Função Densidade de Probabilidade Conjunta

 
 
 
 
 

1. Definição:

 
 
 

\(I) \:\: \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) \text{ } dxdy=1\)

 
 

\(II) \:\: f(x,y) \geq 0 \:\: \forall \: (x,y) \: \in \: R\)

 
 

\(III) \:\: \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y) \text{ } dxdy= P(X,Y) \: \in \: [c,d]\times[a,b]\)

 
 
 
 
 

2. Aplicação da Definição:

 
 
 
 
 

Tomemos como exemplo a função a seguir:

 
 

\(f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} kxy^2, \:\: se \:\: 0 \leqslant x \leqslant 1, \:\: 0 \leqslant y \leqslant 1; \\ 0, \:\: Caso\:Contr\acute{a}rio \end{matrix}\right.\)

 
 

Na qual precisamos que o valor de k seja igual a 6 para que:

 
 

\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}kxy^2\:dxdy = 1\)

 
 
 
 
 

3. Exemplos de Aplicação:

 
 
 
 
 

- Renda associado a Idade;

 

- Variação da Massa Magra associada ao Tempo de Academia;

 

- Despesa Médica associada a Despesa com Educação;

 

- Temperatura associada ao Horário de um dia em determinada Cidade.

 
 
 
 
 

4. Exemplo Teórico de Relação entre Peso e Altura:

 
 
 
 
 

Utilizou-se 10 mil dados referentes ao peso e altura de homens e mulheres e então foi feito o seguinte gráfico de dispersão:

 
 
 
 
 

Em seguida acrescentamos uma media simultânea do peso e da altura, juntamente com a regressão linear:

 
 
 
 
 

E então escolhemos uma circunferência centralizada nesta média para ser nossa região R:

 
 
 
 
 

A média simultânea da altura e do peso, representada no gráfico acima, é o ponto (168,5736 ; 73,22805). Portanto, como a circunferência está centralizada nesta média, sua equação é dada por:

 
 

\[ (x-168,5736)^2+(y-73,22805)^2 = 73,22805 ^2 \]

 
 
 
 
 

Então temos que a região R é dada por:

 
 

\[ R: \left \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 \mid (x-168,5736)^2 + (y-73,22805)^2 \leqslant 73,22805^2 \right \} \]

 
 
 
 
 

Agora precisamos associar esta região a uma função f(x,y), que no caso foi escolhido o seguinte paraboloide:

 
 

\[ f(x,y) = - \left [ (x-168.5738)^2 + (y-73.22805)^2 \right ] \]

 
 

Com “x” sendo a Altura, e “y” sendo o Peso.

 
 
 
 
 

Porém para que essa função se torne uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta, ela precisar satisfazer algumas propriedades. Uma delas diz que a função deve ser não negativa em seu domínio, portanto faremos com que ela atenda a essa propriedade somando uma constante C = 5363.

 
 

\[ f(x,y) = - \left [ (x-168.5738)^2 + (y-73.22805)^2 \right ] + 5363 \]

 
 
 
 
 

Esta nova função continua tendo um problema, o volume abaixo da superfície limitada pela região é muito maior do que 1. Para isso multiplicaremos a função pela constante \(k = 1/45178880.4\) :

 
 

\[ f(x,y) = \frac{- \left [ (x-168.5738)^2 + (y-73.22805)^2 \right ] + 5363}{45178880.4} \]

 
 
 
 
 

Agora já temos nossa Função Densidade de Probabilidade Conjunta. E com ela podemos calcular algumas probabilidades, por exemplo:

A probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, possua entre 150cm e 188cm de altura e ao mesmo tempo que ela pese entre 50kg e 100kg é:

 
 

\[P(150 \leqslant x \leqslant 188 \: ; \: 50 \leqslant y \leqslant 100) = \int_{150}^{188}\int_{50}^{100}f(x,y)\:dydx\]

 
 

\[P(150 \leqslant x \leqslant 188 \: ; \: 50 \leqslant y \leqslant 100) \cong 0.211579456 \cong 21.16\%\]