Dados de temperatura

temperatura_agua <- mean(23, 23) #°C
temperatura_oleo <- mean(23, 23) #°C

Dados do picnômetro

load("agua.rda")

massa_picnometro_agua_vazio <- 15.170 / 1000 # kg
massa_picnometro_agua <- 40.111 / 1000 # kg

massa_picnometro_oleo_vazio <- 15.345 / 1000 # kg
massa_picnometro_oleo <- 37.540 / 1000# kg
capac_picnometro <- 25 / 1000000 # m3

# calcular massa dos fluidos
massa_agua <- massa_picnometro_agua - massa_picnometro_agua_vazio
massa_oleo <- massa_picnometro_oleo - massa_picnometro_oleo_vazio

# calcular densidade dos fluidos
densidade_agua <- massa_agua/capac_picnometro
densidade_oleo <- massa_oleo/capac_picnometro
# outros dados gerais
massa_bequer_vazio <- 16.596 / 1000 # kg
volume_limite <- 40 #mL
comp_capilar <- 77 / 100 #m

Analise resultados da agua

# Dados da agua
# transformar tudo para o SI
agua$altura <-  agua$altura / 100
agua$massa <- agua$massa / 1000
agua$massa <- agua$massa - massa_bequer_vazio
# exibir dados
k(agua)
medicao altura tempo massa
1,1 0,088 37,10 0,040133
1,2 0,088 37,11 0,039052
2,1 0,134 28,30 0,040900
2,2 0,134 27,71 0,041016
3,1 0,185 22,70 0,043610
3,2 0,185 22,41 0,040929
3,3 0,185 23,83 0,042732
4,1 0,238 18,30 0,040321
4,2 0,238 19,13 0,041844
5,1 0,283 16,51 0,041078
5,2 0,283 16,56 0,042029
6,1 0,334 14,06 0,041642
6,2 0,334 14,08 0,040389
7,1 0,378 11,52 0,036924
7,2 0,378 13,28 0,042571
7,3 0,378 12,65 0,040062
7,4 0,378 12,13 0,038137
8,1 0,434 11,09 0,039332
8,2 0,434 11,35 0,039660
9,1 0,488 10,53 0,040852
9,2 0,488 10,41 0,040578
10,1 0,570 8,68 0,038551
10,2 0,570 9,31 0,040446
10,3 0,570 8,95 0,039844 
# agrupar dados por altura
agua_agregado <- agua %>%
  group_by(altura) %>%
  summarise(tempo_medio = mean(tempo) %>% round(2),
            massa_media = mean(massa) %>% round(6))

k(agua_agregado)
altura tempo_medio massa_media
0,088 37,11 0,039592
0,134 28,01 0,040958
0,185 22,98 0,042424
0,238 18,71 0,041082
0,283 16,54 0,041553
0,334 14,07 0,041016
0,378 12,39 0,039424
0,434 11,22 0,039496
0,488 10,47 0,040715
0,570 8,98 0,039614 
# criar variaveis de vazao massica e vazao volumetrica
agua_agregado$vazao_massica <- agua_agregado$massa_media / agua_agregado$tempo_medio # unidade: kg/s, simbolo: w
agua_agregado$vazao_volumetrica <- agua_agregado$vazao_massica / densidade_agua  
# calculo da pressao
agua_agregado$dif_pressao <- 9.81 * densidade_agua * agua_agregado$altura 

k(agua_agregado)
altura tempo_medio massa_media vazao_massica vazao_volumetrica dif_pressao
0,088 37,11 0,039592 0,0010669 1,1e-06 861,2427
0,134 28,01 0,040958 0,0014623 1,5e-06 1.311,4377
0,185 22,98 0,042424 0,0018461 1,9e-06 1.810,5670
0,238 18,71 0,041082 0,0021957 2,2e-06 2.329,2699
0,283 16,54 0,041553 0,0025123 2,5e-06 2.769,6781
0,334 14,07 0,041016 0,0029151 2,9e-06 3.268,8074
0,378 12,39 0,039424 0,0031819 3,2e-06 3.699,4287
0,434 11,22 0,039496 0,0035201 3,5e-06 4.247,4922
0,488 10,47 0,040715 0,0038887 3,9e-06 4.775,9820
0,570 8,98 0,039614 0,0044114 4,4e-06 5.578,5036

