1.Compruebe que en una distribucion exponencial se tiene:

\[P(X>a + b|X>a)=P(X>b)\]

Esta propiedad se llama “Perdida de memoria” de la distribucion exponencial.

\[P(X>a + b|X>a)=P(X>b)\]

\[\frac{P(X>a + b)}{P(X>a)}=\frac{1-P(X<a + b)}{1-P(X<a)}\]

\[\frac{1-(1-e^{-\lambda(a+b)})}{1-(1-e^{-\lambda a})}\]

\[\frac{e^{-\lambda(a+b)}}{{e^{\lambda a}}}= e^{-\lambda b}\]

\[ 1-(1-e^{-\lambda b})\]

\[ 1-F(b)\]

\[ P(X>b)\]

2.Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribucion exponencial con promedio de 3.2 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que:

(a) Demore mas de dos minutos en ser atendido?

X= Tiempo de servicio

Lambda= 1/3.2

\[ f(x)= \frac{1}{3.2} e^{\frac{-x}{3.2}}\]

1-pexp(2,1/3.2)
## [1] 0.5352614

(b) Demore mas de 4 minutos en ser atendido dado que demora mas de dos minutos ?

\[ P(x>4|X>2)=\frac{P(X>4)}{P(X>2)} \]

(1-pexp(4,1/3.2))/(1-pexp(2,1/3.2))
## [1] 0.5352614

(c) ¿Cual es la varianza y la desviaciOn estandar del tiempo de servicio?

\[Varianza=\frac{1}{\lambda^2}\]

1/(1/3.2)^2
## [1] 10.24

\[Desviacion Estandar=\frac{1}{\lambda}\]

1/(1/3.2)
## [1] 3.2

3.A cierta hora del dia, la rapidez de carga de una melodia en formato mp3 bajada de Internet es una variable con distribucion normal, con media de 14 kilobytes por segundo y desviacion tipica de 2.3 Kb/s. Determine el porcentaje de veces que una melodia de mp3 se cargara con una velocidad:

X= Rapidez kb/s

\[{\mu}=14\]

\[{\sigma}=2.3\]

a.Superior a 19 Kb/s:

1-pnorm(19,14,2.3)
## [1] 0.01485583

b.Entre 15 y 18 kb/s:

(pnorm(18,14,2.3))-(pnorm(15,14,2.3))
## [1] 0.2908542

c.¿Cual es la velocidad minima del 6 % de las descargas mas rapidas?

p=0.06

q=0.94

qnorm(0.94,14,2.3)
## [1] 17.57598

4.El tiempo promedio que cierto usuario de Internet emplea en leer y responder su correo electronico, por dia, es de 30 minutos con una desviacion estandar de 10 minutos. Suponga que el tiempo empleado para esa actividad tiene distribucion normal.

\[{\mu}=30\]

\[{\sigma}=10\]

a.¿Cual es la probabilidad de que en un determinado dia el usuario demore menos de 10 minutos revisando su e-mail?

pnorm(10,30,10)
## [1] 0.02275013

b.¿Cual es el tiempo minimo que demora el 5 % de los usuarios mas demorados?

p=0.05

q=0.95

qnorm(0.95,30,10)
## [1] 46.44854

5.Suponga que el numero de llamadas diarias que recibe su telefono celular es una variable aleatoria con distribucion normal con media de 8 y desviacion estandar de 2.83, ¿Cual es la probabilidad de que durante un dia su celular reciba:

\[{\mu}=8\]

\[{\sigma}=2.83\]

a. Mas de 8 llamadas?

pnorm(8,8,2.83)
## [1] 0.5

b.Entre 6 y 8 llamadas inclusive?

