Wstęp

Celem pracy jest weryfikacja opłacalności lokowania kapitału w trzech lokatach strukturyzowanych oferowanych przez banki komercyjne działające na polskim rynku. Wykorzystując metodę Monte Carlo dokonano prognozy zwrotów kursu EUR/PLN, która umożliwiła oszacowanie wartości oczekiwanej stóp zwrotu z przedstawionych lokat oraz prawdopodobieństwo uzyskania stopy procentowej porównywalnej z wysokością odsetek ze standardowych lokat oszczędnościowych. Maksymalne zwroty z inwestycji w lokaty strukturyzowane są kilkukrotnie, a niekiedy nawet kilkanaście razy wyższe od oferowanych na kontach oszczędnościowych. Analiza pozwoli sprawdzić, na ile wysokie zyski z lokat strukturyzowanych są realne, a w jakim stopniu jest to jedynie chwyt marketingowy.

Analizie poddano trzy lokaty strukturyzowane oferowane przez:

Charakterystyka lokat:

1. PKO Bank Polski: “Lokata strukturyzowana oparta na kursie EUR/PLN V”

PKO BP oferował 12-miesięczną lokatę, którą można było zamówić w okresie 30.11-20.12.2015. Dzień referencyjny przypadł na 22.12.2015, w którym fixing NBP dla kursu EUR/PLN wyniósł 4.2411. Wysokość kuponu została ustalona na poziomie 0.60%. Kurs obserwacji, na podstawie którego wyliczone zostaną odsetki to fixing NBP z 21.12.2016. Maksymalna, możliwa do uzyskania stopa procentowa dla tej lokaty wynosi 6%. Zasady określające naliczenie odsetek zaprezentowano poniżej:

Szczegółowe informacje dotyczące lokaty znajdują się tutaj.
\[ \\ \]

2. Bank Zachodni WBK: “Range Accrual EUR Złoty Stabilizacja”

Po okresie subskrypcji trwającym od 09.12.2015 do 21.12.2015, BZ WBK zaoferował lokatę o nieco bardziej złożonej strukturze. Okres inwestycji, podobnie jak w przypadku lokaty oferowanej przez PKO BP, rozpoczął się 22.12.2015, co pozwoli na bezpośrednie porównanie obu lokat. Odsetki naliczone są na podstawie 12 obserwacji fixingu NBP na przestrzeni roku od zakończenia okresu subskrypcji, zgodnie z poniższą tabelą:

\[ \\ \] Oprocentowanie ustalane jest za pomocą wzoru:

\[ Odsetki =\frac{n}{12} 3.60\% \] gdzie:
n - liczba dni obserwacji kursu, w którym spełniony zostanie warunek: \[fixing_{1} \in (fixing_{0}-0.06 ; fixing_{0} + 0.06)\] \(fixing_0\) - kurs euro Narodowego Banku Polskiego z dnia 22.12.2015, który wyniósł 4.2411.

Z powyższego wzoru nietrudno wywnioskować, że maksymalne oprocentowanie na lokacie wynosi 3,60%.

Szczegółowe informacje dotyczące lokaty znajdują się tutaj.

3. Getin Noble Bank: “Range accrual EUR/PLN maj 2016”

Getin Noble Bank prowadził w dniach 02.05-31.05.2016 subskrypcję na lokatę o najbardziej ciągłym profilu wypłaty z trzech przedstawionych w pracy. Mimo że okres inwestycji rozpoczynał się pół roku później niż w przypadku lokat oferowanych przez PKO BP oraz BZ WBK, to przyjęto, że warunki rynkowe w tych okresach były porównywalne. Stopa referencyjna NBP, oprocentowanie oferowane na klasycznych lokatach banków, nie zmieniły się. Można zatem spodziewać się, że lokata Getin Noble Banku powinna przynosić porównywalne zyski co lokaty oferowane przez PKO BP i BZ WBK.

