Pacote de funções FrF2
Existe, para a linguagem R, uma grande quantidade de pacotes de funções para planejamento de experimentos (DoE) em razão da diversidade de designs existentes para além dos clássicos \(2^k\) completo e fracionado, e.g. spit-plot, blocos incompletos, quadrado latino etc. Como para nossas aplicações, os designs clássicos serão suficientes, trabalharemos com o pacote de funções FrF2.
install.packages("FrF2", repos = "http://cran.rstudio.com/") # Instala o pacote
library(FrF2) # Carrega o pacote para usoGeração do design
Selecionar o melhor design para seu experimento nem sempre é uma tarefa usual. Ela depende de fatores como:
- Tempo disponível para os experimentos;
- Recurso financeiro / material para os experimentos;
- Objetivo desejado (avaliar a significância dos fatores ou construir um modelo?);
- Grau permitido confundimento dos fatores;
- Número de fatores do seu experimento.
A tabela abaixo é uma representação dos diferentes designs permitidos para um planejamento \(2^k\).
Três informações necessárias para descrever seu design são obtidas por meio desta tabela: número de experimentos (runs), número de fatores (factors) e a resolução do experimento (em algarismos romanos em cada célula da tabela). Informando, ao menos duas destas informações, a terceira é definida automaticamente, e é desta forma que as funções pra design de experimentos do pacote FrF2 operam.
Planejamento \(2^k\) completo
Para construir um design de experimento \(2^k\) completo, basta entrar com a função FrF2 e informar o número \(k\) de fatores (nfactors) desejados e, em seguida, definir o número de experimentos (nruns) como \(2^k\).
No exemplo abaixo, um design \(2^4\) completo foi criado, neste apenas uma replicação foi realizada (replications) e a ordem dos experimentos foi randomizada (randomize = TRUE).
plan.completo = FrF2(nfactors = 4,
nruns = 2^4,
replications = 1,
randomize = TRUE)
summary(plan.completo)## Call:
## FrF2(nfactors = 4, nruns = 2^4, replications = 1, randomize = TRUE)
##
## Experimental design of type full factorial
## 16 runs
##
## Factor settings:
## A B C D
## 1 -1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1 1
##
## The design itself:
## A B C D
## 1 -1 1 1 1
## 2 -1 1 -1 1
## 3 -1 -1 -1 1
## 4 1 1 1 1
## 5 -1 1 -1 -1
## 6 1 1 -1 -1
## 7 1 1 1 -1
## 8 1 -1 -1 1
## 9 1 -1 1 -1
## 10 1 -1 -1 -1
## 11 -1 -1 -1 -1
## 12 -1 -1 1 1
## 13 -1 1 1 -1
## 14 1 1 -1 1
## 15 1 -1 1 1
## 16 -1 -1 1 -1
## class=design, type= full factorialAo solicitar o summary do design criado, são informados detalhes como o número total de experimentos (16), os níveis dos fatores (por definição iguais a “-1” e “1”) e o próprio design randomizado. Os fatores são, por padrão, representados por letras maiúsculas.
Planejamento \(2^k\) fracionado
A forma mais simples de criar um design fracionado é selecionar o número de fatores do experimento e a resolução desejada. No exemplo abaixo, um experimento com oito fatores e resolução IV é criado, o número de experimentos é calculado pela função.
