• Equivalente poblacional de la media, \(E(X)=\mu_x\)

PROPIEDADES

• \(E(k)=k\)
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
• \(E(k \cdot X)=k \cdot E(X)\)
• SI \(X\) e \(Y\) son INDEPENDIENTES, \(E(X \cdot Y)= E(X) \cdot E(Y)\)
• La esperanza puede:
  • No existir
  • Ser infinita
  • En esos casos muchos teoremas de "buen comportamiento" fallan.

• La varianza mide la dispersión en torno al valor esperado.

• La covarianza, si las desviaciones respecto a la esperanza están asociadas

• \(V(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-E^2(X)=\sigma^2_x\)

• \(Cov(X,Y)=E(X-E(x))(Y-E(Y))=E(X \cdot Y)-E(X)E(Y)=\sigma_{xy}\)

PROPIEDADES

• \(V(k)=0\)
• \(V(k \cdot X)= k^2 \cdot V(X)\)
• \(V(k + X) = V(X)\)
• \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2 \cdot Cov(X,Y)\). [\(V(X)+V(Y)\) sólo si \(Cov(X,Y)=0\)]
• \(V(aX+bY)=a^2 \cdot V(X)+b^2 \cdot V(Y)+2 \cdot a \cdot b \cdot Cov(X,Y)\)
• La V(X), de existir, es positiva. Puede no existir o ser infinita.
• Cov(X,Y) puede ser positiva o negativa (o no existir o ser infinita).

• Las unidades de medida de la varianza son las de la variable \(X\) al cuadrado (Si son \(habitantes\), \(habitantes^2\))
• Las de la covarianza, el producto de las de la X y la Y.
• Se definen magnitudes derivadas:
• \(d.t.(X)=\sqrt{V(X)}=\sigma_x\)
  • La desviación típíca (Standard Deviation, SD) tiene por unidades la de la variable.
• \(Cor_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{d.t.(X) \cdot d.t.(Y)}=\rho_{xy}\)
  
  • La correlación lineal no tiene unidades de medida.
  • De existir, está comprendida entre \([-1,1]\).
  • Mide la asociación lineal entre las variables

• Muestra aleatoria de tamaño \(n\) de la v.a. \(X\)
• Los estimadores, (\(\hat \theta\)), son funciones de los datos
• Queremos que se aproximen a los valores poblacionales (\(\theta\)) en los siguientes sentidos:
  • Que sean insesgados: \(E(\hat \theta)=\theta\). Sesgo: \(B(\hat \theta)=E(\hat \theta)-\theta\)
  • Que tengan la varianza mínima posible \(V(\hat \theta)\) pequeña.
  • Que tengan el menor error cuadrático medio (MSE) posible: \(ECM(\hat \theta)=V(\hat \theta)+B^2(\hat \theta)=E(\hat \theta-\theta)^2\)
  • Propiedades asintóticas (al aumentar \(n\) arbitrariamente, \(n\rightarrow \infty\))
  • Que asintóticamente se concentre tanta probabilidad como queramos en un entorno tan pequeño como deseemos en torno a un número : convergencia en probabilidad. \(\hat \theta \overset{p}{\rightarrow} a \Leftrightarrow plim(\theta)=a\)
  • Consistencia: Que el estimador converga en probabilidad al parámetro \(plim(\hat \theta)=\theta\)

Estos son los estimadores habituales de los momentos poblaciones que hemos definido:

donde todos los sumatorios van desde \(i=1\) hasta \(n\).

Los estimadores también son variables aleatorias.

Para una muestra aleatoria simple (m.a.s) de tamaño \(n\), \(\bar x\), es un estimador:

• Insesgado:

  • \(E(\bar{x}) =E(\frac{\sum x_i}{n})=\frac{\sum E(x_i)}{n}=\frac{n \cdot \mu_x}{n}=\mu_x\)

• Con varianza \(V(\bar{x}) =\frac{\sigma^2_x}{n}\)

  • \(V(\bar{x}) = V(\frac{\sum x_i}{n}) = \{\text{indep de } x_i\} = \frac{\sum V(x_i)}{n^2} = \frac{n \cdot \sigma^2_x}{n^2}=\frac{\sigma^2_x}{n}\)

• Con desviación típica \(d.t.(\bar{x}) =\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

• A la d.t. de los estimadores se le suele denominar error estándar, \(SE(\bar{x})\): idea del error cometido al utilizar la media y no la esperanza.

• Si \(X\) tiene distribución normal, la media también tiene distribución normal.

• La simulación permite encontrar los resultados sin necesidad de demostrarlos analíticamente.

