ミサイル発射

ロケットの速度は下式で求めます。

\(\vec{V}(t) = \vec{u} \log \frac{M} {M - \alpha t}\)

よく聞くRPG-7をモデルにします。爆薬はわからないので適当にNGとします。

RPG-7では初速が115[m/s]で、発射から10[s]後に爆薬が反応して、最終的には295[m/s]です。最高速になるところもわかっていて、500[m]です。質量は7[kg]です。

爆薬が反応し始めるときを0として、\(\alpha t\)を計算します。

\(\alpha t = \frac{7 \exp(\frac{180} {7700}) - 7} {\exp(\frac{180} {7700})}\)

\(\alpha t = 0.1617385\)

最高速と到達点から反応時間を適当に決めます。2[s]とします。

\(\alpha = 0.0808693[kg/s]\)

決めた値で速度の式を表すと、下式になります。一方行で考えることにして、ベクトルは外しました。

\(V(t) = \begin{cases} 115 + 7700 \log \frac{7} {7 - 0.0808693 t} & (t < 2) \\ 295 & (t \geq 2) \end{cases}\)

時間対速度を下図にプロットします。

爆速が速すぎて結局等加速度運動で良さそうです。爆速を200[m/s]などにすると曲線になります。

等加速度運動でモデルし直します。式が簡単になったのでついでに、発射時点を0秒とします。

\(\vec{V}(t) = \begin{cases} \ 115 & (t \leq 10) \\ \ 115 + \frac{(295 - 115)} {2} (t - 10) & (t > 10; t \leq 12) \\ \ 295 & (t > 12) \ \end{cases}\)

念のため計算してみます。

計算に\(\log\)があるものをlogモデルと名付けました。最後の等加速度はeqと名付けました。等加速度モデルで良さそうです。