(pnorm(8,8,2.83))-(pnorm(6,8,2.83))
## [1] 0.2601278

6.Suponga que los clientes llegan a un mostrador a razon de dos por minuto.

a.Calcular el promedio y la varianza del tiempo entre llegadas sucesivas de clientes.

\[{\lambda}=2\]

\[Promedio=\frac{1}{\lambda}\]

1/2
## [1] 0.5

\[Varianza=\frac{1}{\lambda^2}\]

1/(2^2)
## [1] 0.25

b.¿Cual es la probababilidad de que haya que esperar al menos un minuto para que llegue el proximo cliente?

pexp(2,2)
## [1] 0.9816844

7.El tiempo de llegada entre clientes a un torniquete se distribuye uniformemente en un periodo de treinta minutos. Calcular la probabilidad de que el primer cliente llegue en:

a. Menos de 5 minutos:

punif(5,0,30)
## [1] 0.1666667

b. Menos de 10 minutos:

punif(10,0,30)
## [1] 0.3333333

c. Mas de 25 minutos:

1-punif(25,0,30)
## [1] 0.1666667

8.Un conjunto de datos tiene distribucion normal estandar. ¿Cual es la probabilidad de que un dato este a lo mas a:

Sin importar los valores de \[{\mu}\] \[{\sigma}\] para una distribucion de probabilidad normal, el area total bajo la curva es 1, de manera que podemos pensar en areas bajo la curva como si fueran probabilidades.

a. Una desviacion estandar de la media?

Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

b. Dos desviaciones estandar de la media?

Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media

c.Tres desviaciones estandar de la media?

Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.

9.La duracion de una sesion de internet se puede modelar mediante una distribucion de Pareto con k = 15 minutos y r = 2. ¿Cual es la probabilidad de que una sesion dure:

\[F(x)=1-(\frac{k}{x})^r\]

a. Mas de 40 minutos?

1 - (1 - (15/40)^2)
## [1] 0.140625

b. Entre 30 minutos y una hora?

(1 - (15/60)^2) - (1 - (15/30)^2)
## [1] 0.1875

10. En una distribucion de Pareto con r = 1,5 y k = 3,2 , hallar:

a. P(X < 4)

library(actuar)
## 
## Attaching package: 'actuar'
## The following object is masked from 'package:grDevices':
## 
##     cm
ppareto(4,3.2,1.5)
## [1] 0.9843566

b. P(X >5)

ppareto(5,3.2,1.5)
## [1] 0.9908342

11.La tasa de riesgo de una distribucion de probabilidad esta dada por:

\[h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}\]

Calcule la tasa de riesgo de las distribuciones:

La funcion de riesgo definida por:

\[h(x)=\frac{f(x)}{S(x)}\]

a. Uniforme.

\[f(x)=\frac{1}{b-a}\]

\[S(x)=\frac{x-a}{b-a}\]

Reemplazando:

\[h(x)=\frac{\frac{1}{b-a}}{\frac{x-a}{b-a}}\]

\[h(x)=\frac{1}{x-a}\]

b. Exponencial.

\[f(x)=\lambda e^{-2x}\]

\[S(x)=e^{-2x}\]

Reemplazando:

\[h(x)=\frac{\lambda e^{-2x}}{e^{-2x}}\]

\[h(x)=\lambda\]

c. Pareto.

\[f(x)=\frac{\sigma k^{\sigma}}{x^{\sigma+1}}\]

\[S(x)=(\frac{k}{x})^{\sigma}\]

Reemplazando:

\[h(x)=\frac{\frac{\sigma k^{\sigma}}{x^{\sigma+1}}}{(\frac{k}{x})^{\sigma}}\]

\[h(x)=\frac{\sigma}{x}\]

12.Calcule la transformada de Laplace de la exponencial.

\[E(e^{sx})= \int_0^{\infty}e^{-sx} f(x) dx\]

Si \[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\]

Reemplazando

\[L(s)=E(e^{sx})=\int_0^{\infty}e^{sx} \lambda e^{-\lambda x} dx\]

\[\lambda \int_0^{\infty} e^{x(-\lambda-s)} dx\]

\[\frac{-\lambda e^{-x(\lambda-s)}}{\lambda-s} |_0^{\infty}\]

\[L(s)=\frac{\lambda}{\lambda-s}\]

Calculando la primera derivada:

\[\frac{\lambda}{(\lambda-s)^2}\]

Con s=0

\[E(x)=\frac{\lambda}{(\lambda-0)^2}= \frac{1}{\lambda}\]

Calculando la segunda derivada:

\[\frac{2\lambda}{(\lambda-s)^3}\]