Determinação da viscosidade dinâmica da água

# na tabela do çengel, não tem valor de viscosidade dinâmica para 23°C, por isso precisamos interpolar
t = c(20, 25)
u = c(1.002/1000, 0.891/1000)
u_interp = (((u[2] - u[1]) * (23 - t[1]))/(t[2] - t[1])) + u[1] # vazao massica calculada = 0,891 x 10^3
u_interp
## [1] 0.0009354
# para achar R, vamos fazer um gráfico da vazao massica versus DELTA P (diferença de temperatura)
ggplot(agua_agregado, aes(x = dif_pressao, y = vazao_massica)) +
  geom_point() + geom_smooth(method = "lm") +
  meu_tema() +
  labs(x = "Diferença de Pressão (Pa)", y = "Vazão mássica (kg)") +
  annotate("text", x = 1500, y = 0.0035, parse = TRUE, size = 3, hjust = 0.25,
           label = lm.equation(lm(vazao_massica ~ dif_pressao, data = agua_agregado),
                               digits = 10, digitsR2 = 4))

ggsave(filename = "agua-pressao x vazao.png")

A inclinação da reta corresponde ao coeficiente da a na equação y = ax + b. Para achar esse valor, é feita uma regressão linear:

reg_linear <- lm(vazao_massica ~ dif_pressao, data = agua_agregado)
reg_linear$coefficients
##  (Intercept)  dif_pressao 
## 5.447046e-04 7.031589e-07
tangente <- unname(reg_linear$coefficients[2])
# agora já podemos achar o R
R_numerador <- 8 * u_interp * comp_capilar * tangente
R_denominador <- pi * densidade_agua
R <- (R_numerador / R_denominador)^(1/4) # achamos o R: 0,001066294 m
R
## [1] 0.001066294
# calcular tensão de cisalhamento
agua_agregado$tensao_cisalhamento <- agua_agregado$dif_pressao * R/(2 * comp_capilar)
# calcular taxa de cisalhamento
agua_agregado %<>% mutate(taxa_cisalhamento = (4 * vazao_volumetrica) / (R^3 * pi))

k(agua_agregado)
altura tempo_medio massa_media vazao_massica vazao_volumetrica dif_pressao tensao_cisalhamento taxa_cisalhamento
0,088 37,11 0,039592 0,0010669 1,1e-06 861,2427 0,5963233 1.123,109
0,134 28,01 0,040958 0,0014623 1,5e-06 1.311,4377 0,9080377 1.539,327
0,185 22,98 0,042424 0,0018461 1,9e-06 1.810,5670 1,2536342 1.943,421
0,238 18,71 0,041082 0,0021957 2,2e-06 2.329,2699 1,6127834 2.311,443
0,283 16,54 0,041553 0,0025123 2,5e-06 2.769,6781 1,9177215 2.644,675
0,334 14,07 0,041016 0,0029151 2,9e-06 3.268,8074 2,2633179 3.068,772
0,378 12,39 0,039424 0,0031819 3,2e-06 3.699,4287 2,5614796 3.349,614
0,434 11,22 0,039496 0,0035201 3,5e-06 4.247,4922 2,9409580 3.705,661
0,488 10,47 0,040715 0,0038887 3,9e-06 4.775,9820 3,3068837 4.093,673
0,570 8,98 0,039614 0,0044114 4,4e-06 5.578,5036 3,8625486 4.643,845 
# gráfico da tensao de cisalhamento vs taxa de cisalhamento
ggplot(agua_agregado, aes(y = tensao_cisalhamento, x = taxa_cisalhamento)) +
  geom_point() + geom_smooth(method = "lm") +
  meu_tema() +
  labs(x = "Taxa de Cisalhamento (1/s)", y = "Tensão de cisalhamento (kg/(m x s²))") +
  annotate("text", x = 1500, y = 3.5, parse = TRUE, size = 3, hjust = 0.25,
           label = lm.equation(lm(tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento,
                                  data = agua_agregado),
                               digits = 9, digitsR2 = 4))

