\ \] Poniżej przedstawino histogram możliwych do zrealizowania zysków oraz oczekiwaną stopę zwrotu (wyrażoną w procentach). 

## [1] 1.219027

\[ \\ \] Podobnie jak przy poprzednich lokatach niżej przedstawino wpływ możliwości losowania tylko z pierwszego okresu.

## [1] 1.190861

\[ \\ \] Oraz możliwość losowania tylko z drugiego okresu:

## [1] 1.08235

\[ \\ \] Ostatnim punktem jest wpływ zmiany okna, dla którego są wliczane dni do osiągniecia zakładanego zysku.

## [1] 1.486848

Wnioski

Najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu posiada lokata trzecia, około 1.2%, a najniższą pierwsza, która jest bliska 0.17%. Obie osiągane wartości są niższe od oferowanych wtedy wtedy oprocentowań depozytów wynoszących około 2%. Analizują wpływ badanego okresu na wyniki należy stwierdzić, że pierwsza lokata osiągaja dużo większy zysk oraz prawdopodobieństwo sukcesu w pierwszym oknie (do 2008-07-31), a druga i trzecia lokata osiągają zbliżone rezultaty, także są najmniej wrażliwe na zmianę okresu trwania inwestycji. Z drugiej strony dla drugiego okresu oczekiwana stopa zwrotu dla wszystkich lokat spadła. Zmiana definicji lokaty (poszerzenie okna wachań kursu) ma największy wpływ na lokatę pierwszą, gdzie stopa zwrotu rośnie prawie o połowę i jest zbliżona do 0,26%. Dla resztych instrumentów też zauważono wzrost, lecz nie tak istotny.

Losowanie Monte Carlo z rozkładu normalnego.

Na tym etapie analizy zdecydowano się na losowanie Monte Carlo z wykorzystaniem rozkładu normalnego z parametrami wyznaczonymi na podstawie danych historycznych. Wszystkie inne cechy pozostały niezmienione, także będzie można ocenić wpływ wyboru metody badawczej na osiągane wyniki.

Pierwsza lokata - “DB LOKATA INWESTYCYJNA STABILIZACJA ZŁOTEGO III”.

Poniżej przedstawiono odpowiednio w kolejności prawdopodbieństwo sukesu, wariancję oraz oczekiwaną stopę zwrotu:

## [1] 0.0334
## [1] 0.03228767
## [1] 0.1336

\[ \\ \] Gdy pozwolimy szacować parametry tylko na podstawie pierwszego okresu to udział sukcesów to:

## [1] 0.1115

, wariancja:

## [1] 0.09907766

oraz oczekiwana stopazwrotu (wyrażona w procentach):

## [1] 0.446

\[ \\ \] Dla drugiego okresu wyniki wynoszą odpowiednio dla oczekiwanego udziału sukcesów:

## [1] 0.0098

, wariancji:

## [1] 0.00970493

i oczekiwanej stopy zwrotu:

## [1] 0.0392

\[ \\ \] Ostatnią zmianą jest definicja przedziału i tutaj wyniki przedstawiono poniżej w kolejności udział sukcesów, wariancja i stopa zwrotu:

## [1] 0.0701
## [1] 0.06519251
## [1] 0.2804

Druga lokata - “LOKATA STRUKTURYZOWANA USD ZŁOTY STABILIZACJA”.

\[ \\ \] Sukces zaobserwowaliśmy w poniżej przedstawionej ilości przypadków:

## [1] 0.0837

, wariancję:

## [1] 0.07670198

oraz oczekiwaną stopę zwrotu:

## [1] 0.4185

\[ \\ \] Zmiana okresów miała następujący wpły dla pierwszego okna na prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu:

## [1] 0.0829

, wariancję:

## [1] 0.07603519

Z kolei oczekiwany zwrot z tej lokaty to:

## [1] 0.4145

\[ \\ \] Dla drugiego okna wyniki przedstawiono poniżej w kolejności udział sukcesów, wariancja oraz oczekiwany zwrot:

## [1] 0.0639
## [1] 0.05982277
## [1] 0.3195

\[ \\ \] Powiększając przedział fixingu prawdopodbieństwo sukcesu zwiększa się do:

## [1] 0.1156

, wariancja:

## [1] 0.1022469

, a oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.578

Trzecia lokata - “RANGE ACCRUAL USD DOLAR PLUS XVI” - Bank Zachodni WBK.

\[ \\ \] Histogram możliwych do zrealizowania zysków oraz oczekiwaną stopę zwrotu przedstawiono poniżej: 

