Ecuaciones diferenciales en espacios de Banach

Dado un espacio de Banach \( V \), \( I \) un intervalo de la recta real y
\[ \begin{equation*} f:X\subset I\times V\to V \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*} \frac{dx}{dt}= f(t,x) \end{equation*} \]

a la expresión anterior le llamaremos ecuación diferencial asociada a la función \( f \) en el intervalo \( I \)

\[ \begin{equation*} \frac{dx}{dt}= f(t,x). \end{equation*} \]

Diremos que una función \( \phi:I\to V \) es solución de la ecuación diferencial anterior si satisface las siguientes condiciones:

1. \[ (t,\phi(t))\in X, \hspace{0.2cm} \forall t\in I \]

2. \[ \phi'(t)= f(t,\phi(t)), \hspace{0.2cm} \forall t \in I \].

\[ \frac{dx}{dt}=f(t,x) \]

\[ x(t_0)= x_0, \hspace{0.2cm} \]
donde \( t_0\in I \mbox{ y } x_0\in V. \)

Llamaremos problema de Cauchy asociado a la ecuación \( \frac{dx}{dt}= f(t,x) \) y a la condición inicial \( x(t_0)= x_0 \) en el intervalo \( I \), al problema de encontrar una función \( \phi:I\to V \) que es solución de la ecuación diferencial anterior y que, además, cumple que \( \phi(t_0)=x_0 \).

Dado el problema de Cauchy anterior, bajo las mismas hipótesis y notación, se tiene, entonces, que \( \phi(t) \) es solución si y sólo si se verifica:

\[ \phi(t)= \phi(t_0)+\int_{t_0}^{t} f(s,\phi(s))ds, \hspace{0.2cm} \forall t\in I. \]

Sean un espacio de Banach \( V \),una función \( f:D\subset \mathbb{R} \to V \) y un punto \( x\in D \). Diremos que \( f \) es derivable en \( x \) si existe el límite:

\[ \begin{equation*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \end{equation*} \]
que denotaremos por \( f'(x) \).

\[ f:[a,b] \subset \mathbb{R}\to V \]

\[ \begin{equation*} \int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x. \hspace{0.2cm} \end{equation*} \]

Sea \( f:[a,b]\subset \mathbb{R}\to V \) una función continua, donde \( V \) es un espacio de Banach y sea \( x^{*}\in V^{*} \). Se tiene entonces: \[ \begin{equation*} x^{*}\left(\int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x\right)= \int_a^b{x^{*}(f(x))}\,\mathrm{d}x, \end{equation*} \] es decir, la integral conmuta con cada elemento del dual \( x^{*} \).

Sea \( V \) un espacio de Banach y sea \( f:[a,b]\subset\mathbb{R} \to V \) una función continua. Diremos que \( F:[a,b]\subset \mathbb{R}\to V \), con \( F \) derivable en el intervalo \( [a,b] \), es una primitiva de \( f \) en \( [a,b] \) si: \( F'(x)=f(x) \), \( \forall x\in [a,b] \).

Sea \( V \) un espacio de Banach y sea \( f:[a,b] \subset \mathbb{R} \to V \) una función continua. Se verifican las siguientes propiedades:
a) Si \( F \) es una primitiva de \( f \) en \( [a,b] \), entonces: \[ \begin{equation*} \int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x= F(b)-F(a). \end{equation*} \] b) Si \( f\in C^{1}(a,b) \), entonces \[ \begin{equation*} \int_a^b{f'(x)}\,\mathrm{d}x= f(b)-f(a). \end{equation*} \]

c) Si \( \int_a^x{f(x)}\,\mathrm{d}x= F(x) \), \( a\leq x \leq b \), entonces \( F \) es una primitiva de \( f \) en \( [a,b] \).

d) Sea \( \phi:[\alpha,\beta]\to [a,b] \) que cumple además:
1. \( \phi \) es biyectiva.
2. \( \phi \in C^{1} [\alpha,\beta] \).
Entonces: \( \int_{a}^{b} f(t)dt= \int_{\phi^{-1}(a)}^{ \phi^-1(b)} f(\phi(s))\phi'(s)ds \).

