Demostrar por inducción, que si \(n\) es un número impar, \(7^n+1\) es divisible por \(8\) \[ Solución \]
Inicialmente se debe hacer un cambio de variable debido a que el ejercicio esta condicionado a los \(n\) impares, asi que: \[n=2*i-1; \hspace{1mm}\forall i \in \{1,2,3,...,\}\]
La proposición se convierte en: \[7^{2*i-1}+1\hspace{1mm} \text{es divisible por 8}\] .
Ahora si podemos empezar con el proceso de inducción.
\({\it Paso 1.}\)
Demostraremos que la proposicisn es verdadera para \(i=1\), en efecto,
\[7^{2*1-1}+1=8 \hspace{1mm} \text{es divisible por 8,}\] lo cual es una proposición verdadera.
\({\it Paso 2.\hspace{1mm} \text{Hipótesis inductiva} }\)
Supondremos que la proposición es verdadera para \(i=k\), esto es, \[7^{2*k-1}+1\hspace{1mm} \text{es divisible por 8}\]
\({\it Paso 3. \hspace{1mm} \text{Tesis}}\)
Debemos probar que la proposición es cierta para \(i=k+1\), es decir, debemos demostrar que \[7^{2(k+1)-1}+1 \hspace{1mm} \text{es divisible por 8}\] Para probar esta proposición debemos partir de \(7^{2(k+1)-1}+1\) y hacer los calculos necesarios para que aparezca la hipótesis inductiva\
\[\begin{eqnarray*} 7^{2(k+1)-1}+1&=& 7^{2k} 7^2 7^{-1}+1.\hspace{2mm}\mbox{Prop. distr. y de la potencia}\\ &=&7^{2k}7^{-1}7^2+1. \hspace{2mm}\mbox{Prop. asoc. del producto}\\ &=&7^{2k-1}7^2+1. \hspace{2mm}\mbox{Prop. de la potencia}\\ &=&(7^{2k-1}+1)7^2-49+1. \hspace{2mm}\mbox{Sumando y restando 49}\\ &=&(7^{2k-1}+1)7^2-48. \end{eqnarray*} \] Si observamos el lado derecho de la igualdad, podemos notar que en el primer sumando aparece la hipótesis inductiva, y el segundo sumando es \(48\) el cual tambien es divisible por \(8\), por tanto la suma es divisible por \(8\), por lo que la proposición es verdadera y hemos culminado el proceso de inducción