Limite superior para \(\pi\)
João Manoel do Prado Gambardella
04 de março de 2016
Resumo
Arquimedes (287-212 AC) foi um dos pioneiros a calcular \(\pi\) através do método geométrico, considerando polígonos regulares de 96 faces, o que permitiu calcular o seu valor com aproximação de 20 casas decimais. Assim expondo um dos principais metódos de prova.
Este trabalho não visa produzir os limites de \(\pi\) com o maior número de casas decimais corretas. Este é apenas um trabalho didático que servirá como uma forma de exercitar o método de prova geométrica e também como um estímulo à busca de conhecimento em em programação em R e RMarkdown. Assim, para exercitar o método de prova geométrica, foi feito o cálculo do limite superior de \(\pi\) usando círculos inscritos dentro de polígonos regulars, com 96 ou mais faces.
Introdução
O número \(\pi\) representa a razão entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro. Vários matemáticos tentaram calcular o valor exato de \(\pi\), porém isso nunca foi possível devido ao fato que este é um número irracional. Mas foi apenas em 1767 que o matemático francês Johann Heinrich Lambert conseguiu provar que \(\pi\) é um número irracional.
Um dos métodos mais utilizados no cálculo de \(\pi\) é o Método de Arquimedes, ou método geométrico, o qual se basea no cálculo do perímetro de polígonos regulares que estão circunscritos e inscritos em um círculo. Deste modo, o perímetro do polígono inscrito representará o limite inferior e o perímetro do polígono que circunscreve representará o limite superior para \(\pi\).
Como neste trabalho será calculado apenas o limite superior, a representação do polígono inscrito será desconsiderada, o que tornará apenas necessário o uso do polígono que circunscreve a circunfererência.
Limite Superior de \(\pi\)
O limite superior de \(\pi\) será calculado através do métodolo de prova geométrica. Neste iremos utilizar polígonos regulares que circunscrevem um círculo de diâmtro unitário.
Limite Superior de \(\pi\) para um polígono regular de 4 lados
A Figura 1 contêm a representação de um polígono regular de 4 lados com um círculo inscrito.
Figura 1. Círculo inscrito em polígono regular de 4 lados.
Sabendo que o perímetro da circunferência (\(P_c\)) é menor que o perímetro do quadrado (\(P_4\)), têm-se:
\[P_c=2\pi r\] \[P_4=4L\] \[P_c<P_4\] \[2\pi r<4L\]
onde, \(r\) é o raio da circunferência, neste caso \(r=0,5\), e \(L\) é o lado do polígono, neste caso é 1.
Deste modo têm-se:
\[2\times \pi \times 0,5 < 4 \times 1\] \[\pi<4\]
Deste modo, ao utilizar um polígono regular de quatro lados, conclui-se que o limite superior de \(\pi\) é igual a 4.
Limite Superior de \(\pi\) para um polígono regular de 6 lados
A Figura 2 contêm a representação de um polígono regular de 6 lados com um círculo inscrito de raio 0,5.
Figura 2. Círculo inscrito em polígono regular de 6 lados.
Sabendo que o perímetro da circunferência (\(P_c\)) é menor que o perímetro do hexágono (\(P_H\)), e que o triângulo \(ADE\) é um triângulo equilátero têm-se:
\[P_c=2\pi r = \pi\] \[P_h=6S_1\] \[S_1=2S_0\] \[\pi<6S_1\]
Deste modo, para obter o valor de \(S_1\) será aplicado o teorema de pitágoras no triângulo \(ADI\). Deste modo têm-se:
\[(S_1)^2=(S_0)^2+r^2\] \[(S_1)^2=(\frac{S_1}{2})^2+r^2\] \[(S_1)^2=\frac{S_1^2}{4}+0,5^2\] \[3S_1^2=1\] \[S_1=\sqrt{\frac{1}{3}}\] \[S_1=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
Com isso o perímetro do hexágono vai ser igual a: \[P_h=6\times\frac{\sqrt{3}}{3}\] \[P_h=2\sqrt{3}\]
Portanto, ao calcular o limite superior de através de um polígono regular de seis lados têm-se: \[P_c<P_h\] \[\pi<2\sqrt{3}\]
Equação generalizada para o cálculo do limite superior de \(\pi\) para um polígono regular de \(n\) lados
A Figura 3 contêm a representação de um polígono regular de 12 lados com um círculo inscrito de raio 0,5. Este dodecágono servirá de exemplo para visualizar o cálculo para um polígolo de \(n\) lados.