Dada \[ F:V\to V \]
\[ \exists{x}\in V / F(x)=x \]
\[ ¿\cdots \cdots ? \]

\[ F(\phi)(t)= \phi(t_0)+\int_{t_0}^{t} f(s,\phi(s))ds, \hspace{0.2cm} t\in I, \hspace{0.2cm} \phi \in C[I]\to V \]

Sea \( V \) un espacio de Banach y sea \( X \) un subconjunto no vacío, convexo y compacto del espacio de Banach \( V \), entonces \( X \) tiene la propiedad del punto fijo.

i) \[ \inf\{\|x-f(x)\|: x\in X\}=0 \] ii) compacidad, recubrimiento \[ X\subseteq \bigcup_{i=1}^{p} B(a_{i},\epsilon), \] iii) \[ x\to F_{i}(x) = \begin{cases} 0, & si \hspace{0.2cm} \|x-a_{i}\|\geq \epsilon,\\ \epsilon- \|x-a_{i}\| ,& si \hspace{0.2cm} \|x-a_{i}\|\leq \epsilon,\ \end{cases} \]

iv) \[ \begin{equation*} x\to \phi(x)=\frac{\sum_{i=1}^{p} F_{i}(x)a_{i}}{\sum_{i=1}^{p} F_{i}(x)}, \end{equation*} \hspace{0.2cm} \text{dimensión finita} \] v) \[ \|x-\phi(x)\|\leq \epsilon \]

Diremos que un subconjunto \( X\subset C(V,W) \) es equicontinuo si, para cada \( \epsilon>0 \), existe un número positivo \( \delta \) para el cual: \[ \begin{equation*} d(f(u),f(v))<\epsilon,\quad \forall f\in X \hspace{0.2cm} \text{ y } \hspace{0.2cm} u,\,v\in V \text{ con } \hspace{0.2cm} d(u,v)<\delta. \end{equation*} \]

Teorema Ascoli Arzelá Sean \( V \) y \( W \) espacios métricos compactos. Un subconjunto \( X \) de \( C(V,W) \) es compacto si y sólo si es cerrado y equicontinuo.

Teorema Sea \( (t_{0},x_{0}) \in \mathbb{R} \times V \) fijado. Consideremos el problema de Cauchy dado por \[ \frac{dx}{dt}=f(t,x), \] \[ x(t_{0})=x_{0}. \] Supongamos que \( f:X\subset \mathbb{R}\times V \to V \) es continua y acotada en una región dada, pongamos \( A \), \[ A=\{(t,x)\: : \: \mid t-t_{0} \mid \leq a,\| x-x_{0} \| \leq b \}, \] siendo \( a,\,b > 0 \).
Entonces existe un \( \delta>0 \) y una función continua \( \phi :[t_{0}-\delta,t_{0}+\delta]\to V \) tal que \( y=\phi (x) \) es una solución (no necesariamente única) del problema de valor inicial dado.

Sea \( K:=\displaystyle\max_{(t,x) \in A}\|f(t,x)\| \) y definimos \( \delta :=\min\{a,b/K\} \) y también los conjuntos \[ \begin{equation*} I:=[t_{0}-\delta,t_{0}+\delta]\quad \hspace{0.2cm} \text{y} \hspace{0.2cm}\quad M:=\{y \in Z\: :\: \| y-x_{0} \|_{Z} \leq b \}, \end{equation*} \] donde \( Z \) es el espacio de Banach \( C(I,V) \) con la norma \( \| y \|_{Z}= \max_{x \in I} \| y(x) \|_{V} \). El conjunto \( A \) es no vacío, convexo, cerrado y acotado.

Si definimos la aplicación \( T:M \to Z \) como \[ \begin{equation*} T(\phi)(t):=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f(s,\phi(s))ds, \end{equation*} \] tenemos \[ \begin{equation*} \| T(y)-x_{0}\|_{Z}\leq \max_{t \in I} \left\| \int_{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds\right\|_{V}\leq \delta K\leq b. \end{equation*} \] De este modo, \( T(M)\subseteq M \).

