Taller_2.R

PROCESOS ESTOCASTICOS TALLER 2

ESPECIALIZACIÓN EN DISEÑO DE REDES TELEMÁTICAS

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Presentado a:

Carlos Lesmes

Presentado por:

Jorge Andrés Chinome Reyes

Fredy Reinaldo Pineda Pedraza

SEGUNDA EVALUACIÓN DISTRIBUCIONES CONTINUAS

1. Compruebe que en una distribución exponencial se tiene:

\[P(X>a+b|X>a)=P(X>b)\] Respuesta: \[P(X>a+b|X>a)=\frac{P(X>a+b)}{P(X>a)}\] \[P(X>a+b|X>a)=\frac{1-P(X<a+b)}{1-P(X<a)}\] \[P(X>a+b|X>a)=\frac{1-(1-e^{-\lambda(a+b)})}{1-(1-e^{-\lambda a})}\] \[P(X>a+b|X>a)=\frac{e^{-\lambda(a+b)}}{e^{-\lambda a}}\] \[P(X>a+b|X>a)=e^{-\lambda b}\] Dado que: \[f(x)=\lambda(e^{-\lambda x})\] \[F(x)=1-\lambda(e^{-\lambda x})\] \[P(X<X)=1-\lambda(e^{-\lambda x})\] Entonces: \[P(X>a+b|X>a)=1-(1-e^{-\lambda b})\] \[P(X>a+b|X>a)=1-F(b)\] \[P(X>a+b|X>a)=P(X>b)\]

2. Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribución exponencial con promedio de 3.2 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que:

x: Tiempo de servicio en minutos \[E(X)=3.2 min=\frac{1}{\lambda}\] \[\lambda=\frac{1}{3.2}\] \[f(x)=\frac{1}{3.2}e^{-\frac{1}{3.2}x}\]

1. demore más de dos minutos en ser atendido?

\[P(X>2)=1-e^{-\frac{1}{3.2}x}\] \[F(X)=1-e^{-\frac{1}{3.2}x}\]

lambda=1/3.2
1-pexp(2,lambda)

## [1] 0.5352614

2. demore más de 4 minutos en ser atendido dado que demora más de dos minutos?

\[P(X>4|X>2)=P(X>2)\]

(1-pexp(4,lambda))/(1-pexp(2,lambda))

## [1] 0.5352614

3. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar del tiempo de servicio?

Varianza

var=1/(lambda)^2
var

## [1] 10.24

Desviación estándar

sqrt(var)

## [1] 3.2

3. A cierta hora del día, la rapidez de carga de una melodía en formato mp3, bajada de Internet es una variable con distribución normal, con media de 14 kilobytes por segundo y desviación típica de 2.3 Kb/s. Determine el porcentaje de veces que una melodía de mp3 se cargará con una velocidad:

1. superior a 19 Kb/s.

Velocidad=19

\[\mu=14\]

mu=14

\[\sigma=2.3\]

sigma=2.3
1-pnorm(Velocidad,mu,sigma)

## [1] 0.01485583

2. entre 15 y 18 kb/s.

Velocidad1=15
Velocidad2=18
pnorm(Velocidad2,mu,sigma)-pnorm(Velocidad1,mu,sigma)

## [1] 0.2908542

3. ¿Cuál es la velocidad mínima del 6% de las descargas más rápidas?

qnorm(0.94,14,2.3)

## [1] 17.57598

4. El tiempo promedio que cierto usuario de Internet emplea en leer y responder su correo electrónico, por día, es de 30 minutos con una desviación estándar de 10 minutos. Suponga que el tiempo empleado para esa actividad tiene distribución normal.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el usuario demore menos de 10 minutos revisando su e-mail?

Tiempo1=10

\[\mu=30\]

mu1=30

\[\sigma=10\]

sigma1=10
pnorm(Tiempo1,mu1,sigma1)

## [1] 0.02275013

2. ¿Cuál es el tiempo mínimo que demora el 5% de los usuarios más demorados?

\[\mu=30\] \[\sigma=10\] Tiempo mínimo del 5% = 0.05

tmin=0.05
qnorm(tmin, mu1, sigma1)

## [1] 13.55146

5. Suponga que el número de llamadas diarias que recibe su teléfono celular es una variable aleatoria con distribución normal con media de 8 y desviación estándar de 2.83, ¿Cuál es la probabilidad de que durante un día su celular reciba:

1. más de 8 llamadas?

