YEISON NIÑO

OSCAR L. ZAMBRANO

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  1. Compruebe que en una distribución exponencial se tiene:

\[P(X>a+b|X>a)=P(X>b)\]

esta propiedad se llama “pérdida de memoria” de la distribución exponencial.

\[P(X>a+b|X>a)=\frac{P(X>a+b)}{P(X>a)}\] \[P(X>a+b|X>a)=\frac{1-P(X<a+b)}{1-P(X<a)}\]

\[f(X)=\lambda{e^{-xx}}\] \[P(X<x)=f(X)={1-e^{-\lambda x}}\]

\[P(X>a+b|X>a)=\frac{1-(1-e^\lambda a+b)}{1-(1-e^\lambda a)}\] \[P(X>a+b|X>a)=\frac{(e^-\lambda (a+b))}{e^-\lambda a}\] \[P(X>a+b|X>a)={1-}{(1-e^\lambda b)}\] \[P(X>a+b|X>a)={1-}{f(b)}\] \[P(X>a+b|X>a)={1-}{f(b)}\] \[P(X>a+b|X>a)={P(X>b)}\]

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2). Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribucion exponencial con promedio de 3.2 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que:

(a) Demore mas de dos minutos en ser atendido?

X= Tiempo de servicio

Lambda= 1/3.2

\[f(x)= \frac{1}{3.2} e^{\frac{-x}{3.2}}\]

1-pexp(2,1/3.2)
## [1] 0.5352614

(b) Demore mas de 4 minutos en ser atendido dado que demora mas de dos minutos ?

\[ P(x>4|X>2)=\frac{P(X>4)}{P(X>2)}\]

(1-pexp(4,1/3.2))/(1-pexp(2,1/3.2))
## [1] 0.5352614

(c) ¿Cual es la varianza y la desviaciOn estandar del tiempo de servicio?

\[Varianza=\frac{1}{\lambda^2}\]

1/(1/3.2)^2
## [1] 10.24

\[Desviacion Estandar=\frac{1}{\lambda}\]

1/(1/3.2)
## [1] 3.2

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  1. A cierta hora del día, la rapidez de carga de una melodía en formato mp3, bajada de Internet es una variable con distribución normal, con media de 14 kilobytes por segundo y desviación típica de 2.3 Kb/s.

Determine el porcentaje de veces que una melodía de mp3 se cargará con una velocidad:

X= Rapidez kb/s

\[{\mu}=14\]

\[{\sigma}=2.3\]

a.Superior a 19 Kb/s:

1-pnorm(19,14,2.3)
## [1] 0.01485583

b.Entre 15 y 18 kb/s:

(pnorm(18,14,2.3))-(pnorm(15,14,2.3))
## [1] 0.2908542

c.¿Cual es la velocidad minima del 6 % de las descargas mas rapidas?

p=0.06

q=0.94

qnorm(0.94,14,2.3)
## [1] 17.57598

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  1. El tiempo promedio que cierto usuario de Internet emplea en leer y responder su correo electronico, por dia, es de 30 minutos con una desviacion estandar de 10 minutos. Suponga que el tiempo empleado para esa actividad tiene distribucion normal.

\[{\mu}=30\]

\[{\sigma}=10\]

a.¿Cual es la probabilidad de que en un determinado dia el usuario demore menos de 10 minutos revisando su e-mail?

pnorm(10,30,10)
## [1] 0.02275013

b.¿Cual es el tiempo minimo que demora el 5 % de los usuarios mas demorados?

p=0.05

q=0.95

qnorm(0.95,30,10)
## [1] 46.44854

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  1. Suponga que el numero de llamadas diarias que recibe su telefono celular es una variable aleatoria con distribucion normal con media de 8 y desviacion estandar de 2.83, ¿Cual es la probabilidad de que durante un dia su celular reciba:

\[{\mu}=8\]

\[{\sigma}=2.83\]

**a.** Mas de 8 llamadas?
pnorm(8,8,2.83)
## [1] 0.5
**b.**Entre 6 y 8 llamadas inclusive?
(pnorm(8,8,2.83))-(pnorm(6,8,2.83))
## [1] 0.2601278

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6.Suponga que los clientes llegan a un mostrador a razon de dos por minuto.

a.Calcular el promedio y la varianza del tiempo entre llegadas sucesivas de clientes.

\[{\lambda}=2\]

\[Promedio=\frac{1}{\lambda}\]

1/2
## [1] 0.5

\[Varianza=\frac{1}{\lambda^2}\]

1/(2^2)
## [1] 0.25
 **b.**¿Cual es la probababilidad de que haya que esperar al menos un minuto para que llegue el
 proximo cliente?
pexp(2,2)
## [1] 0.9816844

