Un proceso estocástico
\(\{X(t):t\in [0,T] \}\) es un conjunto de variables aleatorias definidas para cada
\(t\in T\) de un intervalo de tiempo
\([0,T]\) . Esto nos viene a decir, que fijado un instante de tiempo
\(t\) dado, lo que ocurre en ese tiempo, sigue un comportamiento aleatorio, dado a partir de una función
\(f_{t}(x)\), donde x denota es el valor de ocurrencia del fenomeno a estudiar. Una familia importante de procesos estocásticos, es el formado por los llamados procesos markovianos. En ellos se verifica la siguiente propiedad:
\begin{equation}
P(X_{n+1}=j|X_{n}=i,X_{n-1}=i_{n_1},\dots,X_{0}=i_{0})= P(X_{n+1}=j|X_{n}=i)=p_{ij}(n+1) \hspace{0.2cm} \forall n\in \mathbb{N}
\end{equation}
Es decir, la probabilidad de ocurrencia de un suceso, a partir de los anteriores depende exclusivamente de la probabilidad del suceso anterior. Una familia muy importante dentro de los procesos markovianos, son los llamados procesos markovianos homogeneos en los cuales \(p_{ij}(n+1)\) es constante para todo n \(\in\mathbb{N}\). Las aplicaciones de los procesos de Markov a distintas areas del conocimiento son diversas: Predicción del tiempo, clasificación de pacientes sanos o enfermos,o incluso en el mundo cibernético, en los motores de busqueda de paginas web de Google por ejemplo.A continuación, vamos a ilustrar el uso de cadenas de Markov en la modelización de varios problemas deportivos.
Problema 1: Supongamos que queremos estudiar los resultados deportivos de un equipo de Futbol dado de la liga profesional,pongamosle en la Premier League. Para ello defininamos la variable aleatoria X=“Ganar i partidos seguidos” donde en este ejemplo toma un número finito de valores
\(i\in \{-2,-1,0,1,2\}\).Para conocer el comportamiento futuro de este modelo matemático y poder así predecir el número de partidos que va a ganar un equipo al final de temporada debemos definir una matriz transición
\(P\), que establezca las probabilidades entre los distintos escenarios, consideremos por ejemplo: P=
\begin{pmatrix}
0.1 & 0.2 & 0.1 & 0.2 & 0.2 \\
0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.2 & 0.2 \\
0.1 & 0.1 & 0.15 & 0.4 & 0.25 \\
0.05 & 0.1 & 0.3 & 0.45 & 0.15 \\
0.02 & 0.03 & 0.15 & 0.3 & 0.5 \
\end{pmatrix}
la fila i, indica el estado “ganar i partidos seguidos”, mientras que la columna j, el estado “ganar j partidos seguidos”, mientras que el elemento (i,j) de la matriz denota la probabilidad de ocurrencia de pasar del estado i al estado j, por ejemplo la probabilidad de no ganar ningún partido sabiendo que hemos perdido dos es de 0.1 que se corresponde al elemento \((1,3)\) de la matriz .
Como veremos en los próximos días determinar las propiedades a lo largo del tiempo de la racha de nuestro equipo de fútbol, no nos sera complicado….
Problema 2: Supongamos que nos encontramos en una prueba ciclista contrarreloj por equipos. Es suficientemente conocido que los ciclistas que los ciclistas intercambian posiciones con el objetivo de ahorrar energía. El problema de rotación de los ciclistas, se puede estudiar desde el punto de vista de una cadena de Markov en tiempo continuo. \
En la siguiente entrega veremos la solución a dichos ejercicios, con ejemplos reales …..