Odsetki wyliczane są ze wzoru: $ Odsetki = 4,00% $ gdzie:
N- liczba wszystkich dni obserwacji,
n - liczba dni, w którym spełniony zostanie warunek: \[fixing_{1} \in (4.34 ; 4.50) \] Fixing NBP 6 czerwca 2015 wyniósł 4.3835.

Wobec przedstawionego wzoru, oprocentowanie na pewno nie przekroczy 4%.

Szczegółowe informacje dotyczące lokaty znajdują się tutaj.

Analiza danych historycznych dotyczących kursu euro

W celu wykonania symulacji wczytano plik z notowaniami kursu EUR/PLN. Poniżej przedstawiono wykres kursu euro w latach 1991-2015. Należy dodać, że do 1991 roku nie dysponowano notowaniami dziennymi, a jedynie tygodniowymi, więc jest to maksymalny okres, jaki można uwzględnić podczas analizy.

\[ \\ \\\] Na kolejnym wykresie przedstawiono logarytmiczne zwroty kursu EUR/PLN wyrażone wzorem:

\[r_{i}=\log \left(\frac{P_{i}}{P_{i-1}}\right)\]

gdzie:
\(P_{i}\) - kurs EUR/PLN w i-tym momencie w czasie

\[ \\ \\\]

\[ \\ \\\]

Postanowiono ograniczyć się do danych od 1 stycznia 2000 roku i na tych danych dokonać symulacji w dalszej części pracy. Za ostatni dzień obserwacji przyjęto 22 grudnia 2015, ponieważ jest to dzień przed pierwszym dniem inwestycji w przypadku lokat oferowanych przez PKO BP oraz BZ WBK. Większość obliczeń wykonano również dla horyzontu czasowego kończącego się na 5 czerwca 2016, będącym dniem przed pierwszym dniem inwestycji dla lokaty oferowanej przez Getin Bank. Lwia część analiz daje bardzo podobne rezultaty, dlatego w pracy przedstawiono jedynie wyniki analizy dla krótszego szeregu.

\[ \\ \]

Analiza stopnia integracji badanego szeregu

Kluczowym z punktu widzenia dalszej analizy było określenie stopnia zintegrowania szeregu kursu EUR/PLN. W tym celu przedstawiono wyniki trzech testów diagnostycznych.

Test Dickeya-Fullera

W pierwszej kolejności przeprowadzono test Dickey-Fullera. Wyniki testu wraz z p-value testu Breuscha-Godfreya na brak występowania autokorelacji reszt przedstawiono poniżej. Na podstawie testu Breuscha-Godfreya nie można odrzucić hipotezy o braku autokorelacji reszt dla 0 opóźnień w modelu. P-value testu Dickeya-Fullera przekracza poziom istotności 5%, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że szereg kursu EUR/PLN jest zintegrowany w stopniu co najmniej pierwszym.

##   order       adf  p_adf     bgodfrey      p_bg
## 2     0 -2.753143 <10pct 0.0107585601 0.9173888
## 3     1 -2.763554 <10pct 0.0007762596 0.9777727

Wobec powyższego, przeprowadzono ten sam test na zróżnicowanym szeregu kursu - logarytmicznych zwrotach. Dla modelu bez opóźnień nie ma podstaw do odrzucenia \(H_{0}\) testu Breuscha-Godfreya o braku autokorelacji reszt, zatem można wnioskować na podstawie wyników tego modelu. P-value poniżej 0.01 pozwala odrzucić hipotezę zerową o zintegrowaniu logarytmicznych zwrotów w stopniu co najmniej 1. Wobec tego zwroty są stacjonarne, co pozwala stwierdzić, że szereg kursu EUR/PLN jest zintegrowany w stopniu pierwszym.

