1.Las lineas telefónicas de una oficina están ocupadas el 60% del tiempo. Si usted llama a esta oficina, ¿Cuál es la probabilidad de que le contesten en la:

Distribucion geometrica

(a) Primera llamada?

p=0.4

x=1

dgeom(0,.4)
## [1] 0.4

(b) Segunda llamada?

p=0.4*

x=2

dgeom(1,.4)
## [1] 0.24

(c) Tercera llamada?

p=0.4

x=3

dgeom(2,.4)
## [1] 0.144

2.Una fuente me transmite paquetes de informacion con probabilidad 0.2 y a otros usuarios con probabilidad de 0.8. ¿Cual es la probabilidad de que se necesiten:

(a) 5 intentos para recibir un paquete?

Mi probabilidad

p=0.2

x=5

dgeom(4,.2)
## [1] 0.08192

Otros usuarios

p=0.8

x=5

dgeom(4,.8)
## [1] 0.00128

(b)A lo mas dos intentos para recibir el primer paquete?

Mis 2 intentos de probabilidad:

p=0.2

x=1

dgeom(0,.2)
## [1] 0.2

p=0.2

x=2

dgeom(1,.2)
## [1] 0.16
dgeom(1,.2)+dgeom(0,.2)
## [1] 0.36

Probabilidad para los demas usuarios:

p=0.8

x=1

dgeom(0,.8)
## [1] 0.8

p=0.8

x=2

dgeom(1,.8)
## [1] 0.16
dgeom(1,.8)+dgeom(0,.8)
## [1] 0.96

3.Se transmite un mensaje con 20 paquetes en un canal que introduce errores con probabilidad 0.1 en los paquetes. ¿Cual es la probabilidad de que en el mensaje vengan:

(a) Todos los paquetes sin errores?

n=20

p=0.1

x=1

dbinom(0,20,.1)
## [1] 0.1215767

(b)A lo mas dos paquetes con errores?

n=20

p=0.1

x=2

pbinom(2,20,.1)
## [1] 0.6769268

(c)Por lo menos 18 paquetes con errores?

n=20

p=0.1

x=17

dbinom(18,20,.1)
## [1] 1.539e-16

(d)¿Cual es la media y la desviacion estandar del numero de paquetes con errores?

Media:

n=20

p=0.1

Media=nxp

Media=

(20*0.1)
## [1] 2

Varianza=nxp (1-p)

Varianza=

(20*0.1*(1-0.1))
## [1] 1.8

Desviacion Estandar=sqrt(varianza)

Desviacion Estandar

sqrt(20*0.1*(1-0.1))
## [1] 1.341641

4.El 10% de las impresoras fabricadas en una linea de montaje tienen defectos. Si se prueban una tras otra, encuentre la probabilidad de encontrar la tercera impresora defectuosa en el:

(a)Cuarto intento:

p=0.1

q=0.9

x=3 (Numero de exitos)

size= 4 (Numero de ensayos)

dnbinom(3,4,.1)
## [1] 0.001458

(b) Quinto intento.

p=0.1

q=0.9

x=3

size= 5

dnbinom(3,5,.1)
## [1] 0.00025515

5.El numero de llamadas que entran a la central de un edificio es, en promedio, de 4 por minuto. Calcule la probabilidad de que:

(a)No entren llamadas en un minuto.

x= 0 (Numero de ocurrencia)

t= 60

Frecuencia de ocurrencia= 4 llamadas/minuto

Lambda= Tiempo * Frecuencia de ocurrencia

Lambda=

(60*(4/60))
## [1] 4
dpois(0,4)
## [1] 0.01831564

(b)Entre al menos 1 llamada en 30 segundos.

x= 1 (Numero de ocurrencia)

t= 30

Frecuencia de ocurrencia= 2 llamadas/30Segundos

Lambda= 2

dpois(1,2)
## [1] 0.2706706

(c)Entren dos llamadas en dos minutos.

x= 2 (Numero de ocurrencia)

t= 120

Frecuencia de ocurrencia= 8 llamadas/120Segundos

Lambda= 8

dpois(2,8)
## [1] 0.0107348

(d)Cual es la media y la desviacion estandar del numero de llamadas que entran en una hora?

Media:= Lambda

t= 1 hora

Frecuencia de ocurrencia= 240 llamadas/ 1 hora

Lambda= 240

Media

(240)
## [1] 240

Desviacion Estandar:=sqrt(varianza)

sqrt(240)
## [1] 15.49193

6.El numero promedio de automoviles que llegan a un estacionamiento es de 4 por hora. El estacionamiento tiene lugar solo para 12 vehiculos y esta vacio al comienzo. Calcular la probabilidad de que:

(a)Se llene en la primera hora.

x=12

t= 1 hora

Frecuencia de ocurrencia= 4automoviles/ 1 hora

Lambda=4

dpois(12,4)
## [1] 0.0006415123

(b)Lleguen menos de 12 vehiculos en 8 horas.

x=12

t= 8*60

Frecuencia de ocurrencia= 32automoviles/ 480

Lambda=

(8*60*32/480)
## [1] 32

Para 11 autos:

dpois(11,32)
## [1] 1.143064e-05

7.Una industria tiene 10 clientes. La probabilidad de que un cliente llame a hacer un pedido en un dia determinado es de 0.2. Hallar la probabilidad de que en un dia determinado llamen:

(a)A lo mas tres clientes.