Con s=0

\[E(x^2)=\frac{2\lambda}{(\lambda-0)^3}= \frac{2}{\lambda^2}\]

13. El coeficiente de variacion de una variable aleatoria esta dado por:

\[CV(X)=\frac{V(X)}{E(X)}\]

Calcule el coeficiente de variacion para las distribuciones:

a. Uniforme.

\[E(x)=\frac{b+a}{2}\]

\[V(x)=\frac{(b-a)^2}{12}\]

\[\sigma=\frac{(b-a)^2}{\sqrt{12}}\]

Reemplazando:

\[CV(X)=\frac{\frac{(b-a)^2}{\sqrt{12}}}{\frac{b+a}{2}} * X\]

\[CV(X)=\frac{2X(b-a)}{\sqrt{12}(b+a)}\]

b.Exponencial.

\[E(x)=\frac{1}{\lambda}\]

\[V(x)=\frac{1}{\lambda^2}\]

\[\sigma=\frac{1}{\lambda}\]

Reemplazando:

\[CV(X)=\frac{\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}} * X\]

\[CV(X)=X\]

c.Pareto.

\[E(x)=\frac{kr}{r-1}\]

\[V(x)=(\frac{k}{r-1})^2 \frac{r}{r-2}\]

\[\sigma=(\frac{k}{r-1}) \sqrt{ \frac{r}{r-2}}\]

Reemplazando:

\[CV(X)=\frac{(\frac{k}{r-1}) \sqrt{ \frac{r}{r-2}}}{\frac{kr}{r-1}} X\]

\[CV(X)=\frac{X}{r} \sqrt{ \frac{r}{r-2}}\]

14. Genere 2000 numeros aleatorios, usando R, de una exponencial con \[\lambda\] igual a:

a. 2

rexp(2000, 2)

b. 3

rexp(2000, 3)

c. Aparte, hallar para las distribuciones:

i.La suma.

rexp(2000, 3) + rexp(2000, 2)

ii.El minimo.

pmin(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2))

iii. el maximo

pmax(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2))

d.Para las distribuciones asi generadas haga los respectivos histogramas.

Suma

Minimo

Maximo

e.Calcule la media y la desviacion standar de cada una.

DE LA SUMA

-Media

mean(rexp(2000, 3) + rexp(2000, 2))
## [1] 0.8335841

-Desviacion

sd(rexp(2000, 3) + rexp(2000, 2))
## [1] 0.5899469

MINIMO

-Media

mean(pmin(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2)))
## [1] 0.1922297

-Desviacion

sd(pmin(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2)))
## [1] 0.2008039

MAXIMO

-Media

mean(pmax(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2)))
## [1] 0.6405738

-Desviacion

sd(pmax(rexp(2000, 3),rexp(2000, 2)))
## [1] 0.5148589

15. Genere 2000 numeros aleatorios de una Poisson, usando R, con \[\lambda\] igual a :

a. 2

rpois(2000, 2)

b. 3

rpois(2000, 3)

c. Aparte, hallar para las distribuciones:

i.La suma.

rpois(2000, 3) + rpois(2000, 2)

ii.El minimo.

pmin(rpois(2000, 3),rpois(2000, 2))

iii. el maximo

pmax(rpois(2000, 3),rpois(2000, 2))

d.Para las distribuciones asi generadas haga los respectivos histogramas.

Suma

Minimo

Maximo

e.Calcule la media y la desviacion standar de cada una.

DE LA SUMA

-Media

mean(rpois(2000, 3) + rpois(2000, 2))
## [1] 4.974

-Desviacion

sd(rpois(2000, 3) + rpois(2000, 2))
## [1] 2.281435

MINIMO

-Media

mean(rpois(rexp(2000, 3),rpois(2000, 2)))
## [1] 2.054

-Desviacion

sd(pmin(rpois(2000, 3),rpois(2000, 2)))
## [1] 1.112627

MAXIMO

-Media

mean(pmax(rpois(2000, 3),rpois(2000, 2)))
## [1] 3.4975

-Desviacion

sd(pmax(rpois(2000, 3),rpois(2000, 2)))
## [1] 1.5402

16. Hallar la funcion caracteristica de la distribucion:

\[\phi x(t)=E[e]^{itx}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) dx\]

a. Uniforme.