## [1] 1.211699

\[ \\ \] Możliwości osiągnięcia zysku (histogram) korzytając tylko z pierwszego okna to:

\[ \\ \] oraz oczekiwana stopa zwrotu

## [1] 1.152093

\[ \\ \] Poniżej wynki tylko przy możliwości szacowania parametrów z drugiego okresu: 

## [1] 1.034693

\[ \\ \] Sprawdzono także wpływ zmiany szerokości fixingu dla którego naliczane są “oprocentowane” dni 

## [1] 1.473564

Wnioski

Wyniki pod względem kolejności zyskowności lokat prezentują się jak dla pierwszej metody badawczej (najlepsza jest lokata trzecia) czego należało się spodziewać. Jednak sama zmiana rozkładu z którego losujemy dane miała największy wpływ na najsłabszą, pierwszą lokatę, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu oraz oczekiwana stopa zwrotu spadły - jednak jest to obarczone mniejszą niepewnością, bo wariancja także jest mniejsza. Co ciekawe dla drugiej lokaty stopa zwrotu przy zmiane zmianie pasma obserwacji nie zmieniła się, a dla trzeciej nawet spadła, przez co można wnosić że losowanie danych z rozkładu normalnego ma różny wpływ na lokaty w zależności od jej definicji. Dla pierwszej powoduje wzrost zwrotu, gdyż obserwujemy kurs przez cały okres trwania inwestycji, ale o dużym przedziale fixingu, a w drugiej tylko ostatni kurs, ale o dużo węższym przedziale - z rozkładu normalnego częściej trafiają się zwroty mocniej odbiegające od średniej.

Losowanie Monte Carlo z rozkładu t-studenta.

Ze względu na to, że stwierdzono leptokurtyczność rozkładu zdecydowana się także zastosować metodę Monte Carlo przy estymacji parametrów dla rozkładu t-studenta, gdyże cechuje się ona lepszym dopasowaniem parametrów do tego typu danych. Może to pomóc wyeliminować problem przy losowaniu zwrotóW z rozkładu normalnego.

Pierwsza lokata - “DB LOKATA INWESTYCYJNA STABILIZACJA ZŁOTEGO III”.

Prawdopodobieństwo sukcesu dla tej lokaty dla całego okresu to:

## [1] 0.0369

, wariancja:

## [1] 0.03554194

oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.1476

\[ \\ \] Dla pierwszego okresu dane prezentują się następująco (udział sukcesów, wariancja, stopa zwrotu):

## [1] 0.1117
## [1] 0.09923303
## [1] 0.4468

\[ \\ \] DLa drugiego okresu przedstawiono wyniki w analogiczny sposób:

## [1] 0.0135
## [1] 0.01331908
## [1] 0.054

\[ \\ \] Zmieniając definicję lokaty prawdopodobieństwo otrzymania zakładanej stopy zwrotu to:

## [1] 0.0721

, wariancji:

## [1] 0.06690828

oraz oczekiwana stopa zysku:

## [1] 0.2884

Druga lokata - “LOKATA STRUKTURYZOWANA USD ZŁOTY STABILIZACJA”.

Dla drugiej lokaty wyniki przedstawiono poniżej w kolejności prawdopodbieństwo sukcesu, wariancja oraz stopa zwrotu:

## [1] 0.0774
## [1] 0.07141638
## [1] 0.387

\[ \\ \] Dla pierwszego badanego okresu udział sukcesów wynosi:

## [1] 0.0828

, wariancja:

## [1] 0.07595176

i oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.414

\[ \\ \] Dla drugiego okresu wyniki przedstawiono w analogiczny sposób:

## [1] 0.0617
## [1] 0.0578989
## [1] 0.3085

\[ \\ \] Po zmianie szerokości pasma fixingu prawdopodbieństwo sukcesu wynosi:

## [1] 0.111

, wariancja:

## [1] 0.09868887

oraz stopa zwrotu:

## [1] 0.555

Trzecia lokata - “RANGE ACCRUAL USD DOLAR PLUS XVI” - Bank Zachodni WBK.

Dla trzeciej lokaty poniżej zaprezentowano histogram oraz oczekiwaną stopę zwrotu (wyrażona w procentach): 

## [1] 1.177493

\[ \\ \] Dla pierwszego okna czasowego wyniki (histogram, stopa zwrotu) prezentują się następująco: 

## [1] 1.173909

\[ \\ \] Poniżej w analogiczny sposób przedstawiono wyniki dla drugiego okna czasowego: 

## [1] 0.9805086

\[ \\ \] Po zmianie definicji lokaty historam i oczekiwana stopa zwrotu to: 

## [1] 1.418179

Wnioski

Wykorzystanie rozkładu t-studenta miało największy wpływ na lokatę trzecią - spadek oczekiwanej stopy zwrotu oraz drugą - wzrost stopy zwrotu. Dla lokaty pierwszej wyniki były podobne jak przy wykorzystaniu rozkładu normalnego. Cechą wyróżniającą trzeci instrument jest długość trwania inwestycji, a przez to zysk zależy od zachowania kursu w dłuższym oraz wąski lewy przedział fixingu. Jako że rozkład t-studenta jest bardziej skupiony wokół średniej też stąd możliwe częstsze przewidywane zwroty niewiele odbiegające od średniej, ale niemieszące się w lewym krańcu przedziału niż dla rozkładu normlanego.

Losowanie Monte Carlo z wykorzystaniem modeli klasy GARCH.

Ostatnim przeprowadzonym badaniem będzie losowanie Monte Carlo (w przeciwieństwie do poprzednich podejść 1000 powtórzeń ze względu na złożoność obliczeniową) z wykorzystaniem modeli klasy GARCH. Dzięki temu będzie można spróbować wyeliminować grupowanie się wariancji, co zauważono podczas analizy danych, a z którymi nie radzą sobie rozkład normalny oraz t-studenta.

Wybór odpowiedniego modelu GARCH

Poniżej przedstawiono wykresy autokorelacji oraz częściowej autokorelacji zwrotu kursu USD/PLN. Duża część opóźnień jest istotna, mniej więcej co 3-5. Mimo wszystko nie można jednoznacznie wyznaczyć sezonowości szeregu - nie powinno to dziwić, bo nie ma ku temu także przesłanek teoretycznych.

\[ \\ \] Dla kwadratów zwrotów można zaobserwować silną korelację dla wszystkich przedstawionych opóźnień, co potwierdza przypuszczenie o sensowności wykorzystania modeli klasy GARCH.

\[ \\ \] Wcześniejsze hipotezy potwierdza wynik testu ARCH z 5 opóźnieniami (p-valu bliskie zera), zatem należy skorzystać z modeli klasy GARCH.

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  USDPLN$Kurs.diff
## Chi-squared = 645.3231, df = 5, p-value < 2.2e-16

\[ \\ \] Poniżej zaprezentowano wyniki modelu GARCH(1,1) - wszystkie współczynniki są istotne oraz zgodnie z testem Ljunga-Boxa nie stwierdzono istotnej autokorelacji dla zwrotów oraz kwadratów zwrotów.

## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(1, 1), data = na.omit(USDPLN$Kurs.diff), 
##     cond.dist = "norm", trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(1, 1)
## <environment: 0x00000000105d5c40>
##  [data = na.omit(USDPLN$Kurs.diff)]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##          mu        omega       alpha1        beta1  
## -1.2363e-04   1.0616e-06   7.6315e-02   9.1042e-01  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##          Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     -1.236e-04   1.095e-04   -1.129    0.259    
## omega   1.062e-06   2.355e-07    4.508 6.55e-06 ***
## alpha1  7.632e-02   8.404e-03    9.080  < 2e-16 ***
## beta1   9.104e-01   9.708e-03   93.779  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  14435.62    normalized:  3.42726 
## 
## Description:
##  Mon Sep 12 22:37:27 2016 by user: Sebastian 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value  
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  391.6758  0        
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.98718   0        
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  5.836599  0.8287995
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  9.158354  0.869093 
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  13.29496  0.8643728
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  10.97009  0.3598529
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  20.13524  0.1668059
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  22.16045  0.331868 
##  LM Arch Test       R    TR^2   10.88246  0.5390179
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -6.852621 -6.846595 -6.852623 -6.850491

\[ \\ \] Zdecydowano się także na analizę modelu GARCH(2,1), aby sprawdzić czy nie cechuje się lepszymi statystykami. Tutaj nie wszystkie współczynniki są istotne (aplha2 posiada p-valu równe 1) oraz zgodnie z testem Ljunga-Boxa nie stwierdzono istotnej korelacji dla zwrotów oraz kwadratów zwrotów.

## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(2, 1), data = na.omit(USDPLN$Kurs.diff), 
##     cond.dist = "norm", trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(2, 1)
## <environment: 0x0000000010c4f570>
##  [data = na.omit(USDPLN$Kurs.diff)]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##          mu        omega       alpha1       alpha2        beta1  
## -1.2363e-04   1.0611e-06   7.6260e-02   1.0000e-08   9.1048e-01  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##          Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     -1.236e-04   1.095e-04   -1.129    0.259    
## omega   1.061e-06   2.637e-07    4.024 5.73e-05 ***
## alpha1  7.626e-02   1.431e-02    5.331 9.77e-08 ***
## alpha2  1.000e-08   1.757e-02    0.000    1.000    
## beta1   9.105e-01   1.206e-02   75.500  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  14435.36    normalized:  3.427199 
## 
## Description:
##  Mon Sep 12 22:37:30 2016 by user: Sebastian 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value  
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  392.1527  0        
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9871699 0        
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  5.83798   0.8286868
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  9.173053  0.8682965
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  13.31146  0.8636244
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  10.99911  0.3575871
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  20.1664   0.165642 
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  22.18587  0.3305104
##  LM Arch Test       R    TR^2   10.90135  0.5373914
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -6.852025 -6.844492 -6.852027 -6.849361

\[ \\ \] Kolejny wyestymowany model do GARCH(1,2). Podobnie jak w poprzednich przypadkach wszystkie współczynniki są istotne oraz zgodnie z testem Ljunga-Boxa nie stwierdzono istotnej korelacji dla zwrotów oraz kwadratów zwrotów.

## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(1, 2), data = na.omit(USDPLN$Kurs.diff), 
##     cond.dist = "norm", trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(1, 2)
## <environment: 0x0000000010cb8cc8>
##  [data = na.omit(USDPLN$Kurs.diff)]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##          mu        omega       alpha1        beta1        beta2  
## -1.2363e-04   1.3345e-06   1.0120e-01   5.1117e-01   3.7108e-01  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##          Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     -1.236e-04   1.095e-04   -1.129   0.2588    
## omega   1.335e-06   3.120e-07    4.277 1.90e-05 ***
## alpha1  1.012e-01   1.315e-02    7.695 1.42e-14 ***
## beta1   5.112e-01   1.281e-01    3.989 6.62e-05 ***
## beta2   3.711e-01   1.195e-01    3.106   0.0019 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  14438.55    normalized:  3.427955 
## 
## Description:
##  Mon Sep 12 22:37:32 2016 by user: Sebastian 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value  
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  378.6405  0        
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9873397 0        
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  6.031157  0.8126388
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  9.434696  0.8537147
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  13.62426  0.8490247
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  7.768411  0.6514466
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  17.52237  0.288607 
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  19.54036  0.4869921
##  LM Arch Test       R    TR^2   7.937671  0.789982 
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -6.853536 -6.846003 -6.853538 -6.850872

\[ \\ \] Do dalszej analizy wybrano model GARCH(1,2), gdyż cechuje się najniższymi wartościami kryteriów informacyjnych spośród wybranych modeli (w analizie nie uwzględniono GARCH(2,1) ze względu na nieistotny parametr). Dla tego modelu przedstawiono poniżej zwroty oraz warunkową wariancję, które “pokrywają się” - najsilniejszą “niepewność”" zauważono podczas kryzysu finansowego z lat 2008-2009.

\[ \\ \] Poniżej zaprezentowano wyniki testu na normalność reszt, którą należały odrzucić ze wględu na p-valu wynoszące 0. Potwierdza to także histogram - wskazuje także na leptokurtyczność reszt.

## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  stdres
## X-squared = 378.6405, df = 2, p-value < 2.2e-16

\[ \\ \] Na podstawie testu Durbina-Watsona można ocenić, że dla pierwszych 5 opoźnien wśród reszt nie występuje autokorelacja.

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1    0.0181192208      1.963511   0.210
##    2    0.0260022357      1.947724   0.084
##    3   -0.0038115420      2.006154   0.818
##    4   -0.0002072561      1.998733   0.978
##    5    0.0010551419      1.996047   0.910
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

\[ \\ \] Test na wystepowanie efektow ARCH dla pierwszych 5 opóźnien potwierdza, że reszty już nie cechują się tym zjawiskiem.

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  stdres
## Chi-squared = 5.7441, df = 5, p-value = 0.3319

Pierwsza lokata - “DB LOKATA INWESTYCYJNA STABILIZACJA ZŁOTEGO III”.

