Introdução

Essa é uma proposta da unidade curricular LES0721 do Programa de Mestrado em Economia Aplicada da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz da Universidade de São Paulo.

O presente trabalho consiste em uma ideia (que não é inédita) para demonstrar o limite superior do número \(\pi\) , baseando-se na utilização de um círculo – de raio igual a 1 – inscrito a polígonos regulares, de 6, 12, 24, 48 e 96 faces ou mais, a partir de ferramentas providas pelo programa R.

O limite inferior para o \(\pi\) pode ser encontrado na nota técnica de Azevedo Filho no link http://rpubs.com/adriano/limites_pi.

Limite superior para \(\pi\) a partir de um hexágono circunscrito

A figura a seguir mostra um círculo, cujo raio é 1, circunscrito a um hexágono (polígono regular de 6 lados) e inscrito a outro hexágono.

Pode-se, então, definir triângulos a partir dos hexágonos da imagem acima e, traçando uma bissetriz, é possível dividir o ângulo \(\alpha\) ao meio e formar um ângulo de 90º em relação à base do triângulo inscrito à circunferência e em relação à base do triângulo do hexágono circunscrito.

Como o hexágono externo é um polígono regular, ele pode ser divido em 6 triângulos equiláteros, cujo lado será chamado de \(l\). Sendo assim, a bissetriz AG divide o triângulo EAF ao meio, separando-o em 2 triângulos retângulos. O segmento AG mede 1, pois equivale ao raio do círculo. Para descobrir o limite superior para \(\pi\), pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras para o triângulo EAG:

\(l^2 = 1^2 + (\frac{l}{2})^2\)

\(l = \frac {2}{\sqrt{3}}\)

Como \(\pi < \frac{perímetro}{diâmetro}\) :

\(\pi < \frac{6*\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}\)

\(\pi\) < 3,464101615137755

Definido limites melhores para \(\pi\) com polígonos de mais lados

Como o ângulo \(\alpha\) é dividido em duas partes iguais e os ângulos \(\beta\) e \(\gamma\) têm o mesmo valor de 60º, verifica-se que o triângulo ABD e o triângulo AEG possuem ângulos congruentes e, portanto, são equivalentes, como mostra a figura a seguir:

Sendo assim: \(\frac{AD}{AG} = \frac{BD}{EG} = \frac{AB}{AE}\).

Será usada a relação: \(\frac{AD}{AG} = \frac{BD}{EG}\).

Define-se o lado do triângulo interno como \(l_{1}\) e o lado do triângulo externo como \(l_{2}\).

O segmento AG tem tamanho igual a 1, pois representa o raio da circunferência. O segmento BD tem o comprimento igual a \(\frac{l_{1}}{2}\) e o segmento EG igual a \(\frac{l_{2}}{2}\).

O segmento AD, então, pode ser obtido a partir da relação: \(AD = \frac{l_{1}}{l_{2}}\)

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo EAD:

\(AB = 1\) (raio da circunferência)

BD = \(\frac{l_{1}}{2}\)

\(1^2 = AD^2 + {\frac{l_{1}}{2}}^2\)

\(1 = AD^2 + \frac{{l_{1}}^2}{4}\)

Portanto, \(AD = \sqrt {1-\frac{{l_{1}}^2}{4}}\)

Substituindo na relação estabelecida, obtém-se uma nova relação entre os lados do triângulo menor e os lados do triângulo maior: \(l_{2} = \frac{l_{1}}{\sqrt{1-\frac{l_{2}^2}{4}}}\)

Sendo assim, basta demonstrar que \(l_{2}\) pode ser recursivo:

\(l_{t+1} = \frac{l_{1}}{\sqrt{1-\frac{l_{1}^2}{4}}}\)

Então, sendo \(l_{t}\) o lado do polígono e \(P_{t}\) o perímetro deste, tem-se: \(P_{t} = 3*2^t * l_{t}\) , onde, para qualquer t, \(\frac{P_{t}}{2} > \pi\)

A partir da equação estabelecida é possível mostrar limites superiores para \(\pi\) arbitrariamente melhores. A função do R definida a seguir permite obter o limite superior para \(\pi\) para t = n:

acha_limsup<-function(n){
  l1<-1
  l2<-l1/sqrt(1-(l1^2/4))
  for(i in 1:n){
    L<-3*2^i
    p1<-L*l1
    p2<-L*l2
    cat(sprintf("t= %2i Lados: %10.0f Lim inf: %0.17f Lim sup dif %0.17f \n",i,L,p1/2, p2/2,p1-p2/2))
    l1<-sqrt(2-sqrt(4-l1^2))
    l2<-l1/sqrt(1-(l1^2/4))
  }    
}

Testando a função definida acima para \(t=5\) correspondendo a um polígono de 96 lados, tem-se:

acha_limsup(5)
## t=  1 Lados:          6 Lim inf: 3.00000000000000000 Lim sup dif 3.46410161513775527 
## t=  2 Lados:         12 Lim inf: 3.10582854123024976 Lim sup dif 3.21539030917347279 
## t=  3 Lados:         24 Lim inf: 3.13262861328123687 Lim sup dif 3.15965994209749912 
## t=  4 Lados:         48 Lim inf: 3.13935020304687207 Lim sup dif 3.14608621513144016 
## t=  5 Lados:         96 Lim inf: 3.14103195089052978 Lim sup dif 3.14271459964538824

Para se obter resultados com mais de 15 casas decimais é necessário instalar um pacote do R chamado Rmpfr.