En este ejercicio se replicó el trabajo original de Charles W. Cobb y Paul H. Douglas “A Theory of Production” (1928). El modelo busca estimar la producción a partir del Capital y la Mano de Obra (Labor). El modelo original es
\[ P=bL^kC^{1-k} \]
Note que en el artículo de Cobb-Douglas la suma de los coeficientes de las variables suman 1. En algunos materiales que se revisaron los coefficientes pueden no tener esta restricción, sin embargo apegandonos al artículo orignal mantendremos la restrición. Los datos corresponden a Estados Unidos entre los años 1989 y 1922:
prod <- c(100, 101, 112, 122, 124, 122, 143, 152, 151, 126, 155, 159, 153, 177,
184, 169, 189, 225, 227, 223, 218, 231, 179, 240)
lab <- c(100, 105, 110, 117, 122, 121, 125, 134, 140, 123, 143, 147, 148, 155,
156, 152, 156, 183, 198, 201, 196, 194, 146, 161)
cap <- c(100, 107, 114, 122, 131, 138, 149, 163, 176, 185, 198, 208, 216, 226,
236, 244, 266, 298, 335, 366, 387, 407, 417, 431)
Cabe señalara que para la linealización del modelo nos apoyamos en cierta medida con el prodecimiento de Halling (2006).
Comenzamos por aplicar logaritmo natural a ambos lados de la ecucación
\( \ln (P)=\ln(b)+k\ln(L)+(1-k)\ln(c) \)
\( \ln (P)=\ln(b)+k\ln(L)+\ln(C)-k\ln(C) \)
\( \ln(P)-\ln(C)=\ln(b)+k[\ln(L)-\ln(C)] \)
La versión de Halling utiliza esta forma, sin embargo nos parece más sencillo utilizar una forma aún más simplificada
\[ \ln\left (\frac{P}{C}\right )=\ln(b)+k\left[ \ln\left (\frac{L}{C}\right )\right] \]
Donde \( k \) es es estimador de mínimos cuadrados, y \( \ln(b) \) corresponde al intercepto del modelo lineal.
Primero tomando de Halling obtenemos:
cd <- data.frame(prod = prod, lab = lab, cap = cap)
row.names(cd) <- 1899:1922
Halling.lm <- lm(formula = I(log(prod) - log(cap)) ~ I(log(lab) - log(cap)),
data = cd)
coef(Halling.lm)
## (Intercept) I(log(lab) - log(cap))
## 0.007044 0.744606
Esta version utiliza la función “I()” para introducir las partes de la ecuación, sin embargo utilizando la segunda forma:
cd.lm <- lm(log(prod/cap) ~ log(lab/cap))
summary(cd.lm)
##
## Call:
## lm(formula = log(prod/cap) ~ log(lab/cap))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.0872 -0.0370 -0.0080 0.0342 0.1407
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.00704 0.02013 0.35 0.73
## log(lab/cap) 0.74461 0.04221 17.64 1.8e-14 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.0584 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.934, Adjusted R-squared: 0.931
## F-statistic: 311 on 1 and 22 DF, p-value: 1.8e-14
Notemos que el resultado es el mismo, para ambos resultados así como para el artículo de Cobb y Douglas. Y al llamar la función “summary()” observamos que el modelo es significativo, trasladando los resultados del modