Sustituciones para racionalizar

Los radicales en un integrando siempre son problemáticos y por lo común tratamos de librarnos de ellos. Con frecuencia, una sustitución apropiada racionalizará el integrando.

Integrandos que incluyen \(\sqrt[n]{ax+b}\). Si \(\sqrt[n]{ax+b}\) aparece en una integral, la sustitución \(u=\sqrt[n]{ax+b}\) eliminará el radical.

Ejemplo: Calcule \[\int t(3t+2)^\frac{3}{2} dt \]

\[Solución\]

Observese que cada vez que se esté en presencia de una potencia en forma de fracción, esta puede ser expresada como una expresión radical (o viceversa), como se muestra a continuación:

\(\int t \sqrt[2]{(3t+2)^3}dt=\int t(3t+2)^\frac{3}{2}dt\)

Hacemos el cambio \[u=\sqrt[2]{(3t+2)} = (3t+2)^\frac{1}{2}\] de modo que \[u^2=3t+2\] y

\[2udu=3dt\]

luego

\[\frac{2}{3}udu=dt\]

Retomando la integral tenemos que: \[\int t(3t+2)^\frac{3}{2}dt=\int\frac{(u^2-2)}{3} u^3 \frac{2}{3}udu\]

luego distribuimos y obtenemos:

\[\frac{2}{9}\int(u^6-2u^4)du\]

Aplicamos linealidad de la integral:

\[\frac{2}{9}(\frac{u^7}{7}-\frac{2}{5}u^5)+C\] #Devolvemos el cambio: \[\frac{2}{63}(3t+2)^\frac{7}{2}-\frac{4}{45}(3t+2)^\frac{5}{2}+C\]

En resumen

\[ \begin{eqnarray*} \int t(3t+2)^\frac{3}{2}dx&=&\int\frac{(u^2-2)}{3} u^3 \frac{2}{3}udu\\ &=&\frac{2}{9}\int(u^6-2u^4)du\\ &=&\frac{2}{9}(\frac{u^7}{7}-\frac{2}{5}u^5)+C\\ &=&\frac{2}{63}(3t+2)^\frac{7}{2}-\frac{4}{45}(3t+2)^\frac{5}{2}+C \end{eqnarray*} \]