Introdução

O objetivo é resolver o limite \(\lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{2}{\frac{n}{2} + 2}\right)^{3n}\). A ideia é utilizar o resultado a seguir, baseado em um limite fundamental:

\[ \begin{equation} \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{k}{n}\right)^{cn} = e^{ck} \label{teste} \end{equation} \]

Simplificar a expressão

Primeiro, vamos simplificar o a fração no limite acima multiplicando o numerador e denominador por 2:

\[ \left(1 - \frac{2(\times 2)}{\left(\frac{n}{2} + 2\right)(\times 2)}\right)^{3n} = \left(1 - \frac{4}{n + 4}\right)^{3n} \]

Agora, basta resolver a operação entre as frações:

\[ \begin{eqnarray} \left(1 - \frac{4}{n + 4}\right)^{3n} & = & \left(\frac{n + 4 - 4}{n + 4}\right)^{3n} \\ & = & \left(\frac{n}{n + 4}\right)^{3n} \end{eqnarray} \]

A fração acima pode ser invertida, desde que o sinal do expoente seja trocado.

\[ \left(\frac{n}{n + 4}\right)^{3n} = \left(\frac{n + 4}{n}\right)^{-3n} \]

Por último, uma nova simplificação pode ser feita na última fração do termo anterior:

\[ \left(\frac{n + 4}{n}\right)^{-3n} = \left(1 + \frac{4}{n}\right)^{-3n} \]

Compatibilizando com limite fundamental

Dadas as operações acima, temos a seguinte igualdade:

\[ L = \lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{2}{\frac{n}{2} + 2}\right)^{3n} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{4}{n}\right)^{-3n} \]

Comparando com o limite fundamental da segunda equaçao, temos \(k = 4\) \(c = -3\), portanto:

\[ L = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{4}{n}\right)^{-3n} = e^{-3 \times 4} = e^{-12} \]

Ilustração gráfica

O gráfico abaixo ilustra a evoluçao da funçao \(f(n) = \left(1 - \frac{2}{\frac{n}{2} + 2}\right)^{3n}\), com \(n \to \infty\). A linha vermelha na horizontal representa o limite \(L = e^{-12}\). O código executavel em software R, usado para gerar o gráfico, também segue abaixo.

funcao <- function(x)(1 - 2/(x/2 + 2))^(3*x)
curve(funcao,from=1,to = 10,ylab = "f(n)",xlab = "n",type = "l")
abline(h = exp(-12),col = "red",lwd = 2)