Ahora veamos que \( T \) es continua. Sea \( \{y_{n}\}\subseteq M \) tal que \( y_{n}\to y \) en \( M \) \[ Luego \begin{equation*} \begin{split} \| T(y_{n})-T(y)\|_Z&=\max_{t \in I}\| T(y_{n})(t)-T(y)(t)\|_{V}\\ &=\max_{t \in I}\left\| \int_{t_{0}}^{t}[f(t,y_{n}(t))-f(t,y(t))]dt\right\|_{V}\\ & \leq \int_{t_{0}-\delta}^{t_{0}+\delta}\| f(t,y_{n}(t))-f(t,y(t))\|_{V}\, dt. \end{split} \end{equation*} \].

\[ \begin{equation*} \lim_{n\to \infty}\| T(y_{n})-T(y)\|_{Z}\leq \int_{t_{0}-\delta}^{t_{0}+\delta}\lim_{n\to \infty}\| f(t,y_{n}(t))-f(t,y(t))\|_{V}dt=0. \end{equation*} \]

\( T(S) \) es equicontinua en todo conjunto acotado \( S\subseteq M \) porque \[ \begin{equation*} \sup_{y \in S}\| T(y)(t_{1})-T(y)(t_{2})\|_{V}\leq K|t_{1}-t_{2}|\to 0, \quad \text{cuando} \hspace{0.2cm} |t_{1}-t_{2}|\to 0. \end{equation*} \] Además, \( T(S) \) es acotado \[ \begin{equation*} \sup_{x \in S}\| T(x)(t)\|_{V}=\sup_{x\in S}\left\| x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f(s,x(s))ds\right\|_{V}\leq \| x_{0}\|_{V}+b. \end{equation*} \]

Estamos bajos las hipotesis del teorema de Arzelá-Ascoli, por tanto para cada \( S\subseteq M \),\( T \) es una aplicación compacta. El teorema del punto fijo de Schauder implica que \( T \) tiene un punto fijo \( \phi \in M \). Por nuestra elección de \( T \), la aplicación \( \phi:I\to V \) es una solucion continua de nuestro problema de valor inicial.

Sean \( V \) un espacio de Banach, \( X \) un abierto de \( I\times V \) (con I intervalo de la recta real) y \( f:X\subset I\times V\to V \) una función continua. Consideremos la ecuación diferencial: \[ \begin{equation} \frac{dx}{dt}= f(t,x). \end{equation} \]
Diremos que una función \( \phi:I\to V \) es una solución \( \epsilon \)-aproximada si se cumplen las siguientes condiciones:
1. \( (t,\phi(t))\in X, \hspace{0.2cm} \forall t\in I. \)
2. \( \|\phi'(t)-f(t,\phi(t))\|\leq \epsilon \), \( \forall \hspace{0.2cm} t\in I. \)

Sean \( t_0 \in \mathbb{R} \) y \( x_0 \in V \) fijados. Sea \( B(x_{0},r)\subset V \) una bola cerrada, i.e., \[ B(x_{0},r)=\{x\in V: \|x-x_{0}\|\leq r\}. \] Sea I un intervalo compacto de \( \mathbb{R} \) que contiene a \( t_0 \) y supongamos que \[ \begin{equation*} f:I\times B(x_{0},r)\to V \end{equation*} \] es una función continua tal que existe \( M > 0 \) con \[ \begin{equation*} \|f(t,x)\|\leq M, \quad \forall t\in I, \quad \forall x\in V \text{ con } \|x-x_{0}\|\leq r. \end{equation*} \]

Sea \( J \) la intersección de \( I \) con el segmento: \[ \begin{equation*} t_{0}-\frac{r}{M}\leq t\leq t_{0}+\frac{r}{M}.\\ \end{equation*} \] Entonces, para cada \( \epsilon>0 \), la ecuación diferencial \[ \begin{equation*} \frac{dx}{dt}=f(t,x) \end{equation*} \] posee una solución \( \epsilon \)-aproximada \( \phi: J\to B(x_{0},r) \) de clase \( C^{1} \) a trozos tal que \( \phi(t_{0})=x_{0} \).