llamadas=8

\[\mu=8\]

mu2=8

\[\sigma=2.83\]

sigma2=2.83
1-pnorm(llamadas,mu2,sigma2)

## [1] 0.5

2. entre 6 y 8 llamadas inclusive?

llamadas1=6
pnorm(llamadas,mu2,sigma2)-pnorm(llamadas1,mu2,sigma2)

## [1] 0.2601278

6. Suponga que los clientes llegan a un mostrador a razón de dos por minuto.

1. Calcular el promedio y la varianza del tiempo entre llegadas sucesivas de clientes.

Promedio \[E(X)=\frac{1}{\lambda}\] \[E(X)=0.5\] Varianza \[V(X)=\frac{1}{4}\] \[V(X)=0.25\]

2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar al menos un minuto para que llegue el próximo cliente?

espera=1
lambda1=2
pexp(espera,lambda1)

## [1] 0.8646647

7. El tiempo de llegada entre clientes a un torniquete se distribuye uniformemente en un período de treinta minutos. Calcular la probabilidad de que el primer cliente llegue en:

Tiempo=30

1. menos de 5 minutos.

punif(5,0,Tiempo)

## [1] 0.1666667

2. menos de 10 minutos.

punif(10,0,Tiempo)

## [1] 0.3333333

3. más de 25 minutos.

1-punif(25,0,Tiempo)

## [1] 0.1666667

8. Un conjunto de datos tiene distribución normal estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que un dato está a lo más a:

1. una desviación estándar de la media?

pnorm(1)-pnorm(-1)

## [1] 0.6826895

2. dos desviaciones estándar de la media?

pnorm(2)-pnorm(-2)

## [1] 0.9544997

3. tres desviaciones estándar de la media?

pnorm(3)-pnorm(-3)

## [1] 0.9973002

9. La duración de una sesión de internet se puede modelar mediante una distribución de Pareto con k = 15 minutos y gamma = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que una sesión dure:

\[\gamma=2\]

gamma=2

\[\kappa=15\]

kappa=15

Pareto \[F(x)=1-\left(\frac{\kappa}{x}\right)^{\gamma}\]

1. más de 40 minutos?

x5=40
x5

## [1] 40

\[1-f(40)\]

1-(1-(kappa/x5)^gamma)

## [1] 0.140625

2. entre 30 minutos y una hora?

X1=30

\[f(30)\]

1-(kappa/X1)^gamma

## [1] 0.75

X2=60

\[f(60)\]

1-(kappa/X2)^gamma

## [1] 0.9375

\[P(X>30|X<60)\]

(1-(kappa/X2)^gamma)-(1-(kappa/X1)^gamma)

## [1] 0.1875

10. En una distribución de Pareto con gamma = 1.5 y k = 3.2, hallar:

\[\gamma=1.5\]

gamma1=1.5

\[\kappa=3.2\]

kappa1=3.2

\[F(x)=1-\left(\frac{\kappa}{x}\right)^{\gamma}\]

1. P(X<4)

\[f(4)\]

X3=4
(kappa1/X3)^gamma1

## [1] 0.7155418

2. P(X>5)

\[1-f(5)\]

X4=5
1-(kappa1/X4)^gamma1

## [1] 0.488

11. La tasa de riesgo de una distribución de probabilidad está dada por:

\[h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}\] Calcule la tasa de riesgo de las distribuciones:

1. uniforme.

Si \[a<=x<b\] \[f(x)=\frac{1}{b-a}\] Si \[x<=a\] \[F(x)=\frac{x-a}{b-a}\] Entonces \[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{1-\frac{x-a}{b-a}}\] \[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{\frac{1}{1}-\frac{x-a}{b-a}}\] \[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{\frac{b-a}{b-a}-\frac{x-a}{b-a}}\] \[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{\frac{b-a-x+a}{b-a}}\] \[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{\frac{b-x}{b-a}}\] \[h(x)=\frac{{b-a}}{(b-a)(b-x)}\] \[h(x)=\frac{1}{b-x}\]

2. exponencial.

Si \[x>=0\] \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\] Y \[F(x)=1-e^{-\lambda x}\] Entonces \[h(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{1-(1-e^{-\lambda x})}\] \[h(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{1-1+e^{-\lambda x})}\] \[h(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}\] \[h(x)=\lambda\]

3. pareto.