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7.El tiempo de llegada entre clientes a un torniquete se distribuye uniformemente en un periodo de treinta minutos. Calcular la probabilidad de que el primer cliente llegue en:

a. Menos de 5 minutos:

punif(5,0,30)
## [1] 0.1666667

b. Menos de 10 minutos:

punif(10,0,30)
## [1] 0.3333333

c. Mas de 25 minutos:

1-punif(25,0,30)
## [1] 0.1666667

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  1. Un conjunto de datos tiene distribución normal estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que un dato está a lo más a:
  1. una desviación estándar de la media?
pnorm(1)-pnorm(-1)
## [1] 0.6826895
  1. dos desviaciones estándar de la media?
pnorm(2)-pnorm(-2)
## [1] 0.9544997
  1. tres desviaciones estándar de la media?
pnorm(3)-pnorm(-3)
## [1] 0.9973002

============================================================================================================================0

9.La duracion de una sesion de internet se puede modelar mediante una distribucion de Pareto con k = 15 minutos y r = 2. ¿Cual es la probabilidad de que una sesion dure:

\[F(x)=1-(\frac{k}{x})^r\]

a. Mas de 40 minutos?

1 - (1 - (15/40)^2)
## [1] 0.140625

b. Entre 30 minutos y una hora?

(1 - (15/60)^2) - (1 - (15/30)^2)
## [1] 0.1875

================================================================================================ 10. En una distribucion de Pareto con r = 1,5 y k = 3,2 , hallar:

a. P(X < 4)

library(actuar)
## 
## Attaching package: 'actuar'
## The following object is masked from 'package:grDevices':
## 
##     cm
ppareto(4,3.2,1.5)
## [1] 0.9843566

b. P(X >5)

ppareto(5,3.2,1.5)
## [1] 0.9908342

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11.La tasa de riesgo de una distribucion de probabilidad esta dada por:

\[h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}\]

Calcule la tasa de riesgo de las distribuciones:

La funcion de riesgo definida por:

\[h(x)=\frac{f(x)}{S(x)}\]

a. Uniforme.

\[f(x)=\frac{1}{b-a}\]

\[S(x)=\frac{x-a}{b-a}\]

Reemplazando:

\[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{\frac{x-a}{b-a}}\]

\[h(x)=\frac{1}{x-a}\]

b. Exponencial.

\[f(x)=\lambda e^{-2x}\]

\[S(x)=e^{-2x}\]

Reemplazando:

\[h(x)=\frac{\lambda e^{-2x}}{e^{-2x}}\]

\[h(x)=\lambda\]

c. Pareto.

\[f(x)=\frac{\sigma k^{\sigma}}{x^{\sigma+1}}\]

\[S(x)=(\frac{k}{x})^{\sigma}\]

Reemplazando:

\[h(x)=\frac{\frac{\sigma k^{\sigma}}{x^{\sigma+1}}}{(\frac{k}{x})^{\sigma}}\]

\[h(x)=\frac{\sigma}{x}\]

===============================================================================================================================00

12.Calcule la transformada de Laplace de la exponencial.

\[E(e^{sx})= \int_0^{\infty}e^{-sx} f(x) dx\]

Si \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\]

Reemplazando

\[L(s)=E(e^{sx})=\int_0^{\infty}e^{sx} \lambda e^{-\lambda x} dx\]

\[\lambda \int_0^{\infty} e^{x(-\lambda-s)} dx\]

\[\frac{-\lambda e^{-x(\lambda-s)}}{\lambda-s} |_0^{\infty}\]

\[L(s)=\frac{\lambda}{\lambda-s}\]

Calculando la primera derivada:

\[\frac{\lambda}{(\lambda-s)^2}\]

Con

s=0

\[E(x)=\frac{\lambda}{(\lambda-0)^2}= \frac{1}{\lambda}\]

Calculando la segunda derivada:

\[\frac{2\lambda}{(\lambda-s)^3}\]

Con s=0

\[E(x^2)=\frac{2\lambda}{(\lambda-0)^3}= \frac{2}{\lambda^2}\]

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13. El coeficiente de variacion de una variable aleatoria esta dado por:

\[CV(X)=\frac{V(X)}{E(X)}\]

Calcule el coeficiente de variacion para las distribuciones:

a. Uniforme.

\[E(x)=\frac{b+a}{2}\]

\[V(x)=\frac{(b-a)^2}{12}\]

\[\sigma=\frac{(b-a)^2}{\sqrt{12}}\]

Reemplazando:

\[CV(X)=\frac{\frac{(b-a)^2}{\sqrt{12}}}{\frac{b+a}{2}} * X\]

\[CV(X)=\frac{2X(b-a)}{\sqrt{12}(b+a)}\]

b.Exponencial. \[E(x)=\frac{1}{\lambda}\]

\[V(x)=\frac{1}{\lambda^2}\]

\[\sigma=\frac{1}{\lambda}\]