1. tomemos el intervalo de puntos \( \{t \in I : t_{0}\leq t \leq T\} \), de longitud \( T-t_{0}\leq \frac{r}{M} \)
2. \[ \phi_{0}(t)= x_{0}+(t-t_{0})f(t_{0},x_{0}). \hspace{0.2cm} \forall t\in[t_0,t_{1}] \]
3. Repetir el proceso en un número finito de pasos \( t_{0}, t_{1},\, t_{2}, \cdots, t_{n} \)
   asociados a una secuencia correlativa de puntos \( x_{0}, x_{1},\, x_{2}, \cdots ,\,x_{n} \) y una secuencia de funciones \( \phi_{0},\phi_{1},\cdots,\phi_{n} \).

Desigualdad fundamental. Sean ahora dos soluciones \( \phi_{1} \) y \( \phi_{2} \) de la ecuación diferencial anterior, verificando las siguientes condiciones iniciales \[ x_{1}= \phi_{1}(t_{0}) \hspace{0.2cm} \text{y} \hspace{0.2cm} x_{2}=\phi_{2}(t_{0}). \] Entonces, si \( f \) es \( k \)-lipschitziana con respecto a \( x \), se tiene, para todo \( t\in I \), \[ \|\phi_{1}(t)-\phi_{2}(t)\|\leq \|x_{1}-x_{2}\|e^{k|t-t_{0}|} + (\epsilon_{1}+\epsilon_{2})\frac{e^{k|t-t_{0}|}-1}{k}. \]

Sea \( X \) un entorno de \( (t_{0},x_{0})\in \mathbb{R}\times V \), donde \( V \) es un espacio de Banach, y sea \( f(t,x) \) una función continua en \( X \) con valores en \( V \) y \( k \)-lipschitziana con respecto a x. Existe entonces un \( \alpha>0 \) con la siguiente propiedad: la ecuación diferencial \[ \frac{dx}{dt}= f(t,x) \] posee en el intervalo \( I=[t_{0}-\alpha,t_{0}+\alpha] \) una solución \( \phi:I\to V \) tal que \( \phi(t_{0})=x_{0} \).

\[ \begin{equation*} y'(t)= Ay(t), \end{equation*} \] \[ \begin{equation*} y(0)= y_{0}, \end{equation*} \]

donde \[ A:V\to V \]

\[ ¿¿\hspace{0.2cm}y(t)=exp(At)y_{0}\hspace{0.2cm} ?? \]

\[ \begin{equation} exp(At)= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(At)^{i}}{i!}. \end{equation} \]

Sea el operador A dado por:
\( A=\frac{d^{2}}{dx^{2}} \)

Es lineal pero no es limitado en \( L^{2}(\mathbb{R^{+}}) \). Basta considerar.

\( f_{m}(x)=\sqrt e^{-mx} \)
\( ||f_{m}||^{2}_{L^{2}(\mathbb{R^{+}})}=\int_{0}^{\infty}me^{-2mx}dx= \frac{1}{2} \)
\( ||Af_{m}||^{2}_{L^{2}(\mathbb{R^{+}})}=\int_{0}^{\infty}m^{3}e^{-2mx}dx= \frac{m}{2}\to \infty \hspace{0.2cm} \text{si} \hspace{0.3cm} m\to \infty \)

\[ e^{\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}t} \]

Busca condiciones para que un operador no limitado A sea el generador infinitesimal de un semigrupo, o dicho de manera sencilla que la exponencial de un operador no acotado esté bien definida.

