A distribuição Normal é uma distribuições de probabilidade contínua. ela é especificada através de dois parâmetros: a média (\(\mu\)) e o desvio padrão (\(\sigma\)). Deste modo denota-se a distribuição norma como: N(\(\mu\),\(\sigma\)).
E a função é descrita como: \[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}*e^\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\] A distribuição normal é uma das distribuições mais importantes em estatística. Ela é muito utilizada em ciências biológica e ciências sociais para descrever o comportamento de variáveis aleatórias cujas as distribuições não são realmente conhecidas. Esta distribuição surgiu a partir do Teorema de Limite Central, que em sua forma mais geral diz:
“A média de amostras aleatórias retiradas indenpedentemente de distribuições independentes covergem em uma distribuição normal, ou seja, elas se tornam normalmente distribuídas quando o número de amostras aleatórias for suficientemente grande.”
Neste traballho vamos calcular a integral de uma distribuição Normal(\(\mu\),\(\sigma\)), através da função com o nome intnorm(\(x_0\),\(x_1\),\(\mu\),\(\sigma\), n) definida no software R Statistcs, que possibilitou o cálculo da integral defininda entre dois pontos \(x_0\),\(x_1\) quaisquer, de uma distribuição Normal com esperança matemática \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\) , usando um método geométrico por soma de retângulos.
Para o cálculo da integral da distribuição Normal será utilizado o método geométrico por soma de retângulos. Este consiste possibilita calcular a integral definida em dois pontos \(x_0\),\(x_1\) quais querde uma distribuição Normal com esperança matemática \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\). Onde as áreas dos retângulos sob a curva da distribuição normal resultarão na probabilidade estatística de um valor estar no intervalo \([x_0,x_1]\). A função normal é descrita pela seguinte fórmula: \[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}*e^\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\] Esta será muito útil pois o valor de \(f(x)\) corresponderá a altura de cada retângulo. e a base do retângulo, descrita como delta será:
\[\Delta=\frac{x_1-x_0}{n}\] onde \(n\) é o número de retângulos no intervalo \([x_0,x_1]\), e assim quanto maior o valor de \(n\) melhor será a aproximação do valor calculado pela integral.
Abaixo, nos comando do R Statistcs, pode-se observar que a função mnorm define a função normal f(x) e a função intnorm define a integral definida em dois pontos (\(x_0\),\(x_1\)).
Considerando uma distribuição Normal(\(\mu = 100\),\(\sigma = 30\)), o cáculo da área compreendida entre os pontos (\(x_0=35\),\(x_1=72\)) será feito da segntinte forma:
mnorm<-function(x, m, dp){
(1/(sqrt(2*pi)*dp))*exp(-((x-m)^2)/(2*dp^2))
}
intnorm<-function(x0, x1, m, dp, n){
delta<-(x1-x0)/n
vectr<-0 : (n-1)
vectx<-x0+vectr*delta
vecty<-mnorm(vectx, m, dp)
sum(vecty*delta)
}
pnorm(72,100,30)-pnorm(35,100,30)## [1] 0.1601938intnorm(35,72,100,30,1000)## [1] 0.1600582intnorm(35,72,100,30,2000)## [1] 0.160126intnorm(35,72,100,30,3000)## [1] 0.1601486intnorm(35,72,100,30,4000)## [1] 0.1601599intnorm(35,72,100,30,100000)## [1] 0.1601924Pela função pnorm podemos obervar que 0.1601938 é o melhor valor aproximado da área sob a curva delimitada por estes pontos. E ao rodar para 2000 retângulos vemos que já obtêm-se um valor com 4 casas decimais iguais ao valor da pnorm.
Considerando uma distribuição Normal(\(\mu = 100\),\(\sigma = 30\)), o cálculo da área compreendida entre os pontos (\(x_0=-\infty\),\(x_1=10\)) será feito da segntinte forma:
mnorm<-function(x, m, dp){
(1/(sqrt(2*pi)*dp))*exp(-((x-m)^2)/(2*dp^2))
}
intnorm<-function(x0, x1, m, dp, n){
delta<-(x1-x0)/n
vectr<-0 : (n-1)
vectx<-x0+vectr*delta
vecty<-mnorm(vectx, m, dp)
sum(vecty*delta)
}
pnorm(10,100,30)-pnorm(-1000000,100,30)## [1] 0.001349898intnorm(-1000000,10,100,30,6000000)## [1] 0.001337621intnorm(-1000000,10,100,30,7000000)## [1] 0.001339371intnorm(-1000000,10,100,30,8000000)## [1] 0.001340684Pela função pnorm podemos obervar que 0.001349898 é o melhor valor aproximado da área sob a curva delimitada por estes pontos. E ao rodar para para valor de retângulos entre 7 e 8 milhões vemos que já obtêm-se um valor com 4 casas decimais iguais ao valor da pnorm.
Considerando uma distribuição Normal(\(\mu = 100\),\(\sigma = 30\)), o cálculo da área compreendida entre os pontos (\(x_0=200\),\(x_1=+\infty\)) será feito da segntinte forma:
mnorm<-function(x, m, dp){
(1/(sqrt(2*pi)*dp))*exp(-((x-m)^2)/(2*dp^2))
}
intnorm<-function(x0, x1, m, dp, n){
delta<-(x1-x0)/n
vectr<-0 : (n-1)
vectx<-x0+vectr*delta
vecty<-mnorm(vectx, m, dp)
sum(vecty*delta)
}
pnorm(1000000,100,30)-pnorm(200,100,30)## [1] 0.0004290603intnorm(200,100000,100,30,20000)## [1] 0.0005691351intnorm(200,100000,100,30,30000)## [1] 0.0005198303intnorm(200,100000,100,30,40000)## [1] 0.0004961539intnorm(200,100000,100,30,50000)## [1] 0.0004822621Pela função pnorm podemos obervar que 0.0004290603 é o melhor valor aproximado da área sob a curva delimitada por estes pontos. E ao rodar para para valor de retângulos entre 30 e 40 mil vemos que já obtêm-se um valor com 4 casas decimais iguais ao valor da pnorm.