Si \[x>=\kappa\] \[f(x)=\frac{\gamma \kappa^{\gamma }}{x^{\gamma +1}}\] Y \[F(x)=1-\left(\frac{\kappa}{x}\right)^{\gamma}\] Entonces \[h(x)=\frac{\frac{\gamma \kappa^{\gamma}}{x^{\gamma +1}}}{1-(1-\left(\frac{\kappa}{x}\right)^{\gamma})}\] \[h(x)=\frac{\frac{\gamma \kappa^{\gamma}}{x^{\gamma +1}}}{1-1+\left(\frac{\kappa}{x}\right)^{\gamma}}\] \[h(x)=\frac{\frac{\gamma \kappa^{\gamma}}{x^{\gamma +1}}}{\left(\frac{\kappa}{x}\right)^{\gamma}}\] \[h(x)=\frac{\frac{\gamma \kappa^{\gamma}}{x^{\gamma +1}}}{\frac{\kappa^{\gamma}}{x^{\gamma}}}\] \[h(x)=\frac{(\gamma \kappa^{\gamma})(x^{\gamma})}{(x^{\gamma +1})(\kappa^{\gamma})}\] \[h(x)=\frac{(\gamma)(\kappa^{\gamma})(x^{\gamma})}{x^{\gamma}(x^{1})(\kappa^{\gamma})}\] \[h(x)=\frac{\gamma}{x}\]

12. Calcule la transformada de Laplace de la exponencial.

\[f(x)=\lambda{e^{-\lambda x}}\] Si \[\zeta(f(t))=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)dx\] Entonces \[L(S)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\lambda{e^{-\lambda x}}dx\] \[L(S)=\lambda\int_{0}^{\infty}e^{x(-s-\lambda)}dx\] \[L(S)=\frac{-\lambda e^{-x(\lambda+s)}}{\lambda -s}\ |_{0}^{\infty}\] Donde \[e^{\infty}=0,e^{0}=1\] \[L(S)=\frac{\lambda}{\lambda-s}\] \[L'(S)=\frac{d}{dx}\frac{\lambda}{\lambda-s}=\frac{\lambda}{(\lambda-s)^2}\]

13. El coeficiente de variación de una variable aleatoria está dado por:

\[CV(X)=\frac{\sigma x}{E(X)}\]

Calcule el coeficiente de variación para las distribuciones:

1. uniforme.

\[E(X)=\frac{a+b}{2}\] \[V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\] \[\sigma x=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}\] Entonces \[CV(X)=\frac{\sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}}{\frac{a+b}{2}}\] \[CV(X)=\frac{\frac{b-a}{\sqrt{12}}}{\frac{a+b}{2}}\] \[CV(X)=\frac{2(b-a)}{\sqrt{12}(a+b)}\]

2. exponencial.

\[E(X)=\frac{1}{\lambda}\] \[V(X)=\frac{1}{\lambda ^2}\] \[\sigma x=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{1}{\lambda ^2}}\] Entonces \[CV(X)=\frac{\sqrt{\frac{1}{\lambda ^2}}}{\frac{1}{\lambda}}\] \[CV(X)=\frac{\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}}=1\]

3. pareto.

\[E(X)=\frac{\kappa \gamma}{\gamma-1}\] \[V(X)=\frac{r q}{p^2}\] \[\sigma x=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{r q}{p^2}}\] Entonces \[CV(X)=\frac{\sqrt{\frac{r q}{p^2}}}{\frac{\kappa \gamma}{\gamma-1}}\] \[CV(X)=\frac{\frac{\sqrt {rq}}{p}}{\frac{\kappa \gamma}{\gamma-1}}\] \[CV(X)=\frac{(\gamma-1)\sqrt {rq}}{p(\kappa \gamma)}\]

14. Genere 2000 números aleatorios, usando R, de una exponencial con lambda igual a:

x<-seq(0,2,length=100)
y<-dexp(x,2)
plot(x,y,type="l", lwd=3, col="yellow", main="exponencial lambda = 2")

x<-seq(0,2,length=100)
y<-dexp(x,3)
plot(x,y,type="l", lwd=3, col="red", main="exponencial lambda = 3")

Num1=rexp(2000,2)

Num2=rexp(2000,3)

3. Aparte, hallar para las distribuciones:

1. la suma.

suma=sum(Num1,Num2)
suma

## [1] 1635.712

2. el mínimo .

minimo=min(Num1,Num2)
minimo

## [1] 5.11475e-05

3. el máximo.

maximo=max(Num1,Num2)
maximo

## [1] 4.165244

4. para las distribuciones así generadas haga los respectivos histogramas.

hist(Num1,col="green",labels=TRUE)

hist(Num2,breaks=12,col="lightblue",border="red")

hist(suma,col="green",labels=TRUE)

hist(minimo,breaks=12,col="lightblue",border="red")

hist(maximo,col="pink",labels=TRUE)

5. calcule la media y la desviación standard de cada una.

