Cálculo da integral de uma distribuição Normal

Método geométrico

Utilizando o método geométrico por soma das áreas do retângulos (n representa retângulos na aproximação), pode-se determinar a área da distribuição normal. Para o cálculo da integral utiliza-se a função de densidade de probabilidade ou simplesmente função de densidade aplicado para representar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua,representada pela função:

• \(F(x)=(1/\sqrt{2\pi}*sigma)exp^{-((x-mi)^2*sigma^2)}\)

Comparando o desempenho da função com o comando pnorm do R

A função de densidade de probabilidade foi definida através do R por:

No caso em que a Normal é Normal(100,30),os pares a baixo da curva foram calculados para os valores entre:

int.area<-function(a,b,mi,sigma, n){
  x=seq(a,b,length.out=n)
     y=(x-mi)/sigma
     area= (b-a)/n*(1/(sqrt(2*pi)*sigma))*exp(-1/2*(y^2))
     prob=sum(area)
     prob
  }

• a=35, b=72
• a=-infinito, b=10
• a=200, b=infinito

Para: \(a=35, b=72\)

Utilizando o pnorm do R:

pnorm(72,100,30)-pnorm(35,100,30)

## [1] 0.1601938

Já utilizando a fórmula o resultado para \(n=1000\), a exemplo, foi:

int.area(35,72,100,30,1000)

## [1] 0.1602163

O valor mínimo requerido para que n aproxime do valor obtido por pnorm, para garantir que tenha pelo menos 4 decimais corretas no resultado é n=3660, cujo valor é:

int.area(35,72,100,30,3660)

## [1] 0.1601999

Para: \(a=-infinito, b=10\)

Utilizando o pnorm do R:

pnorm(10,100,30)-pnorm(-1000000,100,30)

## [1] 0.001349898

Já utilizando a fórmula o resultado para \(n=1000\), a exemplo, foi:

int.area(-1000000,10,100,30,1000)

## [1] 0.1477298

O valor mínimo requerido para que n aproxime do valor obtido por pnorm, para garantir que tenha pelo menos 4 decimais corretas no resultado está entre 1.000.000 a 2.000.000, cujo valor de 2.000.000 é:

int.area(-1000000,10,100,30,2000000)

## [1] 0.001387138

Para: \(a=200, b=infinito\)

Utilizando o pnorm do R:

pnorm(1000000,100,30)-pnorm(200,100,30)

## [1] 0.0004290603

Já utilizando a fórmula o para \(n=1000\), por exemplo, foi:

int.area(200,1000000,100,30,1000)

## [1] 0.05139902

O valor mínimo requerido para que n aproxime do valor obtido por pnorm, para garantir que tenha pelo menos 4 decimais corretas no resultado está entre 300.000 a 400.000, cujo valor de 400.000 é:

int.area(200,1000000,100,30,400000)

## [1] 0.0004962791