Przy wykorzystaniu modelu GARCH(1,2) wyniki prezentują się następująco w kolejności prawdopodobieństwo sukcesu, wariancja oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.073
## [1] 0.06773874
## [1] 0.292

\[ \\ \] Dla pierwszego okresu (dzięki temu, że estymujemy model GARCH na innej próbce będzie też można sprawdzić jego wrażliwość na zmianę okresu “uczenia się” modelu) udział sukcesów w próbie to:

## [1] 0.12

, wariancja:

## [1] 0.1057057

i oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.48

\[ \\ \] Dla drugiego okresu wyniki przedstawiono w analogiczny sposób:

## [1] 0.131
## [1] 0.113953
## [1] 0.524

\[ \\ \] Po zmianie szerokości pasma fixingu prawdopodbieństwo sukcesu wynosi:

## [1] 0.148

, wariancja:

## [1] 0.1262222

oraz stopa zwrotu:

## [1] 0.592

Druga lokata - “LOKATA STRUKTURYZOWANA USD ZŁOTY STABILIZACJA”.

Prawdopodobieństwo sukcesu dla tej lokaty dla całego okresu to:

## [1] 0.105

, wariancja:

## [1] 0.09406907

oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.525

\[ \\ \] Dla pierwszego okresu dane prezentują się następująco (udział sukcesów, wariancja, stopa zwrotu):

## [1] 0.114
## [1] 0.1011051
## [1] 0.57

\[ \\ \] Dla drugiego okna wyniki przedstawiono poniżej w kolejności udział sukcesów, wariancja oraz oczekiwany zwrot:

## [1] 0.106
## [1] 0.09485886
## [1] 0.53

\[ \\ \] Powiększając przedział fixingu prawdopodbieństwo sukcesu zwiększa się do:

## [1] 0.137

, wariancja:

## [1] 0.1183493

, a oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 0.685

Trzecia lokata - “RANGE ACCRUAL USD DOLAR PLUS XVI” - Bank Zachodni WBK.

Histogram możliwych do zrealizowania zysków oraz oczekiwaną stopę zwrotu przedstawiono poniżej: 

## [1] 1.427848

\[ \\ \] Możliwości osiągnięcia zysku (histogram) korzytając tylko z pierwszego okna to:

\[ \\ \] oraz oczekiwana stopa zwrotu:

## [1] 1.476076

\[ \\ \] Poniżej przedstawiono wynki tylko przy możliwości szacowania parametrów z drugiego okresu: 

## [1] 1.4196

\[ \\ \] Sprawdzono także wpływ zmiany szerokości fixingu dla którego naliczane są “oprocentowane” dni: 

## [1] 1.707105

Wnioski

Dla wszystkich lokat odnotowano wzrost przewidywanej stopy zwrotu oraz prawdopodbieństwa sukcesu przy wykorzystaniu modelu GARCH(1,2) niż przy zwykłej symulacji Monte Carlo z wykorzystaniem danych historycznych. Najciekawsze jest to, że dla niektórych przypadków były to stanowczo większe wartości, np. dla pierwszej lokaty przy wykorzystaniu tylko drugiego okresu. Pokazuje to, że takie modele są bardzo wrażliwe na zakres danych na podstawie którego się “uczą”. Warto też pamiętać, że model nie spełniał wszystkich założeń teoretycznych (normalność reszt) co może zaburzać analizę. W tym celu należałoby posłużyć się innym modelem, np. GARCH-t, który wykorzystuje rozkład t-studenta odpowiedni dla leptokurtycznych danych.

Podsumowanie.

Najważniejszym wnioskiem z przeprowadzonego badania jest to, że lokaty strukturyzowane bardzo rzadko osiągają wyższą stopę zwrotu niż oferowane depozyty na rynku. W przeprowadzonym badaniu najwyższą stopą zwrotu charakteryzowała się lokata trzecia - średnio 1.5%, podczas gdy w okresie trwania inwestycji na rynku można było znaleźć depozyty o oprocentowaniu około 2-2.5%. Wpływ na takie zachowanie tego instrumentu mają:

Dodatkowo stwierdzono, że na uzyskane wyniki miał także wybór metodologii:

Jak widać wykorzystując te instrumenty ciężko osiągnąć nadzwyczajny zysk. Jednak jeśli zależy nam inwestycji w tego typu instrumenty to najlepiej korzystać z lokat o najmniej restrykcyjnych założeniach jak oprocentowanie zależne od ilości dni dla których kurs wpadł w okno fixingu. Należy podkreślić, że jest to tylko jeden z typów lokat oferowanych na rynku i w celu dokładniejszej oceny tych instrumentów należałoby sprawdzić także lokaty strukturyzowane oparte o ceny surowców lub rynek akcji.