Introdução
Pêndulo simples
O sistema composto por uma partícula de massa m, suspensa por um fio inelástico, sem massa e de comprimento l, oscilando em torno de uma posição de equilíbrio, pela ação da força da gravidade, é chamado de pêndulo simples e é um exemplo idealizado de oscilador harmônico. O seu período de oscilação é dado, para pequenos ângulos de oscilação, por
\[ \begin{equation} T = 2\pi \sqrt {\frac{l} {g}} \tag{1} \end{equation} \]
onde g é a aceleração da gravidade. Note que, nesse modelo, o período de oscilação não depende das massas e propriedades específicas da partícula ou do fio. O modelo de pêndulo simples, embora muito útil, nem sempre é uma boa aproximação para pêndulos reais. Neste experimento, são estudados dois tipos de pêndulos que não podem ser tratados como pêndulos simples: o pêndulo composto e o pêndulo de torção. O experimento se divide em duas partes. Cada parte do experimento será realizada em uma aula.
Pêndulo composto
Um pêndulo composto, ou pêndulo físico, é um sistema em que um corpo rígido oscila em torno de um eixo fixo, pela ação da força gravitacional. Na Fig. 1 é representado o pêndulo composto que você usará neste experimento, juntamente com o foto-gate e cronômetro inteligente usados na determinação do período do movimento. O pêndulo é constituído por uma barra rígida e homogênea de alumínio, na extremidade da qual é presa uma placa retangular de ferro. O período de oscilação do pêndulo, T, para pequenos ângulos de oscilação, é dado por
\[ \begin{equation} T = 2\pi \sqrt{\frac{I_0} {M g D}} \tag{2} \end{equation} \]
onde \(I_0\) é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão, \(M\) é a massa do pêndulo e \(D\) a distância entre o centro de massa (CM) do sistema e o ponto de suspensão. Utilizando o teorema dos eixos paralelos de modo a relacionar \(I_0\) com o momento de inércia em relação ao centro de massa, \(I_{CM}\), e lembrando que \(I_{CM} = M k^2\), sendo \(k\) o raio de giração, deduz-se que
\[ \begin{equation} T = 2\pi \sqrt{\frac{D + k^2 / D} {g}} \tag{3} \end{equation} \]
Pêndulo de torção
Um sistema composto por um corpo rígido suspenso por um fio e capaz de oscilar em torno de um eixo comum com o fio é o que se denomina de pêndulo de torção. A Figura 2 mostra esquematicamente o pêndulo de torção do curso F-229. Quando o pêndulo oscila em torno do eixo z, a haste (pequeno retângulo de alumínio preso ao corpo do pêndulo) periodicamente interrompe o feixe infravermelho do foto-gate possibilitando a medida do período de oscilação pelo cronômetro inteligente. A função das haste compensadora é evitar que simetria do corpo suspenso seja alterada, mantendo o centro de gravidade no eixo z.
Dando-se uma torção no corpo de um ângulo \(\theta\), o fio irá apresentar um torque de oposição,\(\tau\), proporcional a \(\theta\), definido pela relação \(\tau = -k \theta\), sendo \(k\) uma constante própria do fio, denominada de coeficiente de restituição. Como o torque é sempre de oposição ao deslocamento angular, se ao corpo for dado um deslocamento inicial, \(\theta_0\), e depois abandonado, ele irá oscilar com um período \(T\), dado pela equação
\[ \begin{equation} T = 2 \pi \sqrt{\frac {I_0}{k}} \tag{4} \end{equation} \]
onde I0 é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo colinear com o fio. Um pêndulo de torção é útil para determinar momentos de inércia de objetos de forma complexa – uma roda de engrenagem, ou uma hélice de avião – por exemplo. O pêndulo é também é útil para se determinar o módulo de cisalhamento do material do fio (ver abaixo), conhecendo-se o momento de inércia do corpo.