##   order       adf p_adf     bgodfrey      p_bg
## 2     0 -64.02615 <1pct 4.939161e-04 0.9822691
## 3     1 -46.05095 <1pct 7.187907e-05 0.9932355
Test Phillips-Perrona

Kolejnym testem sprawdzającym stopień integracji szeregu jest test Phillipsa-Perrona. Wartość statystyki testowej dla oryginalnego szeregu wyniosła -2.46. Wartość krytyczna testu na poziomie 5% wyniosła -2.86. Na poziomie istotności 5% nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zintegrowaniu szeregu w niezerowym stopniu.
Wobec tego postanowiono przeprowadzić ten sam test dla zwrotów kursu. Uzyskano wartość statystyki Z-tau równą -64.41, co, biorąc pod uwagę wartość krytyczną na poziomie istotności 5% równą -2.86 skłoniło do odrzucenia \(H_{0}\) i przyjęcia hipotezy alternatywnej o stacjonarności szeregu zwrotów. Wynik pokrywa się zatem z rezultatem uzyskanym na podstawie testu Dickeya-Fullera.

Test KPSS

Wykorzystano również test KPSS, który testuje hipotezę zerową o stacjonarności szeregu. Na podstawie testu dla cen uzyskano wartość statystyki testowej równą 2.66, większą od wartości statystyki testowej równej 0.46. Wobec tego odrzucono \(H_{0}\) o stacjonarnośći szeregu kursu euro. Na podstawie testu dla zwrotów nie uzyskano natomiast podstaw do odrzucenia hipotezy o stacjonarności (wartość statystyki testowej 0.06<0.46).

Na podstawie wszystkich trzech testów stwierdzono, że szereg kursu EUR/PLN jest zintegrowany w stopniu pierwszym. Wobec tego przystąpiono do analizy logarytmicznych zwrotów.

\[ \\ \]

Analiza rozkładu logarytmicznych zwrotów

Wygenerowano statystyki opisowe dla zwrotów, które przedstawiono poniżej. Średnia jest bardzo bliska zeru. Rozkład jest delikatnie prawoskośny (skośność równa 0.365834), a kurtoza równa 5.092045 wskazuje na grubość ogonów rozkładu.

##             X..eurpln_1.r
## nobs          4100.000000
## NAs              1.000000
## Minimum         -0.035996
## Maximum          0.055271
## 1. Quartile     -0.003360
## 3. Quartile      0.003180
## Mean             0.000004
## Median          -0.000192
## Sum              0.016235
## SE Mean          0.000098
## LCL Mean        -0.000189
## UCL Mean         0.000197
## Variance         0.000040
## Stdev            0.006303
## Skewness         0.365834
## Kurtosis         5.092045

\[ \\ \] Histogram zmiennej z naniesioną funkcją gęstości rozkładu normalnego potwierdza wniosek dotyczący ogonów rozkładu. Można zatem wnioskować, że rozkład zwrotów cechuje leptokurtycznośc.

Znaczne różnice pomiędzy rozkładem empirycznym oraz teoretycznym w ogonach rozkładu można zauważyć również na wykresie typu quantile-quantile:

W efekcie, na podstawie testu Jarque-Bery i uzyskanemu p-value bliskiemu zeru należy odrzucić hipotezę zerową, że zwroty pochodzą z rozkładu normalnego.

## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  na.omit(eurpln_1$r)
## X-squared = 4526.8, df = 2, p-value < 2.2e-16

\[ \\ \]

Prognozowanie wysokości oprocentowania na lokatach strukturyzowanych

Niniejszy rozdział przedstawia 4 metody prognozowania wysokości oprocentowania z przedstawionych lokat. Różnica pomiędzy metodami polega na różnych założeniach co do rozkładu zlogarytmowanych zwrotów. Wszystkie prognozy opierają się na symulacjach Monte Carlo, podczas których wykonanych zostanie 10000 losowań. Każda z metod polegać będzie na wylosowaniu 252 zwrotów historycznych i przyjęciu ich za prognozę zwrotów na najbliższy rok. Na ich podstawie odtworzenie zostaną kursy euro w kolejnych dniach, co pozwoli na wyliczenie uzyskanej stopy procentowej w ramach konkretnej lokaty. W zależności od lokaty, do wyliczenia stopy potrzebny będzie kurs ostatniego dnia inwestycji, kursy w 12 określonych momentach w czasie lub kursy każdego dnia w trakcie trwania horyzontu inwestycji.