• Hay un paquete de R, mosaic, que permite hacer los cálculos estadísticos y las simulaciones de manera muy sencilla e intuitiva.

install.packages("mosaic", dependencies=TRUE)

library(mosaic)
x=rnorm(100, mean=10, sd=10) # Crea una muestra de tamaño 100 con media 10 y d.t. 10.
mean(x) # Calcula la media

## [1] 10.66858

Hemos hecho UNA simulación. Si lo que hemos dicho es cierto, este estimador es insesgado y con varianza \(10^2/n=100/100=1\), y, por tanto, \(SD=1\).

Un experimento de Montecarlo consiste en realizar MUCHAS simulaciones y estudiar la distribución del estimador a través de la distribución empírica en muchas simulaciones.

Con mosaic hacemos \(k\) simulaciones escribiendo antes del código que genera una, do(k)*:

do(3) * rnorm(100, mean=10, sd=10) %>% mean

##      result
## 1  9.530322
## 2 10.615650
## 3  9.962626

Es sencillo hacerlo 1000 veces

mc = do(1000) * rnorm(100, mean=10, sd=10) %>% mean

En el ejemplo anterior, la distribución de partida era uniforme. Sin embargo la media muestral tiene una distribución parecida a la normal

¿Es casualidad? NO. Es el TCL que funciona:

TCL: Bajo unos supuestos muy débiles (esperanza finita \(\mu\) y desviación típica finita \(\sigma\)), la distribución de la media muestral \(\bar{x}\) se acerca tanto como queramos a una \(N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\) al aumentar el tamaño muestral \(n\).

La distribución límite se denomina distribución asintótica (aproxima a la verdadera) \[\bar{x} \overset{a}{\rightarrow} N(\mu_x,\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}})\]

y \(Z_n=\frac{\bar{x}-\mu_x}{\sigma_x/\sqrt{n}}\) se aproxima tanto como queramos a la \(N(0,1)\) (convergencia en distribución): \(Z_n=\frac{\bar{x}-\mu_x}{\sigma_x/\sqrt{n}} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)\)

http://homer.shinyapps.io/CentralLimit ver también vistat

1. Escogemos una hipótesis nula, \(H_0\), que queremos contrastar, así como la forma de la hipótesis alternativa, \(H_1\).
2. Calculamos el estadístico de contraste
3. Los estadísticos basados en la normal son válidos si se cumple una de estas condiciones:
   • La distribución es aproximadamente normal (si es normal, los resultados son exactos)
   • Aunque no sea normal, el número de observaciones es grande (>30-50) y se puede "invocar" el TCL
4. Cálculo e interpretación del p-valor: Si es 0.23, bajo la nula hay un 23% de obtener un valor tan extremo o más que el que se ha obtenido. No es "tan raro"
5. Decisión: Si he elegido previamente un nivel de significación (ej: 1%, 5%, 10%) rechazo la nula si el p-valor es menor que el nivel de significación en tanto por uno (\(0.23>0.10\), no rechazo). NUNCA DECIR ACEPTO LA NULA. Sólo se puede decir que no la rechazáis, igual que no se rechazarían muchas otras posibles hipótesis nulas.
   

• Error de tipo I: Rechazar la nula cuando esta es cierta. Prefijado e igual al nivel de significación \(\alpha\)

• Error de tipo II: No rechazar la nula cuando ésta es falsa. Tanto mayor cuánto (a) Más cerca esté la verdadera de la nula, (b) Menos potente sea el contraste.

http://homer.shinyapps.io/Type12Errors/

• Hemos visto la idea revolucionaria del bootstrap: Generar muestras por remuestreo que aproximan la distribución del estimador SIN SABER de qué población procede.

• La idea del bootstrap también se puede aplicar a los IC y test de hipótesis.

• IC bootstrap: Puesto que el bootstrap me permite generar una muestra de tamaño k de estimadores puedo formar intervalos de dos maneras:

  • Con la idea de \(\bar{x} \pm t^*SE(\bar{x})\), lo que hace mosaic por defecto (confint)
  • A partir de los percentiles \(\alpha/2\) y \(1-\alpha/2\) de la distribución obtenida en las remuestras.

• Contrastes bootstrap: Obtenemos una muestra bootstrap de la distribución cuando la nula es cierta. ¿Cómo? Si se trata de que una variable no tenga influencia, permutando aleatoriamente (shuffle) la variable en las submuestras. Si no tiene efecto, no debería importar. Después:

  • IC: Rechazo si el estadístico no cae en el IC \(1-\alpha\) bajo la nula.
  • p-valor: Qué probabilidad hay de obtener valores más extremos que el obtenido (p-valor bootstrap).