O coeficiente de restituição é uma grandeza extrínseca, ou seja, depende das dimensões do fio (comprimento e diâmetro). Entretanto, o seu conhecimento pode levar à uma grandeza intrínseca, própria do material do fio, denominada de módulo de cisalhamento, G. Demonstra-se que a relação entre \(G\) e \(k\) é dada por
\[ \begin{equation} G = \frac {2 L k} {\pi r^4} \tag{5} \end{equation} \]
sendo \(L\) e \(r\) o comprimento e o raio do fio, respectivamente. A partir das Equações (4) e (5) é fácil mostrar (demonstre!) que
\[ \begin{equation} T = \sqrt{\frac {8 \pi I_0 L} {G r^4}} \tag{6} \end{equation} \]
Objetivos
Investigar o movimento de pêndulos que não podem ser considerados ideais.
Determinar o raio de giração e momento de inércia do pêndulo composto em relação ao centro de massa.
Determinar o módulo de cisalhamento do fio do pêndulo de torção a partir da Eq. (6).
Experimento
Parte A - Pêndulo composto
Material
Pêndulo composto, eixo de suspensão, régua de 1 m, balança de precisão, cronômetro inteligente com foto-gate.
Procedimento
Consiste em tomar medidas de \(T\) em função de \(D\).
Recomendações (1) Para encontrar os vários valores de \(D\), é preciso que você determine, com a maior precisão possível, a posição do CM do pêndulo, \(x_{CM}\), em relação a uma origem qualquer, usando a equação \(x_{CM} = (m_1x_1 + m_2x_2)/(m_1 + m_2)\) onde \(x_1\) e \(x_2\) são as distâncias dos CM da barra de alumínio e da placa à origem, e \(m_1\) e \(m_2\) as respectivas massas. (2) Procure realizar o experimento mantendo o ângulo de lançamento (valor máximo do ângulo de oscilação, \(\theta\), sempre pequeno (não muito maior que uns 15\(^o\)), de modo que não sejam necessárias correções na Eqs. (2) e (3). (3). Para medir \(T\), o foto-gate deve ser ajustado de modo que (1) seu feixe infravermelho seja perpendicular ao plano da trajetória do pêndulo e, (2) que o pêndulo possa interromper o feixe em um determinado ângulo de sua trajetória (\(\theta = 0\), por exemplo). (4) Faça medidas de \(T\) para todos os furos no intervalo entre o mais afastado e o mais próximo do centro de massa. Para cada furo tome várias medidas de \(T\) e tire a média.
Parte B - Pêndulo de torção
Material
Pêndulo de torção com fio metálico, régua de 1 m, paquímetro, micrômetro, foto-gate da PASCO e cronômetro inteligente.
Procedimento
Monte o pêndulo e ajuste o foto-gate como indicado pela Figura 2. Faça medidas de \(T\) para vários comprimentos do fio. Uma etapa importante neste experimento é determinar o momento de inércia do corpo. Meça as dimensões do corpo do pêndulo usando umpaquímetro. NÃO É PRECISO PESAR O CORPO DO PÊNDULO – O VALOR DA MASSA SERÁ DADO NA AULA. É importante lembrar que o momento de inércia do cilindro de latão (ver Figura 2) é muito maior que o das hastes. Assim, estas últimas não devem ser levadas em consideração, pois não interferem significativamente com o movimento do pêndulo. Meça o diâmetro do fio, necessário para o cálculo de \(G\), com um micrômetro.
Observação importante: Diferentemente do pêndulo simples e do pêndulo composto, o movimento do pêndulo de torção é harmônico simples para qualquer ângulo de torção inicial, exceto, é claro, de ângulos que possam produzir deformações permanentes no fio e alterem suas propriedades elásticas.
Bibliografia
M. Alonso e E.J. Finn, Física - Um Curso Universitário, Vol. 1, seções 12.5 e 12.6. C. Kittel, Curso de Física de Berkeley – Mecânica, Vol. 1, cap. 8. (Biblioteca IFGW no. 531.K652.m). D. Halliday, R. Resnick, Fundamentos de Física, Vol. 2, cap. 14.6. P. Lucie, Física Básica, Vol. 2, pp. 166-167. Handbook of Physics (Statics of Elastic Bodies), pp.3-75 à 3-77. C.J. Smithels, Metals Reference Book, Vol. 3, 4a. Ed., Butterworths, London, 1967, pp. 775-776 e 708-711. Leitura suplementar: K. Laws, The Physics of Dance, Physics Today, Vol. 38, p. 24 (1985).