plan.frac.1 = FrF2(nfactors = 8,
resolution = 4,
replications = 1,
randomize = TRUE)
summary(plan.frac.1)## Call:
## FrF2(nfactors = 8, resolution = 4, replications = 1, randomize = TRUE)
##
## Experimental design of type FrF2
## 16 runs
##
## Factor settings (scale ends):
## A B C D E F G H
## 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1 1 1 1 1 1
##
## Design generating information:
## $legend
## [1] A=A B=B C=C D=D E=E F=F G=G H=H
##
## $generators
## [1] E=ABC F=ABD G=ACD H=BCD
##
##
## Alias structure:
## $fi2
## [1] AB=CE=DF=GH AC=BE=DG=FH AD=BF=CG=EH AE=BC=DH=FG AF=BD=CH=EG AG=BH=CD=EF
## [7] AH=BG=CF=DE
##
##
## The design itself:
## A B C D E F G H
## 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
## 2 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1
## 3 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1
## 4 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1
## 5 1 1 1 1 1 1 1 1
## 6 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
## 7 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
## 8 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1
## 9 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1
## 10 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
## 11 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
## 12 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1
## 13 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1
## 14 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
## 15 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1
## 16 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1
## class=design, type= FrF2O summary de um design fracionado retorna, além das informações contidas no summary de um design completo, os geradores do design (generators) e os confundimentos entre fatores (Alias structure).
É possível ainda, criar um design fracionado informando o número de fatores (nfactors) e o número de experimentos (nruns). Mas, neste caso é necessário informar valores coerentes e que resultem em uma resolução igual ou maior que III. Infelizmente, não é possível entrar com um número de experimentos que não seja proporcional a \(2^k\), para assim o programa selecionar o design com a maior resolução, ou seja, use a tabela ao seu favor.
No exemplo abaixo, temos um experimento \(2^{8-4}\) fatorial, que possui uma resolução IV.
plan.frac.2 = FrF2(nfactors = 8,
nruns = 32,
replications = 1,
randomize = TRUE)
summary(plan.frac.2)## Call:
## FrF2(nfactors = 8, nruns = 32, replications = 1, randomize = TRUE)
##
## Experimental design of type FrF2
## 32 runs
##
## Factor settings (scale ends):
## A B C D E F G H
## 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1 1 1 1 1 1
##
## Design generating information:
## $legend
## [1] A=A B=B C=C D=D E=E F=F G=G H=H
##
## $generators
## [1] F=ABC G=ABD H=ACDE
##
##
## Alias structure:
## $fi2
## [1] AB=CF=DG AC=BF AD=BG AF=BC AG=BD CD=FG CG=DF
##
##
## The design itself:
## A B C D E F G H
## 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1
## 2 -1 -1 1 1 1 1 1 -1
## 3 1 1 1 -1 1 1 -1 -1
## 4 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1
## 5 1 -1 -1 -1 1 1 1 1
## 6 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1
## 7 1 1 1 -1 -1 1 -1 1
## 8 1 -1 1 1 1 -1 -1 1
## 9 -1 -1 1 1 -1 1 1 1
## 10 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1
## 11 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1
## 12 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1
## 13 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
## 14 1 1 -1 1 1 -1 1 -1
## 15 1 1 -1 1 -1 -1 1 1
## 16 1 1 1 1 1 1 1 1
## 17 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1
## 18 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1
## 19 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1
## 20 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1
## 21 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
## 22 1 1 1 1 -1 1 1 -1
## 23 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1
## 24 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
## 25 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1
## 26 -1 1 1 -1 1 -1 1 1
## 27 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1
## 28 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1
## 29 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
## 30 -1 1 -1 1 1 1 -1 1
## 31 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
## 32 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1
## class=design, type= FrF2Uma forma menos usual de criar um design fracionado é utilizando um gerador. No exemplo abaixo, o gerador do design foi o \(D = -AB\). Isto permite a seleção da meia-fração de experimentos a ser realizada, apenas com mudança de sinal da função geradora.