Metoda I: Losowanie proste zwrotów historycznych

Pierwsza z metod polega na losowaniu zwrotów ze zbioru zwrotów historycznych. Na wyniki symulacji będzie miał wpływ wybór okresu, z którego losowane będą zwroty. W przypadku wszystkich lokat postanowiono losować zwroty z okresu od 1 stycznia 2000 do pierwszego dnia przed rozpoczęciem horyzontu inwestycji.

Lokata strukturyzowana oparta na kursie EUR/PLN V

Histogram wysymulowanego kursu EUR/PLN w ostatnim dniu inwestycji, wyliczonego na podstawie wylosowanych zwrotów przedstawiono poniżej. Najniższa wartość kursu jaką zaprognozowano wnyniosła 2.74, a najwyższa 6.39. Średni kurs wyniósł 4.27.

Metoda II: Losowanie zwrotów z rozkładu normalnego o parametrach rozkładu zwrotów

Metoda druga różni się od pierwszej tym, że zwroty nie będą losowane bezpośrednio z wektora zwrotów historycznych, a z rozkładu normalnego o średniej równej średniej zwrotów z próby i analogicznie dla wariancji. Statystyki opisowe zwrotów w okresie poprzedzającym pierwszy dzień inwestycji lokat oferowanych przez PKO BP oraz BZ WBK zostały przedstawione we wcześniejszym rozdziale. Średnia wyniosła 0.000004 natomiast wariancja 0.00004. Analogicznie, dla lokaty oferowanej przez Getin Noble Bank, dla której okres bazowy jest dłuższy o ok. pół roku parametry te wynoszą odpowiednio -0.000001 oraz 0.000041. Wyniki analizy za pomocą tej metody nie różnią się znacznie od wyników uzyskanych w przypadku losowania bezpośrednio z wektora historycznych zwrotów. Porównanie rezultatów zostanie przedstawione w dalszej części pracy.

Dalsza część analizy rozkładu logarytmicznych zwrotów

W celu stwierdzenia, czy uzasadnionym będzie przeprowadzenie symulacji ARCH/GARCH, przeprowadzono drugą część analizy zwrotów kursu EUR/PLN. Po raz kolejny analizę przeprowadzono na szeregu ograniczonym do danych z okresu od 1 stycznia 2000 do 22 grudnia 2015.

Na poniższym rysunku przedstawione zostały wykresy autokorelacji oraz częściowej autokorelacji logarytmicznych zwrotów analizowanego kursu walutowego. Część opóźnień jest istotna. Poziom obu współczynników jest wysoki co 4-5 opóźnień, ale ciężko zdefiniować jednoznacznie okres sezonowości szeregu, a nie ma ku temu również przesłanek teoretycznych.

Analogiczną analizę przeprowadzono dla kwadratów zwrotów. Można zauważyć bardzo silną korelację dla wszystkich przedstawionych opóźnień. Wydaje się zatem, że uzasadnionym będzie przeprowadzenie symulacji za pomocą modeli typu ARCH/GARCH.

W celu potwierdzenia wniosków wynikających z wykresów, przeprowadzono test LM na występowanie efektów ARCH. Wyniki testudla pierwszych 5 opóźnień stoją w zgodzie z wnioskami wyciągniętymi z wykresu. Ze względu na p-value bliskie zeru należy przyjąć hipotezę alternatywną o występowaniu efektów ARCH. Aby te efekty wyeliminować, należy zastosować jeden z modeli klasy ARCH/GARCH.

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  eurpln_1$r
## Chi-squared = 530.71, df = 5, p-value < 2.2e-16

\[ \\ \]

Metoda III: Prognoza wariancji zwrotów na podstawie symyluacji GARCH

Na podstawie analizy kwadratów zwrotów postanowiono wyestymować model GARCH(1,1), który można opisać za pomocą dwóch następujących równań:

\[y_{t} = \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}\] \[h_{t}=\omega + \alpha_{1} \epsilon_{t-1}^2 + \beta_{1} h_{t-1}\]
gdzie \(h_{t}\) oznacza warunkową wariancję zwrotów.