Figura 3. Círculo inscrito em polígono regular de 12 lados.
Primeiramente, será utilizado o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo \(EAJ\) para obter o valor do segmento \(\overline{WE}\), que é representado por \(t\).
\[(r+t)^2=r^2+S_1^2\] \[\sqrt{r+t}^2=\sqrt{r^2+S_1^2}\] \[t=\sqrt{r^2+S_1^2}-r\]
Agora ao Observar a figura, nota-se que o segmento \(\overline{AE}\) é a bissetriz do ângulo \(\measuredangle{IAJ}\), e ao traçar a bissetriz do ângulo \(\measuredangle{WAJ}\) notará um segmento de reta que passará \(\overline{AO}\). Assim, pode-se concluir que: \[\overline{OJ}=\overline{WO}\]
Sabendo que \(\overline{OJ}=S_2\) que por é a metadade do lado de um dodecágono, temos que \(\overline{OE}=S_1-S_2\), aplicaremos o teorema de pitágoras novamente, mas desta vez será no triângulo retângulo \(WOE\). \[\overline{OE^2}=\overline{WE}^2+\overline{WO}^2\] \[(S_1-S_2)^2=t^2+S_2^2\] \[S_1^2-2S_1S_2+S_2^2=t^2+S_2^2\] \[t^2=S_1^2-2S_1S_2\]
Agora, substituiremos o valor de \(t\) representado na equação acima: \[(\sqrt{r^2+S_1^2}-r)^2=S_1^2-2S_1S_2\] \[r^2-2r\sqrt{r^2+S_1^2}+r^2=S_1^2-2S_1S_2\] \[2r^2-2r\sqrt{r^2+S_1^2}=-2S_1S_2\] \[2S_1S_2=-2r^2+2r\sqrt{r^2+S_1^2}\]
Agora ao dividir a equação anterior por \(2S_1\) iremos obter:
\[\frac{2S_1S_2}{2S_1}=-\frac{2r^2}{2S_1}+\frac{2r}{2S_1}\sqrt{r^2+s_1^2}\] \[S_2=-\frac{r^2}{S_1}+\frac{r}{S_1}\sqrt{r^2+S_1^2}\] \[S_2=-\frac{r^2}{S_1}+\sqrt{\frac{r^2(r^2+S_1^2)}{S_1^2}}\] \[S_2=-\frac{r^2}{S_1}+\sqrt{\frac{r^4}{S_1^2}+r^2}\] \[S_2=-\frac{r^2}{S_1}+\sqrt{r^2(\frac{r^2}{S_1^2}+1)}\] \[S_2=-\frac{r^2}{S_1}+r\times\sqrt{\frac{r^2}{S_1^2}+1}\] \[S_2=r(-\frac{r}{S_1}+\sqrt{\frac{r^2}{S_1^2}+1})\] \[S_2=-\frac{r}{S_1}+\sqrt{\frac{r^2}{S_1^2}+1}\]
Por fim, assumiremos que \(x=\frac{S_1}{r}\) e substituiremos na equação anterior. E assim a expressão generalizada que permitirá o cálculo do perímetro de um polígono de \(n\) lado é: \[S_2=-\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}\]
Cálculo do limite superior de utilizando R statistics
O mesmo argumento utilizado na Fig 3 para a construção do dodecágono a partir do hexágono será repetido para construção dos polígonos regulares subsequentes. De modo que o número de lados de cado polígono subsequente será obtido na equação:
\[L_t=3×2^t\] onde \(t\) é a sequencia de interações que vai do zero ao infinito.
Para calcular o valor do limite superior de para cada interação será utilizado o valor de \(r\), \(S_1\), obtido no cálculo do limite superior de para um polígono regular de 6 lados, e a equação generalizada para o cálculo do limite superior de \(\pi\) para um polígono regular de \(n\) lados.