plan.frac.3 = FrF2(generators = -c(3),
nruns = 2^3,
replications = 1,
randomize = TRUE)
summary(plan.frac.3)## Call:
## FrF2(generators = -c(3), nruns = 2^3, replications = 1, randomize = TRUE)
##
## Experimental design of type FrF2.generators
## 8 runs
##
## Factor settings (scale ends):
## A B C D
## 1 -1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1 1
##
## Design generating information:
## $legend
## [1] A=A B=B C=C D=D
##
## $generators
## [1] D=-AB
##
##
## Alias structure:
## $main
## [1] A=-BD B=-AD D=-AB
##
##
## The design itself:
## A B C D
## 1 -1 -1 -1 -1
## 2 1 1 -1 -1
## 3 1 1 1 -1
## 4 1 -1 -1 1
## 5 -1 1 1 1
## 6 1 -1 1 1
## 7 -1 1 -1 1
## 8 -1 -1 1 -1
## class=design, type= FrF2.generatorsPlanejamento \(2^k\) com ponto central
Quando deseja-se estudar não linearidades no comportamento dos fatores, a adição de um ponto central é essencial ao design. Para fazer isso, entra-se com o argumento ncenter e o número de pontos centrais. No exemplo abaixo, observe que foi selecionado duas replicações.
plan.central = FrF2(nfactors = 4,
nruns = 2^3,
ncenter = 1,
replications = 2,
randomize = TRUE)
summary(plan.central)## Call:
## FrF2(nfactors = 4, nruns = 2^3, ncenter = 1, replications = 2,
## randomize = TRUE)
##
## Experimental design of type FrF2.center
## 9 runs
## each run independently conducted 2 times
##
## Factor settings (scale ends):
## A B C D
## 1 -1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1 1
##
## Design generating information:
## $legend
## [1] A=A B=B C=C D=D
##
## $generators
## [1] D=ABC
##
##
## Alias structure:
## $fi2
## [1] AB=CD AC=BD AD=BC
##
##
## The design itself:
## run.no run.no.std.rp A B C D
## 1 1 8.1 1 1 1 1
## 2 2 6.1 1 -1 1 -1
## 3 3 4.1 1 1 -1 -1
## 4 4 2.1 1 -1 -1 1
## 5 5 7.1 -1 1 1 -1
## 6 6 1.1 -1 -1 -1 -1
## 7 7 3.1 -1 1 -1 1
## 8 8 5.1 -1 -1 1 1
## 9 9 0.1 0 0 0 0
## 91 10 5.2 -1 -1 1 1
## 10 11 7.2 -1 1 1 -1
## 11 12 2.2 1 -1 -1 1
## 12 13 4.2 1 1 -1 -1
## 13 14 8.2 1 1 1 1
## 14 15 6.2 1 -1 1 -1
## 15 16 1.2 -1 -1 -1 -1
## 16 17 3.2 -1 1 -1 1
## 17 18 0.2 0 0 0 0
## class=design, type= FrF2.center
## NOTE: columns run.no and run.no.std.rp are annotation, not part of the data frameObserve que a apresentação do design com a função summary toma uma nova forma. Na primeira coluna, temos a ordem padrão do experimento. Na segunda coluna, a ordem que o pesquisador deve realizar o experimento (run.no) devido à randomização. Na terceira coluna (run.no.std.rp), a ordem padrão se repete, com o indicador da replicação como um número após o ponto.
O valor 0 se reserva ao ponto central. Assim, 0.2 significa a segunda replicação do experimento cujos os fatores estão no ponto central.
Planejamento \(2^k\) com blocos
A adição de blocos ao design é feita por meio do argumento blocks. No exemplo abaixo, um planejamento completo com 2 replicações, 2 blocos e um ponto central por bloco é realizado.
