Resolver a) usando el primer teorema fundamental del cálculo, b) usando el segundo teorema fundamental del cálculo y luego derivando el resultado.

Solución: \[\begin{equation} \frac{d}{dx}\int_{1}^{3(x+1)^2} (3t^2+1) \cdot dt \end{equation}\]

Haciendo el cambio \(u=3(x+1)^2\); \(\frac{du}{dx}=6(x+1)\) se obtiene la primera igualdad \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int_{1}^{3(x+1)^2} (3t^2+1)dx&=&\frac{d}{du}\int_{1}^{u} (3t^2+1)dt \cdot 6(x+1) \\ &=&(3u^2+1)6(x+1) \text{ Por TFC I}\\ &=&\left(3\left(3\left(x+1\right)^2\right)^2+1\right)6(x+1) \text{ Devolviendo el cambio}\\ &=&\left(3^3\left(x+1\right)^4+1\right)6(x+1) \text{ Prop. Potenciación}\\ &=&3^3\cdot6(x+1)^5+6(x+1) \text{ Prop. Dist.}\\ &=&162(x+1)^5+6(x+1) \end{eqnarray*}

Usando el segundo teorema fundamental del cálculo y luego derivando el resultado

\[ \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int_{1}^{3(x+1)^2} (3t^2+1)dt&=&\frac{d}{dx}(t^3+t)\Bigg|_{1}^{3(x+1)^2} \text{ TFC II}\\ &=&\frac{d}{dx}\left(\left(3\left(x+1\right)^2\right)^3+3(x+1)^2-1^3-1\right)\text{ Eval. en los límites de int.}\\ &=&3^3\cdot6(x+1)^5+6(x+1)\text{ Prop. Potenciación y derivando.}\\ &=&162(x+1)^5+6(x+1) \end{eqnarray*} \]