Oszacowania modelu oraz wyniki testów diagnostycznych przedstawiono poniżej. Wszystkie współczynniki z równania warunkowej wariancji są istotne na poziomie istotności 5%. Test Ljunga-Boxa wskazuje, że nie ma podstaw do odrzucenia \(H_{0}\) o nieistotności autokorelacji zarówno dla zwrotów jak i ich kwadratów. Potwierdza to także test LM na występowanie efektów ARCH.

## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~garch(1, 1), data = na.omit(eurpln_1$r), 
##     cond.dist = "norm", include.mean = F, trace = FALSE) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ garch(1, 1)
## <environment: 0x129b01e4>
##  [data = na.omit(eurpln_1$r)]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## Coefficient(s):
##      omega      alpha1       beta1  
## 3.7760e-07  8.5939e-02  9.0725e-01  
## 
## Std. Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## omega  3.776e-07   8.787e-08    4.297 1.73e-05 ***
## alpha1 8.594e-02   8.839e-03    9.723  < 2e-16 ***
## beta1  9.072e-01   9.008e-03  100.715  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Log Likelihood:
##  15535.22    normalized:  3.790003 
## 
## Description:
##  Fri Jul 01 23:26:02 2016 by user: Michal 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value  
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  1314.497  0        
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9835174 0        
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  9.363885  0.4979525
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  17.33163  0.2994294
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  26.93216  0.1371835
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  8.699216  0.5608671
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  13.58137  0.5574864
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  15.78505  0.7298664
##  LM Arch Test       R    TR^2   9.405108  0.6679945
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -7.578542 -7.573917 -7.578543 -7.576905

Na podstawie testów Jarque-Bery jak i Shapiro-Wilka należy odrzucić hipotezę, że reszty pochodzą z rozkładu normalnego. Poniższy rysunek wskazuje na leptokurtyczność reszt (gęstość rozkładu normalnego , więc można spodziewać się, że lepsze wyniki osiąniętoby zakładając, że reszty pochodzą z rozkładu t-studenta. Porównanie histogramu zwrotów z gęstością rozkładów normalnego (kolor niebieski) oraz t-studenta (kolor zielony) potwierdza tę tezę.

Wygenerowano również wykres porównawczy dla kursu EUR/PLN, logarytmicznych zwrotów oraz warunkowej wariancji. Mimo braku podstaw do odrzucenia hipoetzy o stacjonarności rozkładu reszt, można wyraźnie zauważyć występowanie zjawiska grupowania wariancji. Największy skok ma miejsce w dobie kryzysu, na przełomie lat 2008-2009, kiedy kurs euro wyrażony w złotych rósł w bardzo szybkim tempie.

Następnie, dokonano prognozy warunkowej wariancji na najbliższe 252 dni giełdowe. Obliczono również wariancję bezwarunkową za pomocą wzoru: \(h=\frac{\omega}{1-\alpha_{1}-\beta_{1}}\), uzyskując wartość 0.0000554.

Wykres wariancji warunkowej oraz bezwarunkowej przedstawioni poniżej. Należy zauważyć, że wariancja warunkowa rośnie wraz z czasem i zgodnie z założeniami teoretycznymi zbiega wraz z czasem do poziomu wariancji bezwarunkowej.

Na podstawie oszacowań wariancji warunkowej dokonano prognozy zwrotów dla lokat oferowanych przez PKO BP i BZ WBK. Zakładając, że średni zwrot nie różni się istotnie od zera, każdy kolejny losowano z rozkładu \(N(0,h_{t})\). Dokładnie tę samą metodę zastosowano dla lokaty Getin Noble Banku, z tym, że parametry modelu GARCH oraz w efekcie prognozy warunkowej wariancji różniły się nieznacznie ze względu na dłuższe okno wykorzystane do estymacji parametrów modelu GARCH.

\[ \\ \]