Media (Mean)

mean(Num1)

## [1] 0.4888372

mean(Num2)

## [1] 0.3290186

Desviación estandar (Standard Deviation)

sd(Num1)

## [1] 0.4972234

sd(Num2)

## [1] 0.3372246

15. Genere 2000 números aleatorios de una Poisson, usando R, con lambda igual a:

x<-seq(0,10,length=100)
y<-ppois(x,2)
plot(x,y,type="l", lwd=3, col="yellow", main="poisson lambda = 2")

x<-seq(0,10,length=100)
y<-ppois(x,3)
plot(x,y,type="l", lwd=3, col="red", main="poisson lambda = 3")

Num3=rpois(2000, 2)

Num4=rpois(2000, 2)

3. Aparte hallar, para las dos :

1. la suma.

suma1=sum(Num3,Num4)
suma1

## [1] 8064

2. el mínimo.

minimo1=min(Num3,Num4)
minimo1

## [1] 0

3. el máximo.

maximo1=max(Num3,Num4)
maximo1

## [1] 9

4. para las distribuciones así generadas haga los respectivos histogramas.

hist(Num3,col="brown",labels=TRUE)

hist(Num4,breaks=12,col="yellow",border="red")

hist(suma1,col="purple",labels=TRUE)

hist(minimo1,breaks=12,col="green",border="red")

hist(maximo1,col="red",labels=TRUE)

5. calcule la media y la desviación standard de todas las columnas.

Media (Mean)

mean(Num3)

## [1] 1.988

mean(Num4)

## [1] 2.044

Desviación estandar (Standard Deviation)

sd(Num3)

## [1] 1.399227

sd(Num4)

## [1] 1.414943

16. Hallar la función característica de la distribución:

1. uniforme.

\[\Phi(w)=E(e^{i w X})\] \[f(x)=\frac{1}{b-a}\] \[\Phi(w)=E(e^{iwx})=\int_{a}^{b}e^{iwx}f(x)dx\] \[\Phi(w)=\int_{a}^{b}e^{iwx}\left(\frac{1}{b-a}\right)dx\] Entonces \[\Phi(w)=\frac{1}{b-a}\frac{e^{iwx}}{iw}\mid_{a}^{b}\] \[\Phi(w)=\frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{iwb}}{iw}-\frac{e^{iwa}}{iw}\right]\] \[\Phi(w)=\frac{e^{iwb}-e^{iwa}}{iw(b-a)}\]

2. exponencial.

\[\Phi(w)=E(e^{i w X})\] \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\] \[\Phi(w)=E(e^{iwx})=\int_{0}^{\infty}e^{iwx}f(x)dx\] \[\Phi(w)=\int_{0}^{\infty}e^{iwx}\left(\lambda e^{-\lambda x}\right)dx\] \[\Phi(w)=\lambda\int_{0}^{\infty }e^{iwx}e^{-\lambda x}dx=\lambda \int_{0}^{\infty }e^{(iw-\lambda)x}dx \] Donde \[u=(iw-\lambda)x, du=(iw-\lambda)dx,dx=\frac{du}{(iw-\lambda)}\] Entonces \[\Phi(w)=\lambda \int_{0}^{\infty}\frac{e^{u} du}{iw-\lambda}\] \[\Phi(w)=\frac{\lambda e^{(iw-\lambda )x}}{iw-\lambda }\mid_{0}^{\infty}\] \[\Phi(w)=\frac{\lambda }{iw-\lambda } \]

3. normal.

\[\Phi(w)=E(e^{i w X})\] \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}e^-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}\] \[\Phi(w)=E(e^{iwx})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx}f(x)dx\] \[\Phi(w)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx}\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\] \[\Phi(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\] \[\Phi(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\] \[\Phi(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{iwx(2\sigma ^2)-(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\]

18. La función Gamma está dada por:

\[\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}dx\] \[Para (r>0)\] Compruebe que:

1. \[\Gamma(1)=1\]

\[\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}\partial x=\int_{0}^{\infty}x^{1-1}e^{-x}dx\] \[\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx\] \[\Gamma(1)=1\]

