Addiere die beiden Gleichungen. Somit heben sich auf der rechten Seite der Gleichung alle Glieder auf, bis auf \(-1\) und \(x^{n+1}\) (Da in Gleichung (1) die Folge von \(x\) bis \(x^{n+1}\) geht und in (2) von \(-1-x-...\) bis \(x^n\), also bleibt \(-1\) aus (2) übrig und \(x^{n+1}\) aus (1)). Also folgt aus der Addition:
\begin{align} xs_n - s_n = -1 + x^{n+1} \end{align}Forme diese Gleichung nun um, indem erst mit \(-1\) multipliziert und anschliessend \(s_n\) ausgeklammert wird
\begin{align} xs_n - s_n = -1 + x^{n+1} \iff s_n - xs_n = 1 - x^{n+1} \iff s_n(1-x) = 1 - x^{n+1} \end{align} und schliesslich durch \((x-1)\) geteilt wird: \begin{align} s_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{align}Bei \(s_n\) handelt es sich um eine Folge. Erkenne dass hier die geometrische Reihe vorliegt bzw. die Folge ihrer Partialsummen (Wikipedia falls nicht in Analysis schon behandelt). Für diese gilt \(\lim_{k\rightarrow\infty} q^k = 0\) für \(|q| < 1\) (\(q^k\) ist in unserem Fall \(x^{n+1}\), mit \(x=q, n+1=k\)). Da \(-1 < x < 1\) konvergiert also \(x^{n+1}\) gegen \(0\). Es folgt daraus schliesslich:
\[s_n = \frac{1}{1-x}\]