\(\Ejercicio {1}\) Resolver \(\int xsin(x^2)dx\)
\[ Solución \] Hacemos el cambio \(u=x^2\), \(du=2xdx\), \(\dfrac{du}{2}=xdx\). Luego \[\begin{eqnarray*} \int xsin(x^2)dx&=& \dfrac{1}{2}\int sin(u)du.\hspace{2mm}\mbox{Aplicando el cambio de variable.}\\ &=&-\dfrac{1}{2}cos(u) +C. \hspace{2mm}\mbox{Realizando la integración.}\\ &=&-\dfrac{1}{2}cos(x^2)+C . \hspace{2mm}\mbox{Devolviendo el cambio.} \end{eqnarray*}\]
Podemos verificar el resultado usando algún software, en este caso usaremos R el cual puede obtener de manera gratuita solo tiene que acceder al sitio oficial googleando r project,\ Vamos a derivar el resultado para ver si coincide con el integrando
s <- expression( -cos(x^2)/2 )
D(s,"x")## sin(x^2) * (2 * x)/2\(\Ejercicio {2}\) Resolver \(\int Sin^3(2x)cos(2x)dx\) \[ Solución \] Hacemos el cambio \[\begin{eqnarray*} u&=& sin(2x)\\ du&=& cos(2x)(2x)^{'}dx. \hspace{2mm}\mbox{Aplicando regla de la cadena}\\ &=& 2cos(2x)dx.\\ \frac{du}{2}&=& cos(2x)dx. \hspace{2mm}\mbox{Despejando} \end{eqnarray*}\]
Luego \(4 \begin{eqnarray*} \int Sin^3(2x)cos(2x)dx&=&\frac{1}{2} \int u^3du.\hspace{2mm}\mbox{Aplicando el cambio de variable.}\\ &=&\frac{1}{2}\frac{u^4}{4}+C. \hspace{2mm}\mbox{Realizando la integración.}\\ &=&\frac{u^4}{8}+C.\\ &=&\frac{sin^4(2x)}{8}+C . \hspace{2mm}\mbox{Devolviendo el cambio.} \end{eqnarray*}\)$
r <- expression((sin(2*x))^4 /8 )
D(r,"x")## 4 * (cos(2 * x) * 2 * (sin(2 * x))^3)/8\(\Ejercicio {3}\) Resolver \(\displaystyle{\int { \frac { xsin(\sqrt { { x }^{ 2 }+4 } ) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 } } } }dx\) \[ Solución \] Hacemos el cambio \[\begin{eqnarray*} u&=& \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }\\ du&=& \frac { 1 }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }+4 } } ({ { x }^{ 2 }+4 } )^{'} dx. \hspace{2mm}\mbox{Aplicando regla de la cadena}\\ &=& 2x \frac { 1 }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }+4 } }dx .\\ du&=&\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 } }dx. \hspace{2mm}\mbox{Cancelando los 2} \end{eqnarray*}\] Luego \[\begin{eqnarray*} \displaystyle{\int { \frac { xsin(\sqrt { { x }^{ 2 }+4 } ) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 } } } }dx&=& \int sin(u)du.\hspace{2mm}\mbox{Aplicando el cambio de variable.}\\ &=&-cos(u)+C. \hspace{2mm}\mbox{Realizando la integración.}\\ &=&-cos(\sqrt { { x }^{ 2 }+4 })+C. \hspace{2mm}\mbox{Devolviendo el cambio.} \end{eqnarray*}\] \(\Ejercicio {4}\) Resolver \(\displaystyle{\int { \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { { x }^{ 3 }+3x } } } dx}\) \[Solución\]
Hacemos el cambio \[\begin{eqnarray*} u&=& { x }^{ 3 }+3x \\ du&=& (3x^2+3)dx. \\ &=& 3(x^2+1)dx .\hspace{2mm}\mbox{Factor común}\\ \frac{du}{3}&=&(x^2+1)dx . \hspace{2mm}\mbox{Despejando} \end{eqnarray*}\]
Luego \[\begin{eqnarray*} \displaystyle{\int { \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { { x }^{ 3 }+3x } } } dx}&=& \int \frac { du }{ \sqrt { u } } .\hspace{2mm}\mbox{Aplicando el cambio de variable.}\\ &=&\int u^{\frac { -1 }{ 2 } }du. \hspace{2mm}\mbox{Prop. de la raíz y de la potencia}\\ &=&\frac { { u }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 2 } +C. \hspace{2mm}\mbox{Integrando y aplicando doble c}\\ &=&\frac { { ({ x }^{ 3 }+3x) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 2 } +C. \hspace{2mm}\mbox{Devolviendo el cambio} \end{eqnarray*}\]