plan.blocos = FrF2(nfactors = 3,
nruns = 2^3,
ncenter = 1,
blocks = 2,
replications = 2,
randomize = TRUE)
summary(plan.blocos)## Call:
## FrF2(nfactors = 3, nruns = 2^3, ncenter = 1, blocks = 2, replications = 2,
## randomize = TRUE)
##
## Experimental design of type FrF2.blocked.center
## 10 runs
## blocked design with 2 blocks of size 4
## each type of block independently conducted 2 times
##
## Factor settings (scale ends):
## A B C
## 1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1
##
## Design generating information:
## $legend
## [1] A=A B=B C=C
##
## $`generators for design itself`
## [1] full factorial
##
## $`block generators`
## [1] ABC
##
##
## no aliasing of main effects or 2fis among experimental factors
##
##
## The design itself:
## run.no run.no.std.rp Blocks A B C
## 1 1 6.1.3.1 1.1 1 -1 1
## 2 2 1.1.1.1 1.1 -1 -1 -1
## 3 3 7.1.4.1 1.1 1 1 -1
## 4 4 4.1.2.1 1.1 -1 1 1
## 5 5 0.1.0.1 1.1 0 0 0
## 51 6 8.2.4.1 2.1 1 1 1
## 6 7 3.2.2.1 2.1 -1 1 -1
## 7 8 2.2.1.1 2.1 -1 -1 1
## 8 9 5.2.3.1 2.1 1 -1 -1
## 11 10 0.2.0.1 2.1 0 0 0
## 9 11 4.1.2.2 1.2 -1 1 1
## 10 12 7.1.4.2 1.2 1 1 -1
## 111 13 6.1.3.2 1.2 1 -1 1
## 12 14 1.1.1.2 1.2 -1 -1 -1
## 13 15 0.1.0.2 1.2 0 0 0
## 131 16 5.2.3.2 2.2 1 -1 -1
## 14 17 3.2.2.2 2.2 -1 1 -1
## 15 18 8.2.4.2 2.2 1 1 1
## 16 19 2.2.1.2 2.2 -1 -1 1
## 17 20 0.2.0.2 2.2 0 0 0
## class=design, type= FrF2.blocked.center
## NOTE: columns run.no and run.no.std.rp are annotation, not part of the data frameUma nova coluna é adicionada ao design apresentado pela função summary para indicar os blocos no design, juntamente com a replicação associada.
Repetições Vs. Replicações
Os exemplos até agora envolveram o uso de replicações, isto é, a repetição idêntica de determinado experimento em uma diferente unidade experimental. Caso na mesma unidade experimental sejam feitas diferentes medições da mesma variável de interesse, denominamos este processo de repetição. Para uma maior discussão sobre estes conceitos veja Lawson (2015).
Para criar um design com repetições, adicionamos o termo repeat.only igual a “TRUE”, o que faz com que o número de replicações seja entendido como o número de repetições de cada experimento.
plan.repet = FrF2(nfactors = 3,
nruns = 2^3,
replications = 3,
repeat.only = TRUE,
randomize = FALSE)
summary(plan.repet)## Call:
## FrF2(nfactors = 3, nruns = 2^3, replications = 3, repeat.only = TRUE,
## randomize = FALSE)
##
## Experimental design of type full factorial
## 8 runs
## 3 measurements per run (not proper replications)
##
## Factor settings:
## A B C
## 1 -1 -1 -1
## 2 1 1 1
##
## The design itself:
## run.no run.no.std.rp A B C
## 1 1 1.1 -1 -1 -1
## 2 2 1.2 -1 -1 -1
## 3 3 1.3 -1 -1 -1
## 4 4 2.1 1 -1 -1
## 5 5 2.2 1 -1 -1
## 6 6 2.3 1 -1 -1
## 7 7 3.1 -1 1 -1
## 8 8 3.2 -1 1 -1
## 9 9 3.3 -1 1 -1
## 10 10 4.1 1 1 -1
## 11 11 4.2 1 1 -1
## 12 12 4.3 1 1 -1
## 13 13 5.1 -1 -1 1
## 14 14 5.2 -1 -1 1
## 15 15 5.3 -1 -1 1
## 16 16 6.1 1 -1 1
## 17 17 6.2 1 -1 1
## 18 18 6.3 1 -1 1
## 19 19 7.1 -1 1 1
## 20 20 7.2 -1 1 1
## 21 21 7.3 -1 1 1
## 22 22 8.1 1 1 1
## 23 23 8.2 1 1 1
## 24 24 8.3 1 1 1
## class=design, type= full factorial
## NOTE: columns run.no and run.no.std.rp are annotation, not part of the data frameNa tabela de design da função summary as repetições são indicadas da mesma forma que as replicações.
