Sannolikhetsmodeller och Distributioner

• Hitils har vi kollat på modeller för medelvärden.

• Hitils har vi kollat på modeller för medelvärden.
• Om medelvärdesmodeller beskriver medelvärden så beskriver generativa modeller data.
• Några av de enklaste generativa modellerna kallas för parametriska sannolikhetsfördelningar.
• Man tänker ofta på dessa som former men de går också att karakteriseras som processer.

• Binomialmodellen
• Uniform-modellen
• Exponential-modellen
• Poisson-modellen
• Normalmodellen

• Parametrar:
  • antal trials, n
  • relativ frekvens, p
• Output:
  • Antal successes

# Generera data från modellen
rbinom(n=5, size=1, prob=0.5)

[1] 1 0 0 0 1

# Ta reda på hur sannolika olika utfall är
dbinom(x=2, size=2, prob=0.5)

[1] 0.25

# Räkna ut coverage interval
qbinom(c(0.25, 0.75), size=100, prob=0.5)

[1] 47 53

# Ta reda på den kumulativa sannolikheten
pbinom(c(47, 50, 53, 100), size=100, prob=0.5)

[1] 0.3086 0.5398 0.7579 1.0000

• Statistisk modellelering.
• Generera låtsasdata
• Powerberäkningar.

• Parametrar:
  • min
  • max
• Output:
  • Ett decimaltal mellan min och max

# Generera data från modellen
runif(n=4, min=-1, max=2)

[1] -0.9811  1.7193  1.5601  0.7715

# Ta reda på hur sannolika olika utfall är
dunif(x=2,  min=-1, max=2)

[1] 0.3333

# Räkna ut coverage interval
qunif(c(0.25, 0.75), min=-2, max=2)

[1] -1  1

# Ta reda på den kumulativa sannolikheten
punif(c(-2, -1, 0, 1, 2), min=-2, max=2)

[1] 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

• Parametrar:
  • rate (1 / mean)
• Output:
  • Ett decimaltal mellan 0 och \( \infty \)

# Generera data från modellen
rexp(n=4, rate= 1 / 30)

[1] 53.841 26.546 11.236  1.966

histogram(rexp(n = 9999, rate= 1 / 10))

• Parametrar:
  • mean
• Output:
  • Ett heltal mellan 0 och \( \infty \)

# Generera data från modellen
rpois(n=4, lambda=3)

[1] 1 3 5 1

histogram(rpois(n = 999, lambda=3))

• Oklart vad som är normalt med normalfördelningen.

• Många additiva identiskt stora slumpvisa förändringar.

http://youtu.be/PM7z_03o_kk

• Borde längd vara normalfördelat?

• Parametrar:
  • mean
  • standard deviation
• Output:
  • Ett heltal mellan \( -\infty \) till \( \infty \)

# Generera data från modellen
rnorm(n=4, mean= 10, sd=2)

[1]  8.091 10.772  9.600  7.495

histogram(rnorm(n=9999, mean= 10, sd=2))

• “Är det normalfördelat?”
• Inget man behöver vara nervös för. Det är aldrig normalfördelat. Frågan är om det är tillräkligt normalfördelat.
• Med bootstrap så är detta ingen issue. Metoder som bootstrap som inte antar nån fördelning kallas ofta för icke-parametriska.

Låtsasdata är bra för att:

• Testa plottar och metoder.
• Få en känsla för slumpen.
• Powerberäkningar.

• Du är intresserad av hur skrivprocessen beror på koncentrationsförmågan.
• Du undersöker hur många stavfel som begås för människor som skriver i tystnad och människor som skriver i brus.

# För brusgruppen
rpois(n=20, lambda=4)

 [1] 4 7 7 2 3 3 3 0 4 6 1 4 3 4 2 3 6 5 2 3

# För för tystnadsgruppen
rpois(n=20, lambda=3)

 [1] 2 1 5 5 2 7 1 3 6 4 2 3 2 5 6 4 5 4 4 3

do(6) * {
  noise <- rpois(n=20, lambda=4)
  silence <-  rpois(n=20, lambda=3)
  mean(noise) - mean(silence)
}

  result
1   0.60
2   2.25
3   0.50
4   1.30
5   1.45
6   1.70

noise <- rpois(n=20, lambda=4)
silence <-  rpois(n=20, lambda=3)
s <- do(500) * {
  mean(resample(noise)) - 
  mean(resample(silence))
}

confint(s, method="quantile")

    name lower upper level   method
1 result -0.75  2.05  0.95 quantile

• Du är hur reaktionstiden påverkas av koffeinintag
• Du undersöker visuell reaktionstid för människor som druckit olika många koppar kaffe.

rep(c("a", "b", "c"), each=2)

[1] "a" "a" "b" "b" "c" "c"

data.frame(y = 1:3, x=rep("a", 3))

  y x
1 1 a
2 2 a
3 3 a

cups = rep(0:4, each=10)
head(cups, 22)

 [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2

mean <- 0.3 + cups * -0.02
head(mean, 22)

 [1] 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.28 0.28 0.28 0.28
[15] 0.28 0.28 0.28 0.28 0.28 0.28 0.26 0.26