ggsave("agua-taxa vs tensao.png")
# existe um relacionamento linear, portanto é possível calcular a viscosidade do fluid
reg_linear <- lm(tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento, data = agua_agregado)

reg_linear
## 
## Call:
## lm(formula = tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento, data = agua_agregado)
## 
## Coefficients:
##       (Intercept)  taxa_cisalhamento  
##        -0.5317456          0.0009338
u_calculada_agua <- unname(reg_linear$coefficients[2])
# calcular o erro
abs(u_calculada_agua - u_interp)
## [1] 1.626671e-06
abs((u_calculada_agua - u_interp)/u_interp)*100
## [1] 0.1739011
# cálculo da velocidade média
agua_agregado %<>% mutate(velocidade_media = dif_pressao * R^2/(8 * u_calculada_agua * comp_capilar))

Perfil do escoamento

Para analisar o perfil do escoamento no experimento da água e do óleo, o número de Reynolds foi calculado para cada uma das alturas.

agua_agregado %<>% mutate(reynolds = densidade_agua * velocidade_media * R * 2/u_calculada_agua)
agua_agregado$reynolds
##  [1]  387.8793  590.6344  815.4281 1049.0372 1247.3846 1472.1783 1666.1180
##  [8] 1912.9502 2150.9671 2512.4001
k(agua_agregado)
altura tempo_medio massa_media vazao_massica vazao_volumetrica dif_pressao tensao_cisalhamento taxa_cisalhamento velocidade_media reynolds
0,088 37,11 0,039592 0,0010669 1,1e-06 861,2427 0,5963233 1.123,109 0,1702383 387,8793
0,134 28,01 0,040958 0,0014623 1,5e-06 1.311,4377 0,9080377 1.539,327 0,2592265 590,6344
0,185 22,98 0,042424 0,0018461 1,9e-06 1.810,5670 1,2536342 1.943,421 0,3578873 815,4281
0,238 18,71 0,041082 0,0021957 2,2e-06 2.329,2699 1,6127834 2.311,443 0,4604172 1.049,0372
0,283 16,54 0,041553 0,0025123 2,5e-06 2.769,6781 1,9177215 2.644,675 0,5474709 1.247,3846
0,334 14,07 0,041016 0,0029151 2,9e-06 3.268,8074 2,2633179 3.068,772 0,6461317 1.472,1783
0,378 12,39 0,039424 0,0031819 3,2e-06 3.699,4287 2,5614796 3.349,614 0,7312509 1.666,1180
0,434 11,22 0,039496 0,0035201 3,5e-06 4.247,4922 2,9409580 3.705,661 0,8395843 1.912,9502
0,488 10,47 0,040715 0,0038887 3,9e-06 4.775,9820 3,3068837 4.093,673 0,9440488 2.150,9671
0,570 8,98 0,039614 0,0044114 4,4e-06 5.578,5036 3,8625486 4.643,845 1,1026799 2.512,4001 
# os dois últimos valores deram > 2100. precisamos então desconsiderá-los e recalcular
# a viscosidade dinâmica da água
agua_agregado <- subset(agua_agregado, reynolds < 2100)

# gráfico da tensao de cisalhamento vs taxa de cisalhamento
ggplot(agua_agregado, aes(y = tensao_cisalhamento, x = taxa_cisalhamento)) +
  geom_point() + geom_smooth(method = "lm") +
  meu_tema() +
  labs(x = "Taxa de Cisalhamento (1/s)", y = "Tensão de cisalhamento (kg/(m x s²))") +
  annotate("text", x = 1500, y = 3.5, parse = TRUE, size = 3, hjust = 0.25,
           label = lm.equation(lm(tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento,
                                  data = agua_agregado),
                               digits = 9, digitsR2 = 4))

ggsave("agua-taxa vs tensao.png")

# refazer regressao
reg_linear <- lm(tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento, data = agua_agregado)
reg_linear
## 
## Call:
## lm(formula = tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento, data = agua_agregado)
## 
## Coefficients:
##       (Intercept)  taxa_cisalhamento  
##        -0.4746885          0.0009068
u_calculada_agua2 <- unname(reg_linear$coefficients[2])
# calcular o erro
abs(u_calculada_agua2 - u_interp)
## [1] 2.857565e-05
abs((u_calculada_agua2 - u_interp)/u_interp)*100
## [1] 3.054913