2. \[\Gamma(r)=(r-1)\Gamma(r-1)\]

\[\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}dx\] Se integra por partes: \[ u=x^{r-1},du=(r-1)x^{r-2},v=-e^{-x},dv=e^{-x}dx\] \[\int u \partial v=u v-\int v du\] Entonces \[\Gamma(r)=-x^{r-1}e^{-x} \mid _{0}^{\infty}+(r-1)\int_{0}^{\infty }x^{r-2}e^{-x}dx\] \[\Gamma(r)=x^{r-1}+(r-1)\int_{0}^{\infty }x^{r-2}e^{-x}dx\]

3. \[\Gamma(r)=\int_{0}^{1}ln\left(\frac{1}{x}\right)^{r-1}dx\]

19. La distribución gamma está dada por:

\[f(x)=\frac{\lambda ^ r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}\] \[Para (x\geqslant0)\] Cuando r es un entero positivo se obtiene la distribución Erlang(r).

1. compruebe que es una función de densidad de probabilidad.

\[f(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\] \[\frac{\lambda ^{r}}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\] Donde \[f(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\] Si \[u=-\lambda x, x=-\frac{u}{\lambda}\] \[du=\lambda dx, dx=\frac{du}{\lambda}\] \[f(x)=\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{u}{\lambda}\right)^{r-1}e^{u}\frac{du}{\lambda}\]

2. encuentre la función generadora de momentos.

\[Mx(t)=-\int_{0}^{\infty}\ e^{-tx} f(x)\] \[\int_{0}^{\infty}\ e^{-tx}\frac{\lambda ^r}{\gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda ^r}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\ x^{r-1}e^{(t-\lambda)x}d(x)\] \[\mu=(\lambda-t)x=x=\frac{\mu}{\lambda-t}\] \[ d\mu=(\lambda-t)dx=dx=\frac{d\mu}{\lambda-t}\] \[\frac{\lambda ^r}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\ x^{r-1}e^{-(\lambda-t)^{x}}dx=\frac{\lambda ^r}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\ (\frac{\mu}{\lambda-t})^{r-1}e^{-\mu}\frac{d\mu}{\lambda-t}\] \[\frac{\lambda ^r}{\gamma(r)(\lambda-t)^{r}}\int_{0}^{\infty}\mu^{r-1}e^{-\mu}=\frac{\lambda ^{r}\gamma(r)}{\gamma(r)(\lambda-t)^{r}}\] \[Mx(t)=\frac{\lambda ^r}{(\gamma-t)^r}\]

3. halle la media y la varianza.

Media:

\[E(x)=-\int_{0}^{\infty}\ xf(x)dx\] \[E(x)=-\int_{0}^{\infty}\ x\frac{\lambda r}{(\gamma (r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda ^r}{(\gamma (r)}\int_{0}^{\infty}\ x^{r}e^{-\lambda r}dx\] \[\mu=\lambda x\] \[ d\mu=\lambda dx\] \[\frac{\lambda ^r}{(\gamma (r)}\int_{0}^{\infty}\ (\frac{\mu}{\lambda})^r\ e^{-\mu}d\mu\]

Donde

\[\int_{0}^{\infty}\ \mu^{r} e^{-\mu}d\mu=\gamma(r+1)\] \[\frac{\lambda(r+1)}{(\lambda \gamma (r)}=\frac{r}{\lambda}\]

Varianza:

\[V(x) = E(x^2)-E(x)^2\] \[E(x^2)=\int_{0}^{\infty}\ x^2 \frac{\lambda ^r}{(\gamma (r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda ^r}{(\gamma (r)}\int_{0}^{\infty}\ x^{r+1}e^{-\lambda x}dx\] \[\frac{\lambda ^r}{(\gamma (r)} \int_{0}^{\infty}\ (\frac{\mu}{\lambda})^{r+1} e^{-\mu} \frac{d\mu}{\lambda}=\frac{1}{\lambda ^{2}\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\ \mu^{r+1}e^{-\mu}d\mu\]

Donde

\[\int_{0}^{\infty}\ \mu^{r+1} e^{-\mu}d\mu=\gamma(r+2)\] \[=\frac{\gamma(r+2)}{\lambda ^2 \gamma (r)}=\frac{(r+1)\gamma(r+1)}{\lambda ^2 \gamma (r)}=\frac{(r+1)r\gamma(r)}{\lambda ^2 \gamma (r)}=\frac{r(r+1)}{\lambda ^2}\] \[V(x)=\frac{r(r+1)}{\lambda ^2}-(\frac{\lambda}{r})^2=\frac{r^{2}+r-r^{2}}{\lambda ^2}=\frac{x}{\lambda ^2}\]