\[f(x)=\frac{1}{b-a}\]

Reemplazando:

\[\phi x(t)=\int_{a}^{b} e^{itx} \frac{1}{b-a} dx\]

\[\phi x(t)= \frac{1}{b-a} \frac{e^{itx}}{it} |_a^{b}\]

\[\phi x(t)= \frac{1}{b-a} [\frac{e^{itb}}{it}-\frac{e^{ita}}{it}]\]

Funcion caracteristica:

\[\phi x(t)= \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}\]

b. Exponencial.

\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\]

Reemplazando:

\[\phi x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x} dx\]

\[\phi x(t)=\lambda \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} e^{-\lambda x} dx\]

\[\phi x(t)=\lambda \int_{-\infty}^{\infty} e^{(itx-\lambda x)} dx\]

\[\phi x(t)=\lambda \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x(\lambda-it)} dx\]

\[\phi x(t)=-\lambda \frac{ e^{-x(\lambda-it)}}{-(\lambda-it)}\]

\[\phi x(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it}\]

c. Normal.

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}\]

Reemplazando:

\[\phi x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} dx\]

\[\phi x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} dx\]

Con:

\[a=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \] \[c=\sqrt{2}\sigma\]

Reemplazando:

\[\phi x(t)=a \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{c^2}} dx\]

Por sustitucion:

\[\alpha+\mu=x\] \[\alpha=x-\mu\] \[\frac {d\alpha}{dx}=1\]

\[\phi x(t)=a \int_{-\infty}^{\infty} e^{it(\alpha+\mu)} e^{-\frac{\alpha^2}{c^2}} d\alpha\] \[\phi x(t)=a e^{it\mu} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\alpha^2-itc^2\alpha}{c^2}} d\alpha\]

Reemplazando c:

\[c^2=(\sqrt{2}\sigma)^2=2\sigma^2\]

\[\phi x(t)=a e^{it\mu} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\alpha^2-2it\sigma^2\alpha}{c^2}} d\alpha\]

\[\phi x(t)=a e^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(\alpha-it\sigma^2)^2}{c^2}} d\alpha\]

Por sustitucion:

\[y=\alpha-it\sigma^2\] \[\frac{dy}{d\alpha}=1\]

\[\phi x(t)=a e^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{c^2}} dy\]

Por sustitucion:

\[\Phi=\frac{y}{c}\] \[\frac{d\Phi}{dy}=\frac{1}{c}\] \[c d\Phi=dy\]

\[\phi x(t)=ace^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\Phi^2dy}\] \[\phi x(t)=ace^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}} \sqrt{\pi} \]

Reemplazando:

\[\phi x(t)=e^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \sqrt{2} \sigma \sqrt{\pi} \]

\[\phi x(t)=e^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}} \]

18. La funcion Gamma esta dada por:

\[\Gamma (r)= \int_{0}^{\infty}x^{r-1} e^{-x} dx\]

Para r > 0. Compruebe que:

a. \[\Gamma (1) = 1\]

\[\Gamma (1)= \int_{0}^{\infty}x^{1-1} e^{-x} dx\] \[\Gamma (1)= \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx\] \[\Gamma (1)= e^{-x} |_{0}^{\infty} dx =1 \]

b. \[\Gamma (r) = (r-1)\Gamma (r-1)\]

\[u=x^{r-1}\] \[dv=e^{-x}dx\]
\[du=(r-1)x^{r-2}\] \[v=-e^{-x}\]

\[ -x^{r-1} e^{-x} |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (r-1) x^{r-2} e^{-x} dx \] \[ (r-1) \int_{0}^{\infty} x^{r-2} e^{-x} dx \] \[ (r-1)\Gamma (r-1)\]

c. \[\Gamma (r) = \int_{0}^{1} ln (\frac{1}{x})^{r-1}dx \]

\[\Gamma (r)= \int_{0}^{\infty}x^{r-1} e^{-x} dx= \int_{0}^{1} ln (\frac{1}{x})^{r-1}dx \]

\[u=e^{-x}\] \[du=-e^{-x}\]

