\title{Stochastik PS - Blatt 7}

\section*{Aufgabe 2}

Welche Werte muss \(c\), haben damit die Funktion \[f(x) = \begin{cases} \cr c(4 - x^2) &\text{ für }- 2 < x < 2 \\ \cr 0 &\text{ sonst} \end{cases}\] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?

\begin{align} \int_{-2}^{2}c(4-x^2)dx \overset{!}{=} 1 \iff c\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = 1 \iff c \cdot \frac{32}{3} = 1 \end{align}

So \(c = 3/32\).

\section*{Aufgabe 3}

Es sei \(\Phi(x)\) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Zeigen Sie, dass \(\Phi(x) = 1-\Phi(-x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\).

Im folgenden wird hauptsächlich über die symmetrische Eigenschaft der Standardnormalverteilung argumentiert, da der Beweis über Integration erfolglos blieb.

Da die Standardnormalverteilung achsensymetrisch um \(0\) ist, gilt: \(f(x) = f(-x)\). Dies lässt sich leicht überprüfen, da \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\minus\frac{1}{2}x^2} = f(-x).\)

Ferner ist als Hinweis angegeben, dass \(lim_{x\rightarrow\infty}\Phi(x) = 1\).

Somit gilt:

\begin{align} 1 &= \lim_{x\rightarrow\infty}\Phi(x) = \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{\minus\infty}^x f(t)\mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{\minus \infty}^0 f(t)\mathrm{d}t + \lim_{x\rightarrow\infty}\int_{0}^x f(t)\mathrm{d}t = \\ &= \lim_{x\rightarrow\infty} \int_0^x f(\minus t)\mathrm{d}t + \lim_{x\rightarrow\infty}\int_0^x f(t)\mathrm{d}t \\ \end{align}

Also folgt hieraus:

\begin{align} 1-\lim_{x\rightarrow\infty} \int_0^x f(\minus t)\mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow\infty}\int_0^x f(t)\mathrm{d}t \end{align}

Unsicher, ob das bisher gezeigte für die Aufgabe brauchbar ist, ausser um zu zeigen, dass \(\int_{\minus\infty}^0f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2} = \int_0^{\infty}f(x)\mathrm{d}x\)

Eben folgenden Einfall gehabt:

Betrachtet \(\Phi(x)\). Laut Definition gilt:

\begin{align} \Phi(x) = \int_{\minus\infty}^x f(x) \underset{\text{Sym.+Def.}}{=} \int_{\minus\infty}^{\minus x} f(x) + 2\cdot\left(\minus\frac{1}{2}+\int_{\minus\infty}^xf(x)\right) \underset{Def.}{=} \Phi(-x) + 2\cdot\Phi(x) -1 \end{align}

Umformung ergibt nun:

\begin{align} \Phi(x) = 1 - \Phi(-x) \end{align} \section*{Aufgabe 4}\subsection{Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung.}

Die zufällige Lebensdauer einer Glühbirne wird als exponentialverteilt angenommen, d.h. sie wird für ein \(\lambda > 0\) mittels des Wahrscheinlichkeitsraums \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu_{\lambda})\) modelliert. Für \(a, b \geq 0\) bezeichne \(C\) das Ereignis, dass die Glühbirne länger als \(b + a\) Stunden hält, und \(A\) das Ereignis, dass sie nicht in den ersten \(a\) Stunden versagt. Was ist die Wahrscheinlichkeit von \(C\) gegeben dem Ereignis \(B\) , dass die Glühbirne bereits \(b\) Stunden gehalten hat? Zeigen Sie, dass \(\mu_{\lambda}(C|B) = \mu_{\lambda}(A)\).

Berechne zunächst \(\mu_{\lambda}(A)\) via Exponentialverteilung:

\begin{align} \mu_\lambda((a,\infty)) = \int_a^\infty \lambda e^{\minus\lambda x}\mathrm{d}x=e^{\minus\lambda a} \end{align}

Dasselbe für \(B\):

\begin{align} \mu_\lambda((b,\infty)) = \int_b^\infty \lambda e^{\minus\lambda x}\mathrm{d}x=e^{\minus\lambda b} \end{align}

Analog für \(C\): \(C = \mu_\lambda((a+b),\infty))=e^{\minus\lambda (a+b)}\).

