1. グラフの描画

スライド11ページのグラフは次のように描いています。

library(ggplot2)

data <- data.frame(Quality=c(10,9,10,8,9,10,6,10,10,9))
ggplot(data, aes(x=Quality)) + geom_bar(width=.5) + theme(axis.text=element_text(size=28), axis.title=element_text(size=24,face="bold")) + scale_x_continuous(breaks=0:10, lim=c(0,10.1))

2. 二項分布かどうか調べる

スライド中ではデータが二項分布に従うかどうかを調べるために、コルモゴロフ・スミノフ検定を行っていますが、実際は検定のみに頼るのではなく、グラフを描くことをお勧めします。

まずは分布の形を比べてみます。

size = 10
prob <- mean(data$Quality) / size
b <- rbinom(10000, size=size, prob=prob)
data2 <- rbind(cbind(data, Type="Real"), data.frame(Quality=b, Type="Binom"))
ggplot(data2, aes(x=Quality, y=..density.., fill=Type)) + geom_bar(position="dodge") + scale_x_continuous(lim=c(0,10.1), breaks=0:10)

次に、経験分布関数を描いてみます。

ggplot(data2, aes(x=Quality, color=Type)) + stat_ecdf(size=2)

Q-Q plot も描いてみましょう。

library(lattice)
qqmath(~Quality, data=data, distribution=function(p) qbinom(p, size=size, prob=prob), pch=19, cex=2, panel=function(x, ...) {panel.qqmathline(x, lwd=3, col=2, ...);panel.qqmath(x, ...)}, xlim=c(5.7,10.3), xlab="Binomial dist.")

こうやってグラフ化することで、二項分布にあてはまりそうにないことがはっきりと視覚化されます。
また、「6 は異常値なのでは？」などという議論もこれらのグラフから行うことができるでしょう。

3. チェビシェフの不等式の証明

ここでは、離散分布に対して証明してみましょう。

確率変数 \(X\) に対して、\(P(X = x_k) = p_k\) と表すことにすると、分散 \(\sigma^2\) に対して次が成り立ちます。

\[ \begin{eqnarray} \sigma^2 &=& E[(X - \mu)^2] \\ &=& \sum_k (x_k - \mu)^2 p_k \\ &=& \sum_{|x_k-\mu| < k\sigma} (x_k - \mu)^2 p_k + \sum_{|x_k-\mu| \geq k\sigma} (x_k - \mu)^2 p_k \\ &\geq& \sum_{|x_k-\mu| \geq k\sigma} (x_k - \mu)^2 p_k \\ &=& \sum_{|x_k-\mu| \geq k\sigma} |x_k - \mu|^2 p_k \\ &\geq& \sum_{|x_k-\mu| \geq k\sigma} k^2 \sigma^2 p_k \\ &=& k^2 \sigma^2 \sum_{|x_k-\mu| \geq k\sigma} p_k \\ &=& k^2 \sigma^2 P(|X-\mu| \geq k \sigma) \end{eqnarray} \]

すなわち、

\[\sigma^2 \geq k^2 \sigma^2 P(|X-\mu| \geq k \sigma)\]

が言えたので、これにより

\[P(|X-\mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]

が成り立ちます。