Metoda IV: Prognoza wariancji zwrotów na podstawie symulacji GARCH-t

Z racji na fakt, iż założenie o rozkładzie normalnym zwrotów nie jest spełnione, postanowiono przeprowadzić również prognozę opartą o współczynniki oszacowane przy pomocy modelu GARCH-t, który zakłada, że reszty mają rozkład t-studenta. Po raz kolejny przedstawione zostają wyniki dla pierwszych dwóch lokat z racji na fakt, iż analiza dla lokaty Getin Noble Banku jest w pełni analogiczna, a oszacowania różnią się nieznacznie. Uzyskano istotny współczynnik shape, wynoszący ok. 8, oznaczający ilość stopni swobody rozkładu t-studenta standaryzowanych reszt.

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : std 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## omega   0.000000    0.000000   1.2814  0.20004
## alpha1  0.081097    0.007213  11.2424  0.00000
## beta1   0.913032    0.006735 135.5583  0.00000
## shape   8.047099    0.859533   9.3622  0.00000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## omega   0.000000    0.000001  0.23765 0.812155
## alpha1  0.081097    0.064949  1.24864 0.211798
## beta1   0.913032    0.058425 15.62741 0.000000
## shape   8.047099    1.814191  4.43564 0.000009
## 
## LogLikelihood : 15611.73 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -7.6154
## Bayes        -7.6092
## Shibata      -7.6154
## Hannan-Quinn -7.6132
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.4267  0.5136
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.7326  0.5937
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    2.7479  0.4550
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                      1.116  0.2907
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]     2.405  0.5263
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]     4.042  0.5818
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.1883 0.500 2.000  0.6643
## ARCH Lag[5]    2.6960 1.440 1.667  0.3370
## ARCH Lag[7]    3.3019 2.315 1.543  0.4584
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  712.2624
## Individual Statistics:               
## omega  208.5192
## alpha1   0.3595
## beta1    0.5928
## shape    0.1159
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.07 1.24 1.6
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           0.9716 0.33133    
## Negative Sign Bias  1.0078 0.31359    
## Positive Sign Bias  0.2689 0.78804    
## Joint Effect        6.3940 0.09394   *
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     21.76      0.29655
## 2    30     39.57      0.09117
## 3    40     36.46      0.58644
## 4    50     53.51      0.30521
## 
## 
## Elapsed time : 0.6495879

\[ \\ \] Lepsze dopasowanie wystandaryzowanych reszt w przypadku rozkładu t-studenta (kolor zielony) w porównaniu do rozkładu normalnego (kolor niebieski) obrazuje poniższy histogram:

\[ \\ \\\]

W związku z lepszym dopasowaniem rozkładu reszt oraz wyeliminowaniem efektów ARCH, postanowiono największą wagę przywiązać do wyników uzyskanych na podstawie modelu GARCH-t (1,1).

Porównanie zyskowności lokat

Po każdej symulacji dla każdej z lokat zapisywano statystyki, aby w niniejszej części móc dokonać porównania przedstawionych lokat strukturyzowanych pod kątem możliwości uzyskania wysokiego oprocentowania.

Lokata strukturyzowana oparta na kursie EUR/PLN V

Rozkład oprocentowania na lokacie wyliczonego na podstawie symulowanego kursu EUR/PLN został przedstawiony poniżej. W ponad połowie przypadków inwestycja w lokatę oferowaną przez PKO BP nie przyniosła żadnych odsetek. Prawdopodobieństwo uzyskania maksymalnego oprocentowania wskazywanego w ofercie wynosi 0.018.

##    Oprocentowanie [%] Prawdopodobieństwo Dystrybuanta
## 1                   0             0.4976       0.4976
## 2                 0.5             0.3131       0.8107
## 3                 0.6             0.0183       0.8290
## 4                 1.2             0.0194       0.8484
## 5                 1.8             0.0198       0.8682
## 6                 2.4             0.0189       0.8871
## 7                   3             0.0183       0.9054
## 8                 3.6             0.0211       0.9265
## 9                 4.2             0.0184       0.9449
## 10                4.8             0.0201       0.9650
## 11                5.4             0.0170       0.9820
## 12                  6             0.0180       1.0000
Range Accrual EUR Złoty Stabilizacja