Dados do óleo

# transformar tudo para o SI
oleo$altura <- oleo$altura / 100
oleo$massa <- oleo$massa / 1000
# calcular a massa real do oleo
oleo$massa <- oleo$massa - massa_bequer_vazio

k(oleo)
medicao altura tempo massa
1,1 0,088 277,77 0,012064
1,2 0,088 295,53 0,013959
2,1 0,134 151,80 0,012218
2,2 0,134 165,32 0,013106
3,1 0,185 118,37 0,010111
3,2 0,185 110,74 0,013130
4,1 0,238 90,14 0,013736
4,2 0,238 85,12 0,012817
5,1 0,283 74,80 0,013218
5,2 0,283 75,27 0,013630
6,1 0,334 59,33 0,012789
6,2 0,334 60,04 0,012796
7,1 0,378 51,67 0,012895
7,2 0,378 53,32 0,013654
8,1 0,434 44,64 0,012849
8,2 0,434 45,45 0,013329
9,1 0,488 43,44 0,014174
9,2 0,488 42,72 0,014076
10,1 0,570 37,42 0,013928
10,2 0,570 36,58 0,014026 
### fazer gráfico de pontos com media, minimo e maximo de cada medição
oleo_agregado <- oleo %>%
  group_by(altura) %>%
  summarise(tempo_medio = mean(tempo) %>% round(2),
            massa_media = mean(massa) %>% round(6))

k(oleo_agregado)
altura tempo_medio massa_media
0,088 286,65 0,013012
0,134 158,56 0,012662
0,185 114,56 0,011620
0,238 87,63 0,013277
0,283 75,03 0,013424
0,334 59,69 0,012792
0,378 52,50 0,013274
0,434 45,05 0,013089
0,488 43,08 0,014125
0,570 37,00 0,013977 
# criar variáveis de vazão mássica e vazão volumétrica
oleo_agregado$vazao_massica <- oleo_agregado$massa_media / oleo_agregado$tempo_medio # unidade: kg/s, simbolo: w
oleo_agregado$vazao_volumetrica <- oleo_agregado$vazao_massica / densidade_oleo  
# cálculo da pressão
oleo_agregado$dif_pressao <- 9.81 * densidade_oleo * oleo_agregado$altura 
k(oleo_agregado)
altura tempo_medio massa_media vazao_massica vazao_volumetrica dif_pressao
0,088 286,65 0,013012 0,0000454 1e-07 766,420
0,134 158,56 0,012662 0,0000799 1e-07 1.167,049
0,185 114,56 0,011620 0,0001014 1e-07 1.611,224
0,238 87,63 0,013277 0,0001515 2e-07 2.072,818
0,283 75,03 0,013424 0,0001789 2e-07 2.464,737
0,334 59,69 0,012792 0,0002143 2e-07 2.908,912
0,378 52,50 0,013274 0,0002528 3e-07 3.292,122
0,434 45,05 0,013089 0,0002905 3e-07 3.779,844
0,488 43,08 0,014125 0,0003279 4e-07 4.250,147
0,570 37,00 0,013977 0,0003778 4e-07 4.964,311 
# Como o óleo é de natureza desconhecida, ele não tem valor tabela de viscosidade dinâmica
# O R JÁ FOI ENCONTRADO NA PARTE SOBRE A ÁGUA
R
## [1] 0.001066294
# calcular tensão de cisalhamento
oleo_agregado$tensao_cisalhamento <- oleo_agregado$dif_pressao * R/(2 * comp_capilar)
# calcular taxa de cisalhamento
oleo_agregado %<>% mutate(taxa_cisalhamento = (4 * vazao_volumetrica) / (R^3 * pi))
k(oleo_agregado, d = 10)
altura tempo_medio massa_media vazao_massica vazao_volumetrica dif_pressao tensao_cisalhamento taxa_cisalhamento
0,088 286,65 0,013012 0,0000453933 5,110e-08 766,420 0,5306682 53,69776
0,134 158,56 0,012662 0,0000798562 8,990e-08 1.167,049 0,8080629 94,46540
0,185 114,56 0,011620 0,0001014316 1,143e-07 1.611,224 1,1156093 119,98784
0,238 87,63 0,013277 0,0001515120 1,707e-07 2.072,818 1,4352163 179,23022
0,283 75,03 0,013424 0,0001789151 2,015e-07 2.464,737 1,7065807 211,64650
0,334 59,69 0,012792 0,0002143073 2,414e-07 2.908,912 2,0141270 253,51343
0,378 52,50 0,013274 0,0002528381 2,848e-07 3.292,122 2,2794611 299,09325
0,434 45,05 0,013089 0,0002905438 3,273e-07 3.779,844 2,6171590 343,69702
0,488 43,08 0,014125 0,0003278784 3,693e-07 4.250,147 2,9427963 387,86167
0,570 37,00 0,013977 0,0003777568 4,255e-07 4.964,311 3,4372826 446,86500 
# gráfico da tensao de cisalhamento vs taxa de cisalhamento
ggplot(oleo_agregado, aes(x = taxa_cisalhamento, y = tensao_cisalhamento)) +
  geom_point() + geom_smooth(method = "lm") +
  meu_tema() +
  labs(x = "Taxa de Cisalhamento (1/s)", y = "Tensão de cisalhamento (kg/(m x s²))") +
  annotate("text", x = 100, y = 3, parse = TRUE, size = 3, hjust = 0.25,
           label = lm.equation(lm(tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento,
                                  data = oleo_agregado),
                               digits = 9, digitsR2 = 4))