\(\Ejercicio{1}\) Resolver \(\int { ln(x) } dx\)
\[ Solución \]
\[u=ln(x) \Rightarrow du=\frac{dx}{x}.\]
\[dv=dx \Rightarrow v=x.\] Luego
\[\begin{eqnarray*} \int { ln(x) } dx&=&ln(x)x-\int{x\frac{dx}{x}}.\\ &=&xln(x)-\int dx. \hspace{2mm}\mbox{Cancelando las x}\\ &=&xln(x)-x+C. \end{eqnarray*}\]
\(\Ejercicio {2}\) Resolver \(\int { xe^x } dx\)
\[ Solución \]
\[\begin{eqnarray*} u=x &\Rightarrow& du=dx.\\ dv=e^xdx &\Rightarrow& v=e^x. \end{eqnarray*}\] Luego
\[\begin{eqnarray*} \int { xe^x } dx&=&xe^x-\int e^xdx.\\ &=&xe^x-e^x+C. \\ &=&e^x(x-1)+C.\hspace{2mm}\mbox{Factor común} \end{eqnarray*}\]
\(\Ejercicio {3}\) Resolver \(\int { x^2e^x } dx\)
\[ Solución \]
\[ \begin{eqnarray*} u=x^2 &\Rightarrow& du=2xdx.\\ dv=e^xdx &\Rightarrow& v=e^x. \end{eqnarray*}\] Luego
\[\begin{eqnarray*} \int { x^2e^x } dx&=&x^2e^x-2\int e^xxdx.\\ &=&x^2e^x-2(e^x(x-1)+C). \hspace{2mm}\mbox{Usando el resultado del ejercicio anterior}\\ \end{eqnarray*}\]
\(\Ejercicio {4}\) Resolver \[\int { te^{5t+\pi} }dt\]
\[ Solución \]
\[\begin{eqnarray*} u=t &\Rightarrow& du=dt.\\ dv=e^{5t+\pi}dt &\Rightarrow& dv=e^{5t}e^{\pi}dt. \\ &\Rightarrow& v=e^{\pi}e^{5t}\frac{1}{5}. \hspace{2mm}\mbox{Resolviendo por sustitución $\int e^{5t}dt$} \end{eqnarray*}\] Luego
\[ \begin{eqnarray*} \int { te^{5t+\pi} } dt&=&te^{\pi}e^{5t}\frac{1}{5}-\int e^{\pi}e^{5t}\frac{1}{5}dt.\\ &=&te^{\pi}e^{5t}\frac{1}{5}-\frac{e^{\pi}}{5}\int e^{5t}dt. \hspace{2mm}\mbox{Prop. $\int{kf} =k\int{f}$}\\ &=&te^{\pi}e^{5t}\frac{1}{5}-\frac{e^{\pi}}{5}e^{5t}\frac{1}{5}+C. \hspace{2mm}\mbox{Resolviendo por sustitución $\int e^{5t}dt$}\\ &=&\frac{te^{\pi}e^{5t}}{5}-\frac{e^{\pi}e^{5t}}{25}+C\\ &=&\frac{e^{\pi}e^{5t}}{5}(t-\frac{1}{5})+C.\hspace{2mm}\mbox{Factor común} \end{eqnarray*}\]
\(\Ejercicio {5}\) Resolver \(\int {sin(x)sin(3x) } dx\)
\[ Solución \]
\[\begin{eqnarray*} u=sin(3x) &\Rightarrow& du=3cos(3x)dx.\hspace{2mm}\mbox{Aplicando regla de la cadena}\\ dv=sin(x)dx &\Rightarrow& v=-cos(x). \end{eqnarray*}\]
Luego
\[\int {sin(x)sin(3x) } dx=-sin(3x)cos(x)+3\int{cos(x)cos(3x)dx} \hspace{10mm}\mbox{(1)}\]
Resolvamos \[ \int{cos(x)cos(3x)dx} \] Haciendo el cambio \[\begin{eqnarray*} u=cos(3x) &\Rightarrow& du=-3sin(3x)dx.\hspace{2mm}\mbox{Aplicando regla de la cadena}\\ dv=cos(x)dx &\Rightarrow& v=sin(x). \end{eqnarray*}\] Así \[\int{cos(x)cos(3x)dx}=cos(3x)sin(x)+3\int{sin(x)}sin(3x)dx\] Si observamos, vuelve a aparecer la integral de partida, sustituyamos este resultado en (1)
\[\begin{eqnarray*} \int {sin(x)sin(3x) } dx&=&-sin(3x)cos(x)+3\int{cos(x)cos(3x)dx} \\ &=&-sin(3x)cos(x)+3\left(cos(3x)sin(x)+3\int{sin(x)}sin(3x)dx\right)\\ \int {sin(x)sin(3x) } dx-9\int{sin(x)}sin(3x)dx&=&-sin(3x)cos(x)+3cos(3x)sin(x)\hspace{2mm}\mbox{Agrupando }\\ -8\int {sin(x)sin(3x) } dx&=&-sin(3x)cos(x)+3(cos(3x)sin(x))\\ \int {sin(x)sin(3x) } dx&=&-\frac{-sin(3x)cos(x)+3cos(3x)sin(x)}{8} \end{eqnarray*}\]