1. INTRODUÇÃO

O cálculo para estimação do limite superior de \(\pi\) aqui apresentado envolve noções de geometria e trigonometria básicas. Para começar, suponha um hexágono circunscrito e uma circunferência com diâmetro \(d=2\). Pelos nossos conhecimentos em geometria, sabemos que o perímetro da circunferência é \(P_c=\) \(2 \pi r\). Como \(r=1\), podemos simplificar nesse caso que \(P_c=\) \(2 \pi\).

Nessa relação, o \(P_c\) é, necessariamente, menor que o perímetro do hexágono (\(P_h\)). hexágono

Figura 1. Hexágono Circunscrito

Nesse caso, o ângulo \(\alpha\)=30º. Assim, sendo o cateto adjacente igual ao Raio (r),e r=1, obtemos o valor de \(n/2\) com a seguinte expressão: \[Tg(\alpha)=(0,5n)/(Cateto Adjacente)\]

Logo, \(n=2Tg(\alpha)\), ou, \(n \approx 0,57722*2=1,15444\)

Assim, \(P_h = 6n\), ou, \(P_h=6,92664\)

Sabemos que \(P_c < P_h\), ou \(2\pi<6,92664\)

Portanto, \(\pi < 3,46332\)

2. EXPANDINDO O CONCEITO

Agora, vamos tornar o conceito um pouco mais elaborado. Considere um dodecágono circunscrito.Esse polígono, em relação ao héxagono, é evidentemente mais próximo de uma forma de circunferência que o hexágono. Além disso, aota-se claramente que, a partir das retas \(AO\) e \(AD\), forma-se um triângulo retângulo e que, ao duplicar o número de lados do hexágono, o ângulo \(\alpha\) foi dividido por dois. Essa relação ajuda a notar que a \(tg(\alpha)\) é inversamente proporcional ao número de lados do polígono.

dodecágono

FIGURA 2. Dodecágono Circunscrito

Assim, o mesmo raciocínio realizado para um hexágono circuscrito pode ser realizado para um polígono de \(n\) lados, no qual o perímetro desse polígono (\(P_n\)) pode ser representado por: \(P_n=2n(tg(180º/n))\)

Dessa forma, se conseguirmos replicar esse raciocínio para um polígono de infinitos lados, podemos obter um valor mais preciso de \(\pi\).

Adote que, para cada \(t\) testado, teremos um polígono de \(N\) lados, no qual: \(N_t=3*2^t\)

Feito isso, basta implementarmos uma análise por iterações no R. Antes disso, faça o upload do package Rmpfr.

require(Rmpfr)
lim_sup_pi<-function(t,n){
  x<-n*log2(10)
  s<-mpfr(1,x)
  p<-mpfr(0,x)
  pi_t<-Const("pi",x)
  for(i in 1:t){
    L<-3*2^mpfr(i,x)
    p<-L*s
    cat(sprintf("t= %2i Lados: %12.0f Lim sup: %s dif: %s \n",i,L,format(p/2,10),format(pi_t-p/2,10)))
    s<-tan(pi_t/L)*1
  }}
#EstimandoLimite Superior de PI.
lim_sup_pi(20,150)
## t=  1 Lados:            6 Lim sup: 3.000000000 dif: 0.1415926536 
## t=  2 Lados:           12 Lim sup: 3.464101615 dif: -0.3225089615 
## t=  3 Lados:           24 Lim sup: 3.215390309 dif: -0.07379765558 
## t=  4 Lados:           48 Lim sup: 3.159659942 dif: -0.01806728851 
## t=  5 Lados:           96 Lim sup: 3.146086215 dif: -0.004493561542 
## t=  6 Lados:          192 Lim sup: 3.142714600 dif: -0.001121946056 
## t=  7 Lados:          384 Lim sup: 3.141873050 dif: -0.0002803963900 
## t=  8 Lados:          768 Lim sup: 3.141662747 dif: -7.009346706e-5 
## t=  9 Lados:         1536 Lim sup: 3.141610177 dif: -1.752301490e-5 
## t= 10 Lados:         3072 Lim sup: 3.141597034 dif: -4.380731733e-6 
## t= 11 Lados:         6144 Lim sup: 3.141593749 dif: -1.095181559e-6 
## t= 12 Lados:        12288 Lim sup: 3.141592927 dif: -2.737953038e-7 
## t= 13 Lados:        24576 Lim sup: 3.141592722 dif: -6.844882058e-8 
## t= 14 Lados:        49152 Lim sup: 3.141592671 dif: -1.711220481e-8 
## t= 15 Lados:        98304 Lim sup: 3.141592658 dif: -4.278051181e-9 
## t= 16 Lados:       196608 Lim sup: 3.141592655 dif: -1.069512794e-9 
## t= 17 Lados:       393216 Lim sup: 3.141592654 dif: -2.673781984e-10 
## t= 18 Lados:       786432 Lim sup: 3.141592654 dif: -6.684454960e-11 
## t= 19 Lados:      1572864 Lim sup: 3.141592654 dif: -1.671113740e-11 
## t= 20 Lados:      3145728 Lim sup: 3.141592654 dif: -4.177784350e-12

3. OS LIMITES SUPERIORES DE PI

O caso apresentado por Arquimedes está representado em \(t=5\), ou seja, um polígono de 96 lados, no qual \(\pi<3,146086215\). Essa resposta é incrivelmente precisa dado os recursos tecnológicos disponíveis quando Arquimedes o calculou. Porém, dados os avanços tecnológicos, essa simulação testou um polígono de 3.145.728 lados e obteve que \(\pi<3,141592654\), apenas -0,004493561 mais precisa que a de Arquimedes.