ggsave("oleo-taxa vs tensao.png")
# existe um relacionamento linear, portanto é possível calcular a viscosidade do fluid
reg_linear <- lm(tensao_cisalhamento ~ taxa_cisalhamento, data = oleo_agregado)
reg_linear$coefficients
##       (Intercept) taxa_cisalhamento 
##       0.160866417       0.007229238
u_calculada_oleo <- unname(reg_linear$coefficients[2])
u_calculada_oleo
## [1] 0.007229238
# cálculo da velocidade média
oleo_agregado %<>% mutate(velocidade_media = dif_pressao * R^2/(8 * u_calculada_oleo * comp_capilar))

# diferença entre óleo e água
u_calculada_oleo/u_calculada_agua # o óleo é quase 8 vezes mais viscoso que a água
## [1] 7.741963
# salvar arquivo
write.csv2(oleo_agregado, "oleo_agg.csv")

Perfil do escoamento

oleo_agregado %<>% mutate(reynolds = densidade_oleo * velocidade_media * R * 2/u_calculada_oleo)
k(oleo_agregado)
altura tempo_medio massa_media vazao_massica vazao_volumetrica dif_pressao tensao_cisalhamento taxa_cisalhamento velocidade_media reynolds
0,088 286,65 0,013012 0,0000454 1e-07 766,420 0,5306682 53,69776 0,0195680 5,124802
0,134 158,56 0,012662 0,0000799 1e-07 1.167,049 0,8080629 94,46540 0,0297968 7,803675
0,185 114,56 0,011620 0,0001014 1e-07 1.611,224 1,1156093 119,98784 0,0411374 10,773731
0,238 87,63 0,013277 0,0001515 2e-07 2.072,818 1,4352163 179,23022 0,0529227 13,860259
0,283 75,03 0,013424 0,0001789 2e-07 2.464,737 1,7065807 211,64650 0,0629291 16,480896
0,334 59,69 0,012792 0,0002143 2e-07 2.908,912 2,0141270 253,51343 0,0742696 19,450951
0,378 52,50 0,013274 0,0002528 3e-07 3.292,122 2,2794611 299,09325 0,0840537 22,013352
0,434 45,05 0,013089 0,0002905 3e-07 3.779,844 2,6171590 343,69702 0,0965061 25,274590
0,488 43,08 0,014125 0,0003279 4e-07 4.250,147 2,9427963 387,86167 0,1085137 28,419354
0,570 37,00 0,013977 0,0003778 4e-07 4.964,311 3,4372826 446,86500 0,1267476 33,194738