Reemplazando:

\[CV(X)=\frac{\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}} * X\]

\[CV(X)=X\]

c.Pareto. \[E(x)=\frac{kr}{r-1}\]

\[V(x)=(\frac{k}{r-1})^2 \frac{r}{r-2}\]

\[\sigma=(\frac{k}{r-1}) \sqrt{ \frac{r}{r-2}}\]

Reemplazando:

\[CV(X)=\frac{(\frac{k}{r-1}) \sqrt{ \frac{r}{r-2}}}{\frac{kr}{r-1}} X\]

\[CV(X)=\frac{X}{r} \sqrt{ \frac{r}{r-2}}\]

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14. Genere 2000 numeros aleatorios, usando R, de una exponencial con \[\lambda\] igual a:

a.** 2

xp(2000, 2)

b.** 3

xp(2000, 3)

c.** Aparte, hallar para las distribuciones:

i.La suma.

rpois(2000, 3) + rpois(2000, 2)

ii.**El minimo.

in(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2))

iii.** el maximo

pmax(rpois(2000, 3),rpois(2000, 2))

d.Para las distribuciones asi generadas haga los respectivos histogramas.

Suma

Minimo

Maximo

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’ 15. Genere 2000 números aleatorios de una Poisson, usando R, con lambda igual a:

x<-seq(0,10,length=100)
y<-ppois(x,2)
plot(x,y,type="l", lwd=3, col="yellow", main="poisson lambda = 2")

x<-seq(0,10,length=100)
y<-ppois(x,3)
plot(x,y,type="l", lwd=3, col="red", main="poisson lambda = 3")

Num3=rpois(2000, 2)
Num4=rpois(2000, 2)
  1. Aparte hallar, para las dos :
  1. la suma.
suma1=sum(Num3,Num4)
suma1
## [1] 7897
  1. el mínimo.
minimo1=min(Num3,Num4)
minimo1
## [1] 0
  1. el máximo.
maximo1=max(Num3,Num4)
maximo1
## [1] 9
  1. para las distribuciones así generadas haga los respectivos histogramas.
hist(Num3,col="brown",labels=TRUE)

hist(Num4,breaks=12,col="yellow",border="red")

hist(suma1,col="purple",labels=TRUE)

hist(minimo1,breaks=12,col="green",border="red")

hist(maximo1,col="red",labels=TRUE)

  1. calcule la media y la desviación standard de todas las columnas.

Media (Mean)

mean(Num3)
## [1] 1.9775
mean(Num4)
## [1] 1.971

Desviación estandar (Standard Deviation)

sd(Num3)
## [1] 1.437716
sd(Num4)
## [1] 1.426596

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  1. Hallar la función característica de la distribución:
  1. uniforme.

\[\Phi(w)=E(e^{i w X})\] \[f(x)=\frac{1}{b-a}\] \[\Phi(w)=E(e^{iwx})=\int_{a}^{b}e^{iwx}f(x)dx\] \[\Phi(w)=\int_{a}^{b}e^{iwx}\left(\frac{1}{b-a}\right)dx\] Entonces \[\Phi(w)=\frac{1}{b-a}\frac{e^{iwx}}{iw}\mid_{a}^{b}\] \[\Phi(w)=\frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{iwb}}{iw}-\frac{e^{iwa}}{iw}\right]\] \[\Phi(w)=\frac{e^{iwb}-e^{iwa}}{iw(b-a)}\]

  1. exponencial.

\[\Phi(w)=E(e^{i w X})\] \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\] \[\Phi(w)=E(e^{iwx})=\int_{0}^{\infty}e^{iwx}f(x)dx\] \[\Phi(w)=\int_{0}^{\infty}e^{iwx}\left(\lambda e^{-\lambda x}\right)dx\] \[\Phi(w)=\lambda\int_{0}^{\infty }e^{iwx}e^{-\lambda x}dx=\lambda \int_{0}^{\infty }e^{(iw-\lambda)x}dx \] Donde \[u=(iw-\lambda)x, du=(iw-\lambda)dx,dx=\frac{du}{(iw-\lambda)}\] Entonces \[\Phi(w)=\lambda \int_{0}^{\infty}\frac{e^{u} du}{iw-\lambda}\] \[\Phi(w)=\frac{\lambda e^{(iw-\lambda )x}}{iw-\lambda }\mid_{0}^{\infty}\] \[\Phi(w)=\frac{\lambda }{iw-\lambda } \]

  1. normal.

\[\Phi(w)=E(e^{i w X})\] \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}e^-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}\] \[\Phi(w)=E(e^{iwx})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx}f(x)dx\] \[\Phi(w)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx}\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\] \[\Phi(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\] \[\Phi(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\] \[\Phi(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma)^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{iwx(2\sigma ^2)-(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dx\]

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  1. Sean X y Y dos variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por:

\[f(x,y)=\frac{2}{3} (x+2y)\] Para 0 < x; y < 1.