x=0.2

size=2

p=0.8

pbinom(0.8,2,0.2)
## [1] 0.64

(b) Mas de tres clientes.

x=0.2

size=4

p=0.8

pbinom(0.8,4,0.2)
## [1] 0.4096

(c) Exactamente tres clientes.

x=10

size=0

p=0.2

dbinom(10,2,0.2)
## [1] 0

8.Un aparato de radio tiene 1000 elementos electronicos. La probabilidad de que un elemento no opere en un periodo de un año es 0.001 y es independiente de la condicion de los otros elementos. Cual es la probabilidad de que al menos dos elementos no operen en un año?

x=2

Elementos=1000

Frecuencia de ocurrencia=1/0.001

Frecuencia de ocurrencia=

(1/0.001)
## [1] 1000

Lambda=Frecuencia*Elementos

((1/0.001)*1000)
## [1] 1e+06
dpois(2,(1/0.001*1000))
## [1] 0

9.El numero esperado de fallas en un aparato de radio durante 10000 horas de operacion es de 10. Cual es la probabilidad de que el aparato no tenga fallas en un peridodo de 100 horas?

t=100

Frecuencia de ocurrencia=10/10000

Lambda= t * 10/10000

x=0

Lambda=

(100*10/10000)
## [1] 0.1
## [1] 0.9048374

10.La probabilidad de que cualquier suscriptor de una compañia de telefonos llame a la operadora en un periodo de una hora es de 0.01. La compañia tiene 300 suscriptores. Cual es la probabilidad de que cuatro suscriptores llamen a la operadora en un periodo de una hora?

x=3

size=300

p=0.01

dnbinom(3,300,.01)
## [1] 0

11. Una operadora recibe un promedio de 60 llamadas por hora. Si la operadora sale por 30 segundos a servirse un cafe, Cual es la probabilidad de que no entren llamadas en ese lapso?

t=30 segundos

Frecuencia de ocurrencia=60llamadas/3600segundos

x=0

Lambda

(30*60/3600)
## [1] 0.5
dpois(0,(30*60/3600))
## [1] 0.6065307

12. Sea X con funcion de distribucion dada por:

\[f(X)=\frac{1}{n}\]

para x=1, 2, …n

(a) Hallar media, varianza y desviacion estandar de X.

\[E(X)=\sum_{X=1}^n Xp(X=x)\] \[E(X)=\sum_{X=1}^n X\frac{1}{n}\] \[E(X)=\frac{1}{n}\sum_{X=1}^n X\] \[E(X)=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}\] \[E(X)=\frac{n+1}{2}\]

\[V(X)=\sum_{X=1}^n X^2p(X=x)-Ux^2\] \[V(X)=\sum_{X=1}^n X^2\frac{1}{n}-(\frac{(n+1)}{2})^2\] \[V(X)=\frac{1}{n}\sum_{X=1}^n X^2-\frac{n^2+2n+2}{4}\] \[V(X)=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n^2+2n+2)}{4}\] \[V(X)=\frac{2n^2+3n+1}{6}-\frac{(n^2+2n+2)}{4}):\frac{(n^2-4)}{12})\]

(b) Encontrar la funcion generatriz de momentos.

\[mx=\sum_{X=1}^n e^(tx) P(X=x)\] \[mx=\sum_{X=1}^n e^(tx) \frac{1}{n} \] \[mx=\frac{1}{n} \sum_{X=1}^n e^(tx) \]

(c)Encontrar la funcion generadora de probabilidad.

\[W(Z)=\sum_{X=1}^n z^x P(X=x)\] \[W(Z)=\sum_{X=1}^n z^x \frac{1}{n}\] \[W(Z)=\frac{1}{n} \sum_{X=1}^n z^x \]

13. Compruebe que en una variable aleatoria binomial X, de parametros n, p se tiene: P(X = x + 1) = p(n-x) /(x + 1)q P(X = x)

\[P(X=x)= (\frac{n!}{(n-x)!x!} p^x q^(n-x)\] \[P(X=(x+1))= (\frac{n!}{(n-(x-1))!(x-1)!} p^(x+1) q^(n-(X+1)\] \[\frac{P(X=(x+1))}{P(x)}= \frac{(\frac{n!}{(n-(x-1))!(x-1)!} p^(x+1) q^(n-(X+1)}{\frac{n!}{(n-x)!x!}p^x q^(n-X)}\] \[\frac{P(X=(x+1))}{P(x)}=\frac{n!p^x q^n q^x(n-x)!x!}{(n-(x+1))!(x+1)!p q^x q p^x q^n n!}\] \[\frac{P(X=(x+1))}{P(x)}=\frac{P(n-x)}{(x+1)q}\]

14.Compruebe que en una variable aleatoria de Poisson X, de parametro λ se tiene: P(X = x + 1) = λ/(x + 1) P(X = x)

\[P(X=x)= (\frac{e^(-1) I^x}{x!}\] \[P(X=x+1)= (\frac{e^(-1) I^(x+1)}{(x-1)!}\] \[\frac{P(X=x+1)}{P(x)}=\frac{(\frac{e^(-1) L^(x+1)}{(x+1)!})}{(\frac{e^(-1) I^x}{x!})}\] \[\frac{P(X=x+1)}{P(x)}=\frac{e^(-1)I^xIx!}{(x+1)!e^(-1)I^x}\] \[\frac{P(X=x+1)}{P(x)}=\frac{1}{(x+1)}\]