Symulacja dla lokaty oferowanej przez BZ WBK oparta była o ten sam horyzont czasowy kursu euro. Rozkład oprocentowania na lokacie, wyliczony na podstawie symulowanego kursu EUR/PLN, został przedstawiony poniżej. Należy zwrócić uwagę, że w żadnym z 10000 powtórzeń nie uzyskano maksymalnej stopy procentowej równej 3.6%. Lokata jest korzystniejsza od konkurencyjnej oferty w PKO BP, jeśli weźmie się pod uwagę prawdopodobieństwo uzyskania niezerowego oprocentowania.

##    Oprocentowanie [%] Prawdopodobieństwo Dystrybuanta
## 1                   0             0.3308       0.3308
## 2                 0.3             0.1606       0.4914
## 3                 0.6             0.1551       0.6465
## 4                 0.9             0.1268       0.7733
## 5                 1.2             0.0941       0.8674
## 6                 1.5             0.0628       0.9302
## 7                 1.8             0.0364       0.9666
## 8                 2.1             0.0221       0.9887
## 9                 2.4             0.0077       0.9964
## 10                2.7             0.0029       0.9993
## 11                  3             0.0006       0.9999
## 12                3.3             0.0001       1.0000
Range accrual EUR/PLN maj 2016

Poniżej przedstawiona została dystrybuanta empiryczna rozkładu stopy procentowej. Mimo teoretycznie najwyższej możliwego możliwego do uzyskania oprocentowania wynoszącego 4%, spośród 10000 obserwacji, uzyskano maksymalną wartość stopy wynoszącą 3.4444444, co odpowiadało 217 dniom, kiedy kurs EUR/PLN zawierał się w przedziale (4.34 ; 4.5).

Wyliczono średnie oczekiwane stopy zwrotu z inwestycji oraz ich wariancje wyliczone na podstawie wyników uzyskanych z analizy przy pomocy modelu GARCH-t. Zdecydowanie najlepsza, biorąc pod uwagę jedynie te dwa parametry, wydaje się inwestycja w lokatę strukturyzowaną oferowaną przez Getin Noble Bank.
Jeśli porównać dwie lokaty wystawione 22 grudnia 2015, nie można jednoznacznie ocenić, która z nich jest lepsza, ponieważ lokata oferowana przez PKO BP, mimo wyższej oczekiwanej stopy oprocentowania, cechuje się również wyższą wariancję stopy procentowej.

##          Srednia_PKO Srednia_WBK Srednia_GETIN  War_PKO   War_WBK
## Metoda 1     0.76752     0.60786     1.0056683 2.045064 0.4039346
## Metoda 2     0.74656     0.61626     0.9922365 1.980590 0.3961352
## Metoda 3     0.74667     0.61230     0.9983381 1.957499 0.3868154
## Metoda 4     0.77623     0.60285     1.0110016 2.053043 0.3737903
##          War_GETIN
## Metoda 1 0.4404599
## Metoda 2 0.4297211
## Metoda 3 0.3862542
## Metoda 4 0.4073964

Wygenerowano również wykres przedstawiający prawdopodobieństwo uzyskania stopy wyższej od ustalonego poziomu przyjmującego wartości pomiędzy 0 a 6%. Należy zauważyć, że inwestycja w lokatę oferowaną przez BZ WBK (kolor zielony) jest w pewnym sensie strategią zdominowaną.
Bez względu na minimalne oprocentowanie, jakie chciałby osiągnąć inwestor, zawsze jedna z dwóch pozostałych lokat jest lepszym wyborem. W przypadku chęci osiągnięcia minimalnego oprocentowania z przedziału do 1.8% lepiej wybrać lokatę oferowaną przez Getin Bank (kolor czerwony). W przypadku chęci maksymalizacji prawdopodobieństwa uzyskania wyższego zwrotu z inwestyji należy wybrać lokatę PKO BP (kolor niebieski). Jest to jedyna lokata dająca realne szanse na uzyskanie oprocentowania powyżej 3%.
Porównując lokaty wystawione w tym samym okresie, czyli produkty oferowane przez PKO BP i BZ WBK, lokata PKO Banku Polskiego jest lepsza w przypadku inwestorów maksymalizujących prawdopodobieństwo uzyskania stopy co najmniej równej 1,2%. Jeśli są osoby, którym wystarcza niższe oprocentowanie to mogą one wybrać produkt BZ WBK, jednak średnia oczekiwana stopa zwrotu z tej inwestycji jest znacznie niższa, więc osoby takie musiałyby bardzo nisko cenić możliwość uzyskania ponadprzeciętnego zysku z inwestycji.