Abaixo, podemos observar o scrit utilizado no R statiscs. Note que \(n\) é o número de interações e \(k\) é o número de casas decimais que se deseja.
require(Rmpfr)lim_sup_pi<-function(n, k){
bits<-k*log2(10) #Esta estapa é necessária para evitar problemas em casas decimais, que surje quano o computador tenta representar o pi com casas finitas.
s<-mpfr(sqrt(1/3),bits) # s passa a ser um número com k digitos significativos
p<-mpfr(0,bits)
novopi<-Const("pi",bits)
for(i in 1:n){
L<-3*2^i
p<-L*s
cat(sprintf("t= %2i Lados: %10.0f Lim sup: %0.17f dif %0.17f \n",i,L,p,pi-p))
s<-sqrt((1/s)^2+1)-1/s
}
}
lim_sup_pi(50, 100)## t= 1 Lados: 6 Lim sup: 3.46410161513775439 dif -0.32250896154796127
## t= 2 Lados: 12 Lim sup: 3.21539030917347235 dif -0.07379765558367921
## t= 3 Lados: 24 Lim sup: 3.15965994209750045 dif -0.01806728850770721
## t= 4 Lados: 48 Lim sup: 3.14608621513143483 dif -0.00449356154164170
## t= 5 Lados: 96 Lim sup: 3.14271459964536826 dif -0.00112194605557503
## t= 6 Lados: 192 Lim sup: 3.14187304997982375 dif -0.00028039639003061
## t= 7 Lados: 384 Lim sup: 3.14166274705684856 dif -0.00007009346705526
## t= 8 Lados: 768 Lim sup: 3.14161017660468955 dif -0.00001752301489627
## t= 9 Lados: 1536 Lim sup: 3.14159703432152604 dif -0.00000438073173289
## t= 10 Lados: 3072 Lim sup: 3.14159374877135189 dif -0.00000109518155876
## t= 11 Lados: 6144 Lim sup: 3.14159292738509688 dif -0.00000027379530377
## t= 12 Lados: 12288 Lim sup: 3.14159272203861351 dif -0.00000006844882055
## t= 13 Lados: 24576 Lim sup: 3.14159267070199810 dif -0.00000001711220478
## t= 14 Lados: 49152 Lim sup: 3.14159265786784436 dif -0.00000000427805115
## t= 15 Lados: 98304 Lim sup: 3.14159265465930604 dif -0.00000000106951277
## t= 16 Lados: 196608 Lim sup: 3.14159265385717124 dif -0.00000000026737817
## t= 17 Lados: 393216 Lim sup: 3.14159265365663742 dif -0.00000000006684452
## t= 18 Lados: 786432 Lim sup: 3.14159265360650419 dif -0.00000000001671111
## t= 19 Lados: 1572864 Lim sup: 3.14159265359397066 dif -0.00000000000417776
## t= 20 Lados: 3145728 Lim sup: 3.14159265359083761 dif -0.00000000000104442
## t= 21 Lados: 6291456 Lim sup: 3.14159265359005424 dif -0.00000000000026108
## t= 22 Lados: 12582912 Lim sup: 3.14159265358985840 dif -0.00000000000006525
## t= 23 Lados: 25165824 Lim sup: 3.14159265358980955 dif -0.00000000000001629
## t= 24 Lados: 50331648 Lim sup: 3.14159265358979711 dif -0.00000000000000405
## t= 25 Lados: 100663296 Lim sup: 3.14159265358979400 dif -0.00000000000000099
## t= 26 Lados: 201326592 Lim sup: 3.14159265358979356 dif -0.00000000000000023
## t= 27 Lados: 402653184 Lim sup: 3.14159265358979312 dif -0.00000000000000004
## t= 28 Lados: 805306368 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000001
## t= 29 Lados: 1610612736 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000002
## t= 30 Lados: 3221225472 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 31 Lados: 6442450944 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 32 Lados: 12884901888 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 33 Lados: 25769803776 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 34 Lados: 51539607552 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 35 Lados: 103079215104 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 36 Lados: 206158430208 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 37 Lados: 412316860416 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 38 Lados: 824633720832 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 39 Lados: 1649267441664 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 40 Lados: 3298534883328 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 41 Lados: 6597069766656 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 42 Lados: 13194139533312 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 43 Lados: 26388279066624 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 44 Lados: 52776558133248 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 45 Lados: 105553116266496 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 46 Lados: 211106232532992 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 47 Lados: 422212465065984 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 48 Lados: 844424930131968 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 49 Lados: 1688849860263936 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003
## t= 50 Lados: 3377699720527872 Lim sup: 3.14159265358979312 dif 0.00000000000000003Conclusão
É possível rodar o programa para para quantas interações quiser e obter um valor de com quantas casas decimais (\(k\)) quiser. E após fazer 50 interações chegará a um polígono regular de 3.377.699.720.527.872 de lados, com o limite superior de igual 3,14159265358979312.