Definición 1 Sea \( V \) un espacio de Banach. Diremos que una familia de operadores \( \{T(t)\}_{t\geq0}\subset \mathbb{L} (V,V) \) es un semigrupo semiparamétrico de operadores si:
1. \( T(0)=I \).
2. \( \forall s,t\geq0, \) \( T(s+t)=T(s)\circ T(t) \).
Si un semigrupo \( \{T(t)\}_{t\geq0} \) satisface, además:
3. \( x\in V \), se tiene que \( \lim_{t\to 0^+}T(t)x=x \). diremos que se trata de un semigrupo fuertemente continuo.
Definición 2 Diremos que el semigrupo anterior es de contraciones si \[ ||T(t)||\leq 1 \hspace{0.2cm} \forall t \]

3 Definición Dado el semigrupo anterior. Definimos el generador infinitesimal \( A_{T}: D(A_{T})\to V \) asociado al semigrupo como:
\[ A_{T}(x)= \lim_{t\to 0^{+}} \frac{T(t)x-x}{t}= \] siendo \[ D(A_{T})=\{x\in V \: : \:\exists \lim_{t\to 0^{+}} \frac{T(t)x-x}{t}\} \]. 4 Definición Sea \( A:V\to V \) un operador donde \( V \) es un espacio de Banach. Definimos, el conjunto resolvente de A como: \[ \rho=\{\lambda\in \mathbb{C}: \exists (A-\lambda I)^{-1}\} \]

Teorema de Hille-Yosida Sea \( V \) un espacio de Banach y sea un operador \( A_{T}:D(A_{T})\to V \) no necesariamente acotado. \( A_{T} \) es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones \( \{T(t)\}_{t\geq 0} \) si y sólo si se cumplen las dos siguientes propiedades:
1. \( A_{T} \) es cerrado y \( \overline{D(A_{T})}=V \).
2. El conjunto resolvente \( \rho(A_{T}) \) esta contenido en \( \mathbb{R^{+}} \) y para todo \( \lambda >0 \) se tiene además que \( \| (A-\lambda I)^{-1}\|\leq \frac{1}{\lambda} \).

La idea de la demostración en sencilla:
Intentamos aproximar el operador A generador infinitesimal del semigrupo por una secuencia de operadores continuos
\[ A_{n}x \to A x \hspace{0.2cm}\in D(A) \] de tal forma \[ (e^{A_{n}t})_{n\in \mathbb{N}} \]

este bien definido y forme una sucesión de Cauchy. El límite cuando \( n \to \infty \) sera:

\[ T(t) \]

Lema 1 Sea \( A_{T} \) un operador y supongamos que satisface las dos condiciones suficientes del Teorema de Hille-Yosida. Supongamos, además, que \[ R(\lambda,A_{T})= (\lambda I-A_{T})^{-1}, \] entonces: \[ \begin{equation*} \lim_{\lambda\to \infty} \lambda R(\lambda,A_{T})x= x,\hspace{0.2cm} \forall x\in V. \end{equation*} \]

Lema2 En las condiciones anteriores, \( A_{\lambda} \) con \( \lambda>0 \), es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo de contracciones \( e^{tA_{\lambda}} \). Además, \[ \begin{equation*} \|e^{tA_{\lambda}}x - e^{tA_{\mu}}x\| \leq t\|A_{\lambda}x-A_{\mu}x\|, \hspace{0.2cm} \forall x\in V,\: \forall \lambda,\mu >0,\: \forall t\geq 0. \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*} R(\lambda)x:= \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}T(t)x dt. \end{equation*} \]

Consideremos la siguiente ecuación de difusión: \[ \dot{u}= \Delta u, \] \[ u=0 \quad \text{ en } \partial \Omega, \] \[ u(0)=u_0 \in L^2 (\Omega). \]

Supongamos, además, que el espacio base es \( H=L^2(\Omega). \) Definimos

\[ A=\Delta : H^2(\Omega) \cap H^1_0 (\Omega) \subset H \rightarrow H. \]

entonces genera un semigrupo de contracciones \[ S(t)=e^{\Delta t}: H \rightarrow H, \quad t \geq0. \]