  1. compruebe que es una función de densidad de probabilidad.

  2. halle las distribuciones marginales fX(x) y fY (y).

  3. calcule E(X), E(Y), E(XY), V(X), V(Y), COV(X,Y), rho(X,Y).

  4. encuentre f(x|y) y f(y|x)

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  1. La función Gamma está dada por:

\[\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}dx\] \[Para (r>0)\] Compruebe que:

  1. \[\Gamma(1)=1\]

\[\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}\partial x=\int_{0}^{\infty}x^{1-1}e^{-x}dx\] \[\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx\] \[\Gamma(1)=1\]

  1. \[\Gamma(r)=(r-1)\Gamma(r-1)\]

\[\Gamma(r)=\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-x}dx\] Se integra por partes: \[ u=x^{r-1},du=(r-1)x^{r-2},v=-e^{-x},dv=e^{-x}dx\] \[\int u \partial v=u v-\int v du\] Entonces \[\Gamma(r)=-x^{r-1}e^{-x} \mid _{0}^{\infty}+(r-1)\int_{0}^{\infty }x^{r-2}e^{-x}dx\] \[\Gamma(r)=x^{r-1}+(r-1)\int_{0}^{\infty }x^{r-2}e^{-x}dx\]

  1. \[\Gamma(r)=\int_{0}^{1}ln\left(\frac{1}{x}\right)^{r-1}dx\]

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  1. La distribución gamma está dada por:

\[f(x)=\frac{\lambda ^ r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}\] \[Para (x\geqslant0)\] Cuando r es un entero positivo se obtiene la distribución Erlang(r).

  1. compruebe que es una función de densidad de probabilidad.

\[f(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\] \[\frac{\lambda ^{r}}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\] Donde \[f(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\] Si \[u=-\lambda x, x=-\frac{u}{\lambda}\] \[du=\lambda dx, dx=\frac{du}{\lambda}\] \[f(x)=\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{u}{\lambda}\right)^{r-1}e^{u}\frac{du}{\lambda}\]

(b. Encuentre la función generadora de momentos.

\[Mx(t)-\int_{0}^{\infty}e^{-tx}f(x)\] \[\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{(t-\lambda)x}dx\] \[\mu=(\lambda-t)x=x=\frac{\mu}{\lambda-t}\] \[d\mu=(\lambda-t)dx=dx=\frac{d\mu}{\lambda-t}\] \[\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-(\lambda-t)^x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}(\frac{\mu}{\lambda-t})^{r-1}e^{-\mu}\frac{d\mu}{\lambda-t}\] \[\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)(\lambda-t)^r}\int_{0}^{\infty}\mu^{r-1}e^{-\mu}=\frac{\lambda^{r}\gamma(r)}{\gamma(r)(\lambda-t)^r}\] \[Mx(t)=\frac{\lambda^{r}}{(\lambda-t)^r}\]

c.Halle la media y la varianza.

Media:

\[E(x)=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\] \[E(x)=\int_{0}^{\infty}x\frac{\lambda r}{\gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r}e^{-\lambda r}dx\] \[\mu=\lambda x\] \[d\mu=\lambda dx\] \[\frac{\lambda^r}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}(\frac{\mu}{\lambda})^{r}e^{-\mu}d\mu\]

Donde:

\[\int_{0}^{\infty}\mu^{r}e^{-\mu}d\mu=\gamma(r+1)\] \[\frac{\gamma(r+1)}{\lambda\gamma(r)}=\frac{r}{\lambda}\]

Varianza:

\[V(x)=E(x^{2})-E(x)^{2}\] \[E(x^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r+1}e^{-\lambda x}dx\] \[\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}(\frac{\mu}{\lambda})^{r+1}e^{-\mu}\frac{d\mu}{\lambda}=\frac{1}{\lambda^{2}\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\mu^{r+1}e^{-\mu}d\mu\]

Donde:

\[\int_{0}^{\infty}\mu^{r+1}e^{-\mu}d\mu=\gamma(r+2)\] \[=\frac{\gamma(r+2)}{\lambda^2 \gamma(r)}=\frac{(r+1)\gamma(r+1)}{\lambda^2 \gamma(r)}=\frac{(r+1)r\gamma(r)}{\lambda^{2}\gamma(r)}\] \[\frac{r(r+1)}{\lambda^{2}}\]

\[V(x)=\frac{r(r+1)}{\lambda^{2}}-\frac({r}{\lambda})^{2}=\frac{r^{2}+r-r^{2}}{\lambda^{2}}=\frac{x}{\lambda^{2}}\]