Also:

\begin{align} \mu_\lambda(C|B) &= \\ =&\frac{\mu_\lambda (C\cap B)}{\mu_\lambda (B)} = \frac{\mu_\lambda (((a+b),\infty)\cap (b,\infty))}{\mu_\lambda ((b,\infty))} = \frac{\mu_\lambda ((a+b),\infty)}{\mu_\lambda (b)} = \frac{e^{\minus\lambda (a+b)}}{e^{\minus\lambda b}} = e^{\minus\lambda b} \\ =& \mu_\lambda (A). \end{align} \section*{Aufgabe 5}\subsection{Schokoladenfabrik} In einer Fabrik werden maschinell Schokoladentafeln hergestellt. Auf dem Etikett einer jeden Tafel wird ein Gewicht von 200 g angegeben. Aus Erfahrung weißt man, dass das Gewicht normalverteilt ist und zwar mit Erwartungswert \(\mu = 198\) und Standardabweichung \(\sigma = 3\) . Der kleine Charlie darf sich bei einer Führung durch die Schokoladenfabrik eine Tafel aussuchen. Nun hofft er natürlich auf besonders viel Schokolade. \begin{tasks} \task Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, um dieses Experiment zu modellieren. $$\left(\R, \bee(\R), \mathcal{N}_{\mu, \sigma^2}\right)$$ \task Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Schokoladentafel mehr als 205 g wiegt? \begin{align} \mathcal{N}_{198, 9}(\left[205, \infty\right]) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 3}\int_{205}^{\infty} \exp(-\frac{(x-198)^2}{2\cdot9})\mathrm{d}x \approx 0.00981 \end{align} \task Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt die Tafel zwischen 195 g und 200 g? \begin{align} \mathcal{N}_{198, 9}(\left[195, 200\right]) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 3}\int_{195}^{200} \exp(-\frac{(x-198)^2}{2\cdot 9})\mathrm{d}x \approx 0.589 \end{align} \end{tasks}

R code:

sigma.squared <- 3^2
sigma <- sqrt(sigma.squared)
mu <- 198
 
from <- 195 #205 für b)
to <- 200 #Unendlich für b)
 
const <- 1/sqrt(2*pi*sigma^2)
integrand <- function(x) {const * exp(-(((x-mu)^2)/(2*sigma^2)))}
 
solution <- integrate(integrand, from, to)
solution
## 0.5888522 with absolute error < 6.5e-15

Plot:

#Transform plot data into data frame
range = sigma
df <- data.frame(seq(from-2*range, to+2*range, .1),integrand(seq(from-2*range, to+2*range, .1)))
colnames(df)<- c('x','y')

#Area Under the Curve
#First subst the data and add the coordinates to make it shade to y = 0
auc <- subset(df, x >from & x < to)

#Finally create the plot using ggplot2
p3 <- ggplot(data=df, aes(x=x, y=y)) + 
  geom_line() + 
  geom_area(data=auc, fill="#099dd9", alpha=.5) +
  scale_x_continuous(breaks=seq(from-3, to+3,2))+
  scale_y_continuous(breaks=seq(0,.3,.025))+
  xlab("Gewicht in Gramm") +
  ylab("Wahrscheinlichkeitsdichte") + 
  ggtitle("Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion - Normalverteilung")

#Uncomment to see the ggplot2 plot
p3

# Creating a fancy plotly plot (HTML only)
#plot_ly(p3)
\newpage \section*{Aufgabe 6}

Es sei \(\Omega = [0, 1]\) und \(\mathcal{F} = \{\emptyset, \Omega, [0, 0.25), [0.25, 1]\}\). Welche der folgenden Funktionen \(f : [0, 1] \rightarrow \R\) sind Zufallsvariablen?

Zu überprüfen: ob für alle \(y \in \bee(\R) \Rightarrow f^{-1}(x)\in \mathcal{F}\).

\begin{tasks} \task $f(x) = \chi_{[0.25,1]}$ \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } 0.25 \leq x \leq 1\\ 0 &\text{ sonst} \\ \end{cases} \] Da sowohl $1$ als auch $0$ $\in \mathcal{F}$ handelt es sich hier um eine Zufallsvariable. \task $f(x) = x^2$ Für jedes $x \in \Omega$ gilt $f(x) \leq x$ $\in \mathcal{F}$. Somit handelt es sich hier ebenfalls um eine Zufallsvariable. \task $f(x) = -\chi_{[0,0.5]} + \chi_{[0.25,0.5]}$ \[f(x) = \begin{cases} \minus 1 &\text{ für } 0\leq x < 0.25\\ %1 &\text{ für } 0.25\leq x\leq 0.5\\ 0 &\text{ sonst}\\ \end{cases} \] Somit keine Zufallsvariable, da der Wert $\minus 1\notin \mathcal{F}$ angenommen werden kann. \task $f(x) = 5$ Hierbei handelt es sich um eine konstante Funktion, die unabhängig von $x$ immer den Wert $5$ ausgibt. Da $5 \notin \mathcal{F}$ ist diese Funktion auch keine Zufallsvariable. \end{tasks}