Reemplazando:

\[ln(u)=-x\] \[du=e^{-x}dx\]

\[\Gamma (r)= \int_{0}^{1} Ln(u)^{r-1}du\] \[\Gamma (r)= \int_{0}^{1} Ln(\frac{1}{u})^{r-1}du\]

19.La distribución gamma está dada por:

\[f(x)=\frac{\lambda ^ r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}\]

Para:

\[(x\geqslant0)\]

Cuando r es un entero positivo se obtiene la distribución Erlang(r).

a.Compruebe que es una función de densidad de probabilidad.

\[f(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\]

\[\frac{\lambda ^{r}}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\]

Donde:

\[f(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx\]

Si

\[\mu=-\lambda x, x=-\frac{\mu}{\lambda}\] \[d\mu=\lambda dx, dx=\frac{d\mu}{\lambda}\] \[f(x)=\frac{\lambda ^r}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{\mu}{\lambda}\right)^{r-1}e^{\mu}\frac{d\mu}{\lambda}\]

Donde,

\[f(x)=\frac{1}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\mu^{r-1}e^{\mu}d\mu\] \[f(x)=\int_{0}^{\infty}\mu^{r-1}e^{\mu}d\mu=\Gamma(r)\]

Entonces

\[\frac{\Gamma(r)}{\Gamma(r)}=1\]

  1. Encuentre la función generadora de momentos.

\[Mx(t)-\int_{0}^{\infty}e^{-tx}f(x)\] \[\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{(t-\lambda)x}dx\] \[\mu=(\lambda-t)x=x=\frac{\mu}{\lambda-t}\] \[d\mu=(\lambda-t)dx=dx=\frac{d\mu}{\lambda-t}\] \[\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r-1}e^{-(\lambda-t)^x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}(\frac{\mu}{\lambda-t})^{r-1}e^{-\mu}\frac{d\mu}{\lambda-t}\] \[\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)(\lambda-t)^r}\int_{0}^{\infty}\mu^{r-1}e^{-\mu}=\frac{\lambda^{r}\gamma(r)}{\gamma(r)(\lambda-t)^r}\] \[Mx(t)=\frac{\lambda^{r}}{(\lambda-t)^r}\]

c.Halle la media y la varianza.

Media:

\[E(x)=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\] \[E(x)=\int_{0}^{\infty}x\frac{\lambda r}{\gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r}e^{-\lambda r}dx\] \[\mu=\lambda x\] \[d\mu=\lambda dx\] \[\frac{\lambda^r}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}(\frac{\mu}{\lambda})^{r}e^{-\mu}d\mu\]

Donde:

\[\int_{0}^{\infty}\mu^{r}e^{-\mu}d\mu=\gamma(r+1)\] \[\frac{\gamma(r+1)}{\lambda\gamma(r)}=\frac{r}{\lambda}\]

Varianza:

\[V(x)=E(x^{2})-E(x)^{2}\] \[E(x^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}x^{r+1}e^{-\lambda x}dx\] \[\frac{\lambda^{r}}{\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}(\frac{\mu}{\lambda})^{r+1}e^{-\mu}\frac{d\mu}{\lambda}=\frac{1}{\lambda^{2}\gamma(r)}\int_{0}^{\infty}\mu^{r+1}e^{-\mu}d\mu\]

Donde:

\[\int_{0}^{\infty}\mu^{r+1}e^{-\mu}d\mu=\gamma(r+2)\] \[=\frac{\gamma(r+2)}{\lambda^2 \gamma(r)}=\frac{(r+1)\gamma(r+1)}{\lambda^2 \gamma(r)}=\frac{(r+1)r\gamma(r)}{\lambda^{2}\gamma(r)}\] \[\frac{r(r+1)}{\lambda^{2}}\]

\[V(x)=\frac{r(r+1)}{\lambda^{2}}-\frac({r}{\lambda})^{2}=\frac{r^{2}+r-r^{2}}{\lambda^{2}}=\frac{x}{\lambda^{2}}\]