ESPECIALIZACIÓN EN DISEÑO DE REDES TELEMÁTICAS

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

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PRIMERA EVALUACIÓN DISTRIBUCIONES DISCRETAS

1. Las líneas telefónicas de una oficina estan ocupadas el 60% del tiempo. Si usted llama a esta oficina, ¿Cúal es la probabilidad de que le contesten en la:

(a) primera llamada?

probabilidad de contestar = prob1 = 40%

x1=1-1

x1=0
prob1=0.4
dgeom(x1,prob1)

## [1] 0.4

plot(table(dgeom(x1,prob1)), type = "p", col = "blue", lwd = 8,main = "primera llamada")

(b) segunda llamada?

probabilidad de contestar = prob1 = 40%

x2=2-1

x2=1
dgeom(x2,prob1)

## [1] 0.24

plot(table(dgeom(x2,prob1)), type = "p", col = "blue", lwd = 8,main = "segunda llamada")

(c) tercera llamada?

probabilidad de contestar = prob1 = 40%

x3=3-1

x3=2
dgeom(x3,prob1)

## [1] 0.144

plot(table(dgeom(x3,prob1)), type = "p", col = "blue", lwd = 8,main = "tercera llamada")

2. Una fuente me transmite paquetes de información con probabilidad 0.2 y a otros usuarios con probabilidad de 0.8. ¿Cúal es la probabilidad de que se necesiten:

(a) 5 intentos para recibir un paquete?

yo:

probabilidad de transmitirme paquetes = prob2 = 20%

x4=5-1

x4=4
prob2=0.2
dgeom (x4, prob2)

## [1] 0.08192

otros usuarios:

probabilidad de transmitir paquetes a otros usuarios = prob3 = 80%

x4=5-1

prob3=0.8
dgeom (x4, prob3)

## [1] 0.00128

(b) A lo más dos intentos para recibir el primer paquete?

yo:

probabilidad de transmitirme paquetes = prob2 = 20%

x2=2-1

pgeom (x2, prob2)

## [1] 0.36

3. Se transmite un mensaje con 20 paquetes en un canal que introduce errores con probabilidad 0.1 en los paquetes, ¿Cúal es la probabilidad de que en el mensaje vengan:

(a) todos los paquetes sin errores?

probabilidad de paquetes con errores = prob4 = 10%

sin errores x1=0

número de paquetes x4=20

prob4=0.1
x5=20
dbinom(x1,x5,prob4)

## [1] 0.1215767

plot(table(dbinom(x1,x5,prob4)), type = "h", col = "blue", lwd = 8,main = "todos los paquetes sin errores")

(b) A lo mas dos paquetes con errores?

probabilidad de paquetes con errores = prob4 = 10%

con 2 errores x3=2

número de paquetes x5=20

pbinom(x3,x5,prob4)

## [1] 0.6769268

plot(table(pbinom(x3,x5,prob4)), type = "h", col = "blue", lwd = 8,main = "A lo mas dos paquetes con errores")

(c) por lo menos 18 paquetes con errores?

probabilidad de paquetes con errores = prob4 = 10%

18 errores x5=17

número de paquetes x5=20

x6=17
1-pbinom(x6,x5,prob4)

## [1] 2.220446e-16

plot(table(1-pbinom(x6,x5,prob4)), type = "h", col = "blue", lwd = 8,main = "Por lo menos 18 paquetes con errores")

(d) Cúal es la media y la desviación estandar del número de paquetes con errores?

n=20
p=0.1

media:

media=n*p
media

## [1] 2

varianza:

varianza=n*p*(1-p)
varianza

## [1] 1.8

desviación estandar:

desv=sqrt(varianza)
desv

## [1] 1.341641

4. El 10% de las impresoras fabricadas en una línea de montaje tienen defectos. Si se prueban una tras otra, encuentre la probabilidad de encontrar la tercera impresora defectuosa en el:

(a) cuarto intento.

probabilidad de impresoras con defectos = prob4 = 10%

número de intentos=x4=4

tercera impresora defectuosa=x7=3

x7=3
dnbinom(x7,x4,prob4)

## [1] 0.001458

plot(table(dnbinom(x7,x4,prob4)), type = "h", col = "red", lwd = 8,main = "cuarto intento")

(a) quinto intento.

probabilidad de impresoras con defectos = prob4 = 10%

número de intentos=x8=5

tercera impresora defectuosa=x7=3

x8=5
dnbinom(x7,x8,prob4)

## [1] 0.00025515

plot(table(dnbinom(x7,x8,prob4)), type = "h", col = "red", lwd = 8,main = "quinto intento")

5. El número de llamadas que entran a la central de un edificio es, en promedio, de 4 por minuto. Calcule la probabilidad de que:

(a) no entren llamadas en un minuto.

