De martingale strategie houdt in dat de inzet op een roulette steeds verdubbeld wordt tot er eens wordt gewonnen. Het idee is dat het voorheen ingezet bedrag vroeg of laat in één spel kan worden teruggewonnen. Dit is echter het bewijs dat de martingale strategie een nuloperatie is bij een eerlijke roulette.

We kiezen \(x\) voor voor de inzet waarmee we beginnen. \(n\) is het aantal spelletjes dat we (kunnen) spelen. \[ \begin{aligned} &x = \text{startinzet}\\ &n = \text{aantal spellen} \end{aligned} \]

In functie van \(x\) en \(n\) stellen we vier expressies op die we nodig hebben in de formule van de verwachting \(E[X] = x_1p_1 + x_2p_2\): het winstbedrag (\(x_1\)), de winstkans (\(p_1\)), het verliesbedrag (\(x_2\)), en de verlieskans (\(p_2\)). De formule zal aangeven wat de te verwachten winst (of verlies) is op de lange termijn als we \(n\) keer de roulette zouden spelen na telkens de startinzet \(x\) te hebben verdubbeld.

  1. De waarde bij winst (\(x_1\)) is steeds precies de startinzet \(x\). Als ik begin met een inzet van 1 euro en win na twee keer verdubbelen, heb ik 7 euro ingezet en 8 euro teruggekregen. Mijn winst is 1 euro. \[\text{winstbedrag}\ x_1 = x\]
  2. De waarde bij verlies (\(x_2\)) is al het ingezet geld samengeteld. Dat kunnen we uitdrukken door \(-(2^n-1)x\). Als ik met 1 euro begin en 5 spelletjes op rij verlies, sta ik 31 euro in de min. Het potentiële verlies ligt dus veel hoger dan het winstbedrag. \[\text{verliesbedrag}\ x_2 = -(2^n-1)x\]
  3. De kans op verlies (\(p_2\)) is uit te drukken door \(\frac{1}{2^n}\). Hoe meer spelletjes we spelen, hoe kleiner de kans dat we ze allemaal verliezen. Spelen we drie keer, dan hebben we een verlieskans van 12.5%. \[\text{verlieskans}\ p_2 = \frac{1}{2^n}\]
  4. De kans op winst (\(p_1\)) is het complement van de verlieskans, en kan dus uitgedrukt worden door \(1-\frac{1}{2^n}\). Hoe meer spelletjes we spelen, hoe groter de kans dat we wel eens zullen winnen. Acht keer spelen geeft me al een winstkans van 99.6%. \[\text{winstkans}\ p_1 = 1-\frac{1}{2^n}\]

Vullen we de expressies in in de formule van de verwachting, dan verkrijgen we de volgende vergelijking.

\[ \begin{aligned} E[X] &= x_1p_1 + x_2p_2 \\ & = x(1-\frac{1}{2^n}) -(2^n-1)x\frac{1}{2^n} \\ & = x - \frac{x}{2^n} - (2^nx-x)\frac{1}{2^n} \\ & = x - \frac{x}{2^n} - x + \frac{x}{2^n}\\ & = 0 \end{aligned} \]

De verwachte waarde is 0, wat betekent dat de winst en het verlies van de martingale strategie elkaar op lange termijn compenseren. Enerzijds is er een grote kans op een beperkte winst, anderzijds is er een kleine kans op een groot verlies. De martingale strategie is op lange termijn dus een nuloperatie voor gelijk welke startinzet en gelijk welk aantal verdubbelingen bij een eerlijke roulette.