Personalização do design
Até o momento, todos os designs criados utilizaram a nomenclatura padrão para os níveis dos fatores (“-1” e “1”) e o nome dos fatores (A, B, C, …). Para personalizar esses parâmetros, usamos o argumento factor.names com a estrutura representada abaixo.
plan.person = FrF2(nruns = 16,
nfactors = 4,
replications = 1,
repeat.only = FALSE,
factor.names = list(
Temperatura = c(100, 200),
Catalisador = c("Ausente", "Presente"),
Solvente = c("Água", "Etanol"),
Misturador = c("off", "on")),
randomize = FALSE)
summary(plan.person)## Call:
## FrF2(nruns = 16, nfactors = 4, replications = 1, repeat.only = FALSE,
## factor.names = list(Temperatura = c(100, 200), Catalisador = c("Ausente",
## "Presente"), Solvente = c("Água", "Etanol"), Misturador = c("off",
## "on")), randomize = FALSE)
##
## Experimental design of type full factorial
## 16 runs
##
## Factor settings:
## Temperatura Catalisador Solvente Misturador
## 1 100 Ausente Água off
## 2 200 Presente Etanol on
##
## The design itself:
## Temperatura Catalisador Solvente Misturador
## 1 100 Ausente Água off
## 2 200 Ausente Água off
## 3 100 Presente Água off
## 4 200 Presente Água off
## 5 100 Ausente Etanol off
## 6 200 Ausente Etanol off
## 7 100 Presente Etanol off
## 8 200 Presente Etanol off
## 9 100 Ausente Água on
## 10 200 Ausente Água on
## 11 100 Presente Água on
## 12 200 Presente Água on
## 13 100 Ausente Etanol on
## 14 200 Ausente Etanol on
## 15 100 Presente Etanol on
## 16 200 Presente Etanol on
## class=design, type= full factorialUsaremos o design acima para as próximas etapas de um planejamento de experimentos em R. Esse exemplo se refere a um planejamento de experimentos para determinar os fatores mais significativos de uma reação química promovida em um reator em batelada.
Atualizando o design
Uma vez que salvamos nosso design em uma variável (plan.person), podemos atualizar o design com os resultados dos experimentos, na ordem que o design indica para realizá-los. Isso é feito com a função add.response que tem como argumentos, o design criado e os resultados do experimento.
resultados = c(760, 532, 761, 380, 708, 344, 542, 309,
854, 901, 642, 636, 826, 798, 511, 524)
plan.atualizado = add.response(design = plan.person, response = resultados)
summary(plan.atualizado)## Call:
## FrF2(nruns = 16, nfactors = 4, replications = 1, repeat.only = FALSE,
## factor.names = list(Temperatura = c(100, 200), Catalisador = c("Ausente",
## "Presente"), Solvente = c("Água", "Etanol"), Misturador = c("off",
## "on")), randomize = FALSE)
##
## Experimental design of type full factorial
## 16 runs
##
## Factor settings:
## Temperatura Catalisador Solvente Misturador
## 1 100 Ausente Água off
## 2 200 Presente Etanol on
##
## Responses:
## [1] resultados
##
## The design itself:
## Temperatura Catalisador Solvente Misturador resultados
## 1 100 Ausente Água off 760
## 2 200 Ausente Água off 532
## 3 100 Presente Água off 761
## 4 200 Presente Água off 380
## 5 100 Ausente Etanol off 708
## 6 200 Ausente Etanol off 344
## 7 100 Presente Etanol off 542
## 8 200 Presente Etanol off 309
## 9 100 Ausente Água on 854
## 10 200 Ausente Água on 901
## 11 100 Presente Água on 642
## 12 200 Presente Água on 636
## 13 100 Ausente Etanol on 826
## 14 200 Ausente Etanol on 798
## 15 100 Presente Etanol on 511
## 16 200 Presente Etanol on 524
## class=design, type= full factorialAs respostas aparecem à direita da tabela contendo o design. Em nosso exemplo, não foi realizada randomização dos experimentos.