4 llamadas por minuto = 4/1 = lambda

lambda1=4

número de llamadas=x1=0

lambda=4
dpois(x1,lambda)

## [1] 0.01831564

plot(table(dpois(x1,lambda)), type = "h", col = "orange", lwd = 8,main = "no entren llamadas en un minuto")

(b) entre al menos 1 llamada en 30 segundos.

1 llamada en 30 segundos = 30 seg tiene 2 llamadas=lambda

lambda1=2

al menos 1 llamada=x1=0

lambda1=2
1-ppois(x1,lambda1)

## [1] 0.8646647

plot(table(1-ppois(x1,lambda1)), type = "h", col = "orange", lwd = 8,main = "al menos 1 llamada en 30 segundos")

(c) entren dos llamadas en dos minutos.

2 llamada en 2 minuto = 2 min tiene 8 llamadas = lambda

lambda=8

2 llamada=x3=2

lambda2=8

lambda2=8
dpois(x3,lambda2)

## [1] 0.0107348

plot(table(dpois(x3,lambda2)), type = "h", col = "orange", lwd = 8,main = "2 llamadas en 2 minutos")

(d) Cual es la media y la desviacion estandar del número de llamadas que entran en una hora?

240 llamadas en 60 minutos

lambda=240

media:

media2=240
media2

## [1] 240

desviacion estandar:

desv2=sqrt(media2)
desv2

## [1] 15.49193

6. El número promedio de automóviles que llegan a un estacionamiento es de 4 por hora. El estacionamiento tiene lugar solo para 12 vehículos y está vacío al comienzo. Calcular la probabilidad de que:

(a) se llene en la primera hora.

12 automoviles x9=12

4 automoviles por hora lambda=4

x9=12
dpois(x9,lambda)

## [1] 0.0006415123

plot(table(dpois(x9,lambda)), type = "h", col = "green", lwd = 8,main = "Se llene a la primera hora")

(b) lleguen menos de 12 vehiculos en 8 horas.

menos de 12 automoviles x9=12

32 automoviles en 8 horas lambda3=32

lambda3=32
ppois(x9,lambda3)

## [1] 4.752428e-05

plot(table(ppois(x9,lambda3)), type = "h", col = "green", lwd = 8,main = "menos de 12 vehiculos en 8 horas")

7. Una industria tiene 10 clientes. La probabilidad de que un cliente llame a hacer un pedido en un día determinado es de 0.2. Hallar la probabilidad de que en un día determinado llamen:

(a) a lo más tres clientes.

a lo más 3 clientes x7=3

número de clientes x10=10

probabilidad de llamar prob2=0.2

x10=10
pnbinom(x7,x10,prob2)

## [1] 1.606042e-05

(b) más de tres clientes.

3 clientes x7=3

número de clientes x10=10

probabilidad de llamar prob2=0.2

pnbinom(x7,x10,prob2)

## [1] 1.606042e-05

(c) exactamente tres clientes.

3 clientes x7=3

número de clientes x10=10

probabilidad de llamar prob2=0.2

dnbinom(x7,x10,prob2)

## [1] 1.153434e-05

plot(table(pnbinom(x7,x10,prob2)), type = "p", col = "orange", lwd = 1,main = "mas de tres clientes")

plot(table(pnbinom(x7,x10,prob2)), type = "p", col = "blue", lwd = 1,main = "mas de tres clientes")

plot(table(dnbinom(x7,x10,prob2)), type = "p", col = "red", lwd = 1,main = "exactamente tres clientes")

8. Un aparato de radio tiene 1000 elementos electrónicos. La probabilidad de que un elemento no opere en un periodo de un anio es 0.001 y es independiente de la condicion de los otros elementos. ¿Cúal es la probabilidad de que al menos dos elementos no operen en un anio?

1000 elementos lambda4=0.001

2 elementos no operan x3=2

probabilidad de llamar prob2=0.2

lambda4=0.001
1-ppois(x3,lambda4)

## [1] 1.665418e-10

plot(table(1-ppois(x3,lambda4)), type = "h", col = "red", lwd = 10,main = "1-ppois(2,0.001)")

9. El número esperado de fallas en un aparato de radio durante 10000 horas de operaciún es de 10. ¿Cual es la probabilidad de que el aparato no tenga fallas en un periodo de 100 horas?

10 fallas en 10000 horas de operaciún lambda4=10/10000=0.001

0 fallas en 100 horas lambda5=0.1

0 elementos fallidos x1=0

lambda5=0.1
dpois(x1,lambda5)

## [1] 0.9048374

plot(table(dpois(x1,lambda5)), type = "h", col = "red", lwd = 10,main = "dpois(0, lambda = 0.1)")

11. Una operadora recibe un promedio de 60 llamadas por hora. Si la operadora sale por 30 segundos a servirse un café. ¿Cúal es la probabilidad de que no entren llamadas en ese lapso?

