DISTRIBUCION CHI CUADRADO

Autores:
Angelica Lopez
Nicolas Lopez

ORIGEN

El matemático inglés Karl Pearson (1857 / 1936), con formación en literatura medieval alemana, derecho romano, física, biología y teoría política del socialismo, hasta 1890 sobresalió por aplicar ampliamente la Estadística y la Teoría de la Probabilidad a la solución de diferentes problemas de la ingeniería industrial.
Se deriva de la distribucion normal y la distribucion gamma.

CARACTERISTICAS PRINCIPALES

La distribución tiene un solo parámetro, k, denominado grados de libertad de la variable aleatoria.
La variable aleatoria continua X tiene una distribución chi cuadrada, con k grados de libertad, si su función de densidad es dada por:


donde k es un entero positivo.

FORMULA X2


La media y la varianza de la distribución chi cuadrado son respectivamente k y 2k.

EJEMPLO

Un investigador está interesado en evaluar la asociación entre el uso de cinturón de seguridad en vehículos particulares y el nivel socioeconómico del conductor del vehículo. Con este objeto se toma una muestra de conductores a quienes se clasifica en una tabla de asociación, encontrando los siguientes resultados:

DATOS

Uso cinturon
Nivel socioeconomico Si No Total
Bajo 8 13 21
Medio 15 16 31
Alto 28 14 42
Total 51 43 94
¿Permiten estos datos afirmar que el uso del cinturón de seguridad depende del nivel socioeconómico? Usaremos un nivel de significación alfa=0,05.

HIPOTESIS

H0: El uso del cinturón de seguridad es independiente del nivel socioeconómico
H1: El uso del cinturón de seguridad depende del nivel socioeconómico

TABLA DE VALORES OBSERVADOS

Uso cinturon
Nivel socioeconomico Si No
Bajo 8 13
Medio 15 16
Alto 28 14

TABLA DE FRECUENCIAS ESPERADAS

Estas son las frecuencias que debieran darse si las variables fueran independientes, es decir, si fuera cierta la hipótesis nula.

Nivel bajo:         8: (21x51/94)=11.4                   13: (21x43/94)=9.6
Nivel medio:      15: (31x51/94)=16.8                 16: (31x43/94)=14.2
Nivel alto:          28: (42x51/94)=22.8                 14: (42x43/94)=19.2

Uso cinturon
Nivel socioeconomico Si No
Bajo 11.4 9.6
Medio 16.8 14.2
Alto 22.8 19.2

X2 CALCULADO

X2calc = ((8-11.4)2/11.4) + ((13-9.6)2/9.6) + ((15-16.8)2/16.8) + ((16-14.2)2/14.2) + ((28-22.8)2/22.8) + ((14-19.2)2/19.2)
X2calc = 1.014 + 1.204 + 0.193 + 0.228 + 1.186 + 1.408
X2calc = 5.23

GRADOS DE LIBERTAD

Teniendo en cuenta los valores observados, los grados de libertad se calculan de la siguiente manera:

k = (Cantidad de filas - 1)*(Cantidad de columnas - 1)
k = (3 - 1)*(2 - 1)
k = 2

NIVEL DE SIGNIFICANCIA

Es el error que se puede cometer al rechazar la hipotesis nula siendo verdadera. Al comienzo elegimos un nivel de significancia alfa=0,05 , que indica que hay una probabilidad de 0.95 de que la hipotesis nula sea verdadera

X2 CRITICO

El valor del X2 critico se debe buscar en la tabla de Valores Criticos de la distribucion X2, con 2 grados de libertad y alfa = 0.05
Para este ejemplo en particular, el valor del X2 critico es de 5.99.

COMPARACION ENTRE EL X2calc Y EL X2crit

Si el valor del X2calc es menor o igual que el X2crit, entonces se acepta la hipotesis nula. En caso contrario no se la acepta
En este caso, se tiene entonces lo siguiente:

X2calc < X2crit
5.23 < 5.99

Por tanto, la desicion es aceptar la hipotesis nula, H0: El uso del cinturon de seguridad es independiente del nivel socioeconomico.

EJEMPLO EN R

Nivel_socioeconomico<-c(rep("Bajo",21), rep("Medio",31), rep("Alto",42))
Uso_cinturon<-c(rep("Si",8), rep("No",13), rep("Si",15), rep("No",16), rep("Si",28), rep("No",14))
.Table_est2<-table(Nivel_socioeconomico,Uso_cinturon)
.Table_est2

##                     Uso_cinturon
## Nivel_socioeconomico No Si
##                Alto  14 28
##                Bajo  13  8
##                Medio 16 15

chisq.test(.Table_est2)

## 
## 	Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  .Table_est2
## X-squared = 5.2466, df = 2, p-value = 0.07256

APLICACIONES EN EL CAMPO DE LA INGENIERIA

Sus usos son determinar la resistencia, la fuerza o la durabilidad de aleaciones, resortes, engranajes, materias primas, etc.

RELACION CON OTRAS DISTRIBUCIONES

La distribucion chi cuadrado es un caso especial de la distribucion gamma.

BIBLIOGRAFIA

Walpole, myers, myers, Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias. 2012 Editorial Pearson, Novena edicion.

La chi cuadrada. Disponible en: http://www.buenastareas.com/ensayos/La-Chi-Cuadrada/5786882.html [citado en 22 de marzo de 2016]

La prueba de ji-cuadrado. Disponible en: http://www.medwave.cl/link.cgi/Medwave/Series/MBE04/5266 [citado en 22 de marzo de 2016]