Obtendo o limite superior de \(\Pi\) através de geometria básica

Introdução

A presente nota técnica busca encontrar um limite superior para \(\pi\) através de círculos inscritos através de poligonos regulares de 96 faces ou mais. Há vários métodos para o cálculo de \(\pi\), o método utilizado nesta nota técnica é chamado de “método clássico” o pioneiro na utilização deste método foi Arquimedes que calculou, justamente, o número de pi com a utilização de um polígono regular de 96 faces.

Limite superior para \(\pi\) por hexágono circunscrito

Considerando a Figura 1. como exemplo, tomamos um hexágono circunscrito em um círculo com diâmetro 2 e raio 1. O hexágono pode ser construído por 6 triângulos equiláteros, em que o lado de cada um deles tem valor ‘s’.

Figura 1.: Hexágono circunscrito em círculo

Tomando a medida de parímetro para um círculo qualquer como 2\(\pi\)r, temos que o perímetro do circulo inscrito no hexágono, \(P_c\), da Figura 1 é igual a:

• \(P_c=2\pi.\)

Já o perímetro do hexágono, representado por \(P_h\), será equivalente a \(6s\) facilmente encontrado por Pitágoras:

Figura 2.:Triângulo equilátero e triângulo retângulo - descobrindo o valor de s

s² = 1²+ (s/2)² COLOCAR AS DEMONSTRAÇÕES AQUI

Obtem-se, assim, \(P_h\) que servirá para encontrarmos o limite superior de \(\pi\), pois neste caso:

• \(P_c<P_h\)

Fica claro que, quanto maior o número de lados do poligono circunscrito, mais próximo ao valor de \(\pi\) o limite superior estará. Desta forma, tomamos um dodecágono (12 lados) no lugar do hexágono.

Limite superior para \(\pi\) por dodecágono inscrito

Quando observamos um dodecágono, polígono regular de 12 faces, circunscrito a um círculo vemos que a relação se mantém. Observe a Figura 3., a seguir:

Figura 3.: Dodecágono e Hexágono circunscritos em círculo

Podemos novamente aplicar Pitágoras ao triângulo equilátero de lados s/2 que compõe o dodecágono. O perímetro do dodecágono será equivalente a 12(s/2), \(P_d\).

• \((s/2)^2=(s/4)^2+1^2\)
• \(s^2/4=s^2/16+1\)
• \(s^2=s^2/4 + 4\)
• \(4s^2-s^2=4\)
• \(3s^2=4\)
• \(s^2=4/3\)
• \(s=2\sqrt{3}/3\)

Logo, podemos concluir que:

• \(P_d = 12\) x \(2\sqrt{3}/3\)

E:

• \(P_c=2\pi>12\) x \(2\sqrt{3}/3\)

Utilizando o R para a resolução dos cálculos temos: