Basic theory for FDA

本文本的目的在于习惯FDA表示方法，记忆和掌握函数数据分析最基本的理论。

参考资料包括：

• Lajos Horvath的 Inference for functional data with applications

Hillbert space model for functional data

本章内容包括:

• Hillbert 空间算子的基本概念

Hillbert 空间算子的基本概念

我们有一个可分Hillbert空间 with inner product \(\langle \centerdot, \centerdot \rangle\) which generates the norm \(\| \cdot \|\)

The space \(\mathcal{L}\) of Bounded(continuous) linear operators

它上的算子为 \(\Psi\)， 它的范数定义为：\[\| \Psi \|_{\mathcal{L}} = sup \{ \| \Psi(x) \| : \|x\| \leq 1 \}\] 这个算子的模可以理解为二次型矩阵 \(x :\rightarrow x^T A^T A x\), 于是这个线性变化大致可以写成 \(A x = A (\sum_{i=1}^p \langle x, u_i \rangle u_i ) = \sum_{i=1}^{p} \lambda_i \langle x, u_i \rangle u_i\)。 加上一些条件，有界线性算子变成紧算子。再加上一些条件变成Hillbert-Schimidt算子。这样的话，可以定义两个算子的內积。

参考矩阵知识，定义两个算子的內积 \(\langle \mathcal{A}, \mathcal{B} \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} \langle \mathcal{A} e_i, \mathcal{B} e_i \rangle\), where \(e_1,e_2,...\)是标准正交基。在两个算子都是正定对称时，易于证明此內积导出范数是算子的特征值平方和。

basic ideas

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