Analiza wrażliwości parametrów modelu GARCH-t

W ostatniej części analizy postanowiono sprawdzić, w jakim stopniu zmiana horyzontu czasowego danych wykorzystanych do estymacji parametrów zmienia ich oszacowania. Poniżej przedstawiono wykresy, porównujące kurs euro oraz oszacowania parametrów, w zależności od pierwszego dnia horyzontu czasowego użytego do przeprowadzenia symulacji. Współczynniki szacowano dla horyzontów czasowych rozpoczynających się od pierwszego dnia giełdowego kolejnych miesięcy zaczynając od stycznia 1997, na grudniu 2009 kończąc.

Ponadto oszacowano wielkości absolutnych błędów względnych MAE dla kolejnych miesięcy oraz lat, zgodnie ze wzorem: \[MAE_{i} = \frac{par_{i}-par_{i-1}}{par{i}}\] gdzie:
\(par_{t}\) - parametr \(\omega\) / \(\alpha_{1}\) / \(\beta_{1}\) w miesiącu / roku t.
Błąd ten pokazuje o ile zmieni się wartość bezwzględna oszacowania konkretnego parametru jeśli horyzont czasowy symulacji zostanie skrócony o miesiąc / rok.
Wyniki wskazują, że najbardziej stabilnym parametrem, biorąc pod uwagę błąd względny jest parametr \(\alpha_{1}\), który wprowadza zależność pomiędzy kwadratem reszt z równania średniej a warunkową wariancją.
Należy zauważyć, że Współczynnik \(\omega\) jest bardzo silnie, ujemnie skorelowany ze współczynnikiem \(\alpha_{1}\), a współczynnik korelacji wynosi -0.988.

##   Wspolczynnik       MAE_m       MAE_r
## 1       omega  0.016440611 0.056830355
## 2       alpha1 0.001722055 0.005704949
## 3       beta1  0.014741795 0.046109167

Podsumowanie

W pracy przedstawiono analizę przewidywanej zyskowności z trzech lokat strukturyzowanych opartych na kursie EUR/PLN oferowanych przez konkurencyjne banki komercyjne. Lokaty różniły się znacznie sposobem naliczania oprocentowania i na pierwszy rzut oka ciężko było orzec, która z nich przynosi najwyższy zysk.
Analiza wykazała, że kierując się jedynie oczekiwaną wartością odsetek, najlepszą ofertę przedstawił Getin Bank. Należy jednak zauważyć, że wybór nie musi być podejmowany jedynie na tej podstawie. Ponadto, lokata Getin Banku niemoże być bezpośrednio porównywana z pozostałymi ze względu na inny moment rozpoczęcia inwestycji.
Porównując oferty przedstawione przez PKO BP oraz BZ WBK, a więc inwestycje obejmujące dokładnie ten sam okres można stwierdzić, że racjonalni inwestorzy z prawdopodobieństwem bliskim 100% wybiorą lokatę PKO Banku Polskiego. Aby wybrać drugą z nich, musieliby cechować się bardzo specyficzną funkcją użyteczności.
W ostatnim rozdziale przeanalizowano wielkości parametrów modelu GARCH-t. Można zauważyć, że długość okna horyzontu czasowego wziętego pod uwagę do szacowania modelu ma istotny wpływ na wielkość parametrów, a zatem również na prognozę warunkowej wariancji modelu.