Ecuaciones diferenciales en espacios de Banach

Dado un espacio de Banach \( V \), \( I \) un intervalo de la recta real y
\[ \begin{equation*} f:X\subset I\times V\to V \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*} \frac{dx}{dt}= f(t,x). \end{equation*} \]

a la expresión anterior le llamaremos ecuación diferencial asociada a la función \( f \) en el intervalo \( I \)

\[ \begin{equation*} \frac{dx}{dt}= f(t,x). \end{equation*} \]

Diremos que una función \( \phi:I\to V \) es solución de la ecuación diferencial anterior si satisface las siguientes condiciones:

1. \[ (t,\phi(t))\in X, \hspace{0.2cm} \forall t\in I \]

2. \[ \phi'(t)= f(t,\phi(t)), \hspace{0.2cm} \forall t \in I \].

\[ \frac{dx}{dt}=f(t,x) \]

\[ \begin{equation*} x(t_0)= x_0, \hspace{0.2cm}\mbox{ donde } t_0\in I \mbox{ y } x_0\in V. \end{equation*} \]

Llamaremos problema de Cauchy asociado a la ecuación \( \frac{dx}{dt}= f(t,x) \) y a la condición inicial \( x(t_0)= x_0 \) en el intervalo \( I \), al problema de encontrar una función \( \phi:I\to V \) que es solución de la ecuación diferencial anterior y que, además, cumple que \( \phi(t_0)=x_0 \).

Dado el problema de Cauchy anterior, bajo las mismas hipótesis y notación, se tiene, entonces, que \( \phi(t) \) es solución si y sólo si se verifica:

\[ \phi(t)= \phi(t_0)+\int_{t_0}^{t} f(s,\phi(s))ds, \hspace{0.2cm} \forall t\in I. \]

Sean un espacio de Banach \( V \),una función \( f:D\subset \mathbb{R} \to V \) y un punto \( x\in D \). Diremos que \( f \) es derivable en \( x \) si existe el límite:

\[ \begin{equation*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \end{equation*} \]
que denotaremos por \( f'(x) \).

\[ f:[a,b] \subset \mathbb{R}\to V \]

\[ \begin{equation*} \int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x. \hspace{0.2cm} \end{equation*} \]

El problema V dimensión infinita

Sea \( f:[a,b]\subset \mathbb{R}\to V \) una función continua, donde \( V \) es un espacio de Banach y sea \( x^{*}\in V^{*} \). Se tiene entonces: \[ \begin{equation*} x^{*}\left(\int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x\right)= \int_a^b{x^{*}(f(x))}\,\mathrm{d}x, \end{equation*} \] es decir, la integral conmuta con cada elemento del dual \( x^{*} \).

Sea \( V \) un espacio de Banach y sea \( f:[a,b]\subset\mathbb{R} \to V \) una función continua. Diremos que \( F:[a,b]\subset \mathbb{R}\to V \), con \( F\in C^{1}(a,b)\cap C[a,b] \), es una primitiva de \( f \) en \( [a,b] \) si: \( F'(x)=f(x) \), \( \forall x\in [a,b] \).

Sea \( V \) un espacio de Banach y sea \( f:[a,b] \subset \mathbb{R} \to V \) una función continua. Se verifican las siguientes propiedades:
a) Si \( F \) es una primitiva de \( f \) en \( [a,b] \), entonces: \[ \begin{equation*} \int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x= F(b)-F(a). \end{equation*} \] b) Si \( F(x)=f\in C^{1}(a,b) \), entonces \[ \begin{equation*} \int_a^b{f'(x)}\,\mathrm{d}x= f(b)-f(a). \end{equation*} \]

c) Si \( \int_a^x{f(x)}\,\mathrm{d}x= F(x) \), \( a\leq x \leq b \), entonces \( F \) es una primitiva de \( f \) en \( [a,b] \).

d) Sea \( \phi:[\alpha,\beta]\to [a,b] \) que cumple además:
1. \( \phi \) es biyectiva.
2. \( \phi \in C^{1} [\alpha,\beta] \).
Entonces: \( \int_{a}^{b} f(t)dt= \int_{\phi^{-1}(a)}^{ \phi^-1(b)} f(\phi'(s))\phi'(s)ds \).

Dada \[ F:V\to V \]
\[ \exists{x}\in V / F(x)=x \]
\[ ¿\cdots \cdots ? \]

ie \[ F: C[I]\to C[I] \]

\[ F(\phi(t))= \phi(t_0)+\int_{t_0}^{t} f(s,\phi(s))ds, \hspace{0.2cm} t\in I. \hspace{0.2cm} \phi \in C[I]\to V \]

Sea \( V \) un espacio de Banach y sea \( X \) un subconjunto no vacío, convexo y compacto del espacio de Banach \( V \), entonces \( X \) tiene la propiedad del punto fijo.

    $$ f:[a,b] \subset \mathbb{R}\to V $$

\[ \begin{equation*} \int_a^b{f(x)}\,\mathrm{d}x. \end{equation*} \]

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