1. Es wird zuerst das Intervall für 0,9 berechnet:
n <- 9
sigma <- sqrt(211893.028)
alpha <- 0.1
x <- rnorm(n, mean = 5444.444, sd = sigma)
z_quantil <- qnorm(1 - alpha/2, mean = 0, sd = 1)
c(mean(x) - z_quantil * sigma/sqrt(n), mean(x) + z_quantil * sigma/sqrt(n))
## [1] 5431.475 5936.246

Nun das für 0,95:

n <- 9
sigma <- sqrt(211893.028)
alpha <- 0.05
x <- rnorm(n, mean = 5444.444, sd = sigma)
z_quantil <- qnorm(1 - alpha/2, mean = 0, sd = 1)
c(mean(x) - z_quantil * sigma/sqrt(n), mean(x) + z_quantil * sigma/sqrt(n))
## [1] 5148.398 5749.869

Das 95% Konfidenzintervall ist deutlich größer als das 90% Intervall, da in diesem mit 5% höherer Wahrscheinlichkeit der Erwartungswert liegen muss. Da es sich um eine Normalverteilung handelt, bedeutet dies, dass je weiter man an den Rand kommt, die Wertedichte umso kleiner wird, wodurch das Intervall überproportional größer werden muss, um die geforderten 5% mehr abzudecken.

  1. Untere Grenze:
n <- 50
sigma <- sqrt(211893.028)
alpha <- 0.03
x <- rnorm(n, mean = 5444.444, sd = sigma)
z_quantil <- qnorm(1 - alpha, mean = 0, sd = 1)
c(mean(x) + z_quantil * sigma/sqrt(n))
## [1] 5490.376

Das untere Konfidenzintervall würde in diesem Fall von -∞ bis zu dem oben ausgerechneten Wert reichen. Ein solches Intervall wäre beispielweise bei dem Kauf eines Tanks oder Pumpsystems hilfeich, da hier die Maximalkapazität basierend auf der oberen Grenze bestimmt werden könnte.

Obere Grenze:

n <- 50
sigma <- sqrt(211893.028)
alpha <- 0.03
x <- rnorm(n, mean = 5444.444, sd = sigma)
z_quantil <- qnorm(1 - alpha, mean = 0, sd = 1)
c(mean(x) - z_quantil * sigma/sqrt(n))
## [1] 5429.016

Das obere Konfidenzintervall, -∞ bis zu dem oben genannten Wert, würde beispielweise Sinn ergeben, wenn mit einer Molkerei die jährlich gelieferte Milchmenge vereinbart wird, auf Basis welcher dann auch der Preis pro Liter bestimmt wird.