Interpretação das respostas
As principais ferramentas para interpretar os resultados de um planejamento de experimentos são discutidas a seguir.
Efeitos Principais
Os efeitos principais demonstram o impacto individual de cada fator sobre a resposta. Usamos a função MEplot. Os gráficos indicam um impacto negativo quando a temperatura, catalisador e solvente vão para o nível superior do fator. O inverso ocorre com o uso do misturador.
MEPlot(plan.atualizado)
Interações
A matriz de interações, mostrada abaixo, é gerada pela função IAPlot. As interações Temperatura:Misturador e Catalisador:Misturador são as que indicam uma maior interação, pelo cruzamento das curvas sob nível maior e menor dos fatores.
IAPlot(plan.atualizado)
Significância dos fatores
A verificação da significância dos efeitos pode ser realizada conjuntamente de forma gráfica, e por inferência através do gráfico “half normal”, utilizando a função DanielPlot e definindo nela o nível de significância (alpha).
DanielPlot(plan.atualizado,
code = TRUE,
half = TRUE,
alpha = 0.1)
ATUALIZADO 09.06.2016
Conforme o manual da função: “the plot at signifcance level 10% shows the same significant effects as the linear model analysis at significance level 5%”.
FIM DA ATUALIZAÇÃO
Pelo gráfico “half normal”, as variáveis significativas são aquelas cuja tag aparece ao lado do ponto no gráfico. Em nosso caso, temos interações de até terceiro grau significativas.
Modelo de regressão
Para construir um modelo de regressão a partir dos resultados do design de experimentos, utiliza-se a função lm, tal como em um modelo de regressão linear, em conjunto com a função summary para observar diversas informações do modelo criado.
summary(lm(plan.atualizado))## Number of observations used: 16
## Formula:
## resultados ~ (Temperatura + Catalisador + Solvente + Misturador)^2
##
## Call:
## lm.default(formula = fo, data = model.frame(fo, data = formula))
##
## Residuals:
## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
## -28.00 35.75 36.50 -44.25 26.75 -34.50 -35.25 43.00 -19.25 11.50
## 11 12 13 14 15 16
## 10.75 -3.00 20.50 -12.75 -12.00 4.25
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 626.750 12.105 51.777 5.08e-08 ***
## Temperatura1 -73.750 12.105 -6.093 0.001724 **
## Catalisador1 -88.625 12.105 -7.322 0.000745 ***
## Solvente1 -56.500 12.105 -4.668 0.005494 **
## Misturador1 84.750 12.105 7.001 0.000916 ***
## Temperatura1:Catalisador1 -2.125 12.105 -0.176 0.867535
## Temperatura1:Solvente1 -2.750 12.105 -0.227 0.829278
## Temperatura1:Misturador1 77.000 12.105 6.361 0.001419 **
## Catalisador1:Solvente1 -10.125 12.105 -0.836 0.441033
## Catalisador1:Misturador1 -44.625 12.105 -3.687 0.014196 *
## Solvente1:Misturador1 9.750 12.105 0.805 0.457128
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 48.42 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9775, Adjusted R-squared: 0.9324
## F-statistic: 21.7 on 10 and 5 DF, p-value: 0.001674A análise do modelo e dos seus coeficientes é realizada da mesma forma que o modelo linear que desenvolvemos anteriormente. Destaca-se que o modelo default é composto por todos os termos de interação de segundo grau. Não necessariamente, aqueles que foram identificados como significativos pelo gráfico “half normal”.