60 llamadas por hora

1 llamada por minuto

0 llamadas en 30 segundos

lambda6=0.5
dpois(0,lambda6)

## [1] 0.6065307

plot(table(dpois(0, 0.5)), type = "h", col = "red", lwd = 10,main = "dpois(0, lambda = 0.5)")

12. Sea X con función de distribución dada por:

f(x) = 1/n

para x = 1,2,...,n

(a) Hallar media, varianza y desviación estandar de X.

plot.new()
text(0.1,0.9,expression(E(x)==sum(X*p(X==x), X==1, n)))
text(0.1,0.7,expression(E(x)==sum(X*frac(1,n), X==1, n)))
text(0.1,0.5,expression(E(x)==frac(1,n)*sum(X, X==1, n)))
text(0.1,0.3,expression(E(x)==frac(1,n)(frac(n(n+1),2))))
text(0.1,0.1,expression(E(x)==frac(n+1,2)))
text(0.5,0.9,expression(V(x)==sum(X**2*p(X==x)-U[x]**2, X==1, n)))
text(0.5,0.7,expression(V(x)==sum(X**2*frac(1,n)-(frac(n(n+1),2))**2, X==1, n)))
text(0.5,0.5,expression(V(x)==sum(X**2*frac(1,n)-(frac(n**2+n,2))**2, X==1, n)))
text(0.5,0.3,expression(sqrt(V(x))==sqrt(sum(X**2*frac(1,n)-(frac(n**2+n,2))**2, X==1, n))))

(b) Encontrar la función generatriz de momentos.

plot.new()
text(0.1,0.7,expression(m[x]==sum(e**tx*p(X==x), X==1, n)))
text(0.1,0.5,expression(m[x]==sum(e**tx*frac(1,n), X==1, n)))
text(0.1,0.3,expression(m[x]==frac(1,n)*sum(e**tx, X==1, n)))

(c) Encontrar la funcion generadora de probabilidad.

plot.new()
text(0.1,0.7,expression(W(Z)==sum(z**x*p(X==x), X==1, n)))
text(0.1,0.5,expression(W(Z)==sum(z**x*frac(1,n), X==1, n)))
text(0.1,0.3,expression(W(Z)==frac(1,n)*sum(z**x, X==1, n)))

13. Compruebe que en una variable aleatoria binomial X, de parámetros n, p se tiene:

P(X=x+1) = p(n-x)/(x+1)q P(X=x)

Demostración:

P(X)=n!/(n-X)!X! p^x q^x (D.Binomial)

P(X=x+1)=n!/(n-(x+1))!(x+1)! p^((x+1)) q^(n-(x+1))

P(X=x+1)=n!/(n-(x+1))!(x+1)x! p^x pq^(n-x) q^(-1)

P(X=x+1)=((n-x))/((n-x) ) n!/(n-(x+1))!(x+1)x! p^x q^(n-x) pq^(-1)

P(X=x+1)=(n-x)p/q n!/((n-x)!(x+1)x!) p^x q^(n-x)

P(X=x+1)=p(n-x)/(x+1)q(n!/(n-x)!x! p^x q^(n-x))

P(X=x+1)=p(n-x)/(x+1)q P(X=x)

14. Compruebe que en una variable aleatoria de Poisson X, de parámetro λ se tiene:

P(X=x+1)=λ/(x+1) P(X=x)

Demostración:

P(X)=(λ^x e^(-λ))/X! (D Poisson)

P(X=x+1)=(λ^((x+1)) e^(-λ))/(x+1)!

P(X=x+1)=(λ^x λ^1 e^(-λ))/(x+1)x!

P(X=x+1)=λ/(x+1) P(X=x)

15. La transformada de Laplace para una distribución discreta no negativa está dada por:

Lx(s)=E(e^(-sX))=Σ_(x=0)^∞(e^(-sX)) P(X=x)

(a) Compruebe que:

E(X^k )=(-1)^k d^((k) )/(ds)^k L_x (s) ⌉_(k=0)

Demostración:

=(-1)^k d^((k) )/(ds)^k L_x (s) ⌉_(k=0)

=(-1)^k d^((k) )/(ds)^k [Σ_(x=0)^∞(e^(-sX)) P(X=x)] ⌉_(k=0)

=(-1)^k [Σ_(x=0)^∞(e^(-sX)) P(X=x)] ⌉_(k=0)

[Σ_(x=0)^∞((-1)^k (x^k e)^(-sX) P(X=x))] ⌉_(k=0)

=(-1)^2k [Σ_(x=0)^∞(x^k e)^(-sX) P(X=x)] ⌉_(k=0)

=[Σ_(x=0)^∞(x^k e)^(-sX) P(X=x)] ⌉_(k=0)

=Σ_(x=0)^∞(x^k P(X=x))=E(X^k )

Hallar la transformada de Laplace de la:

(b) Binomial

(L_X (s)=Σ_(x=0)^∞(e^(-sX) n!/(n-x)!x! p^x q^(n-x))

(c) Poisson

L_X (s)=Σ_(x=0)^∞ (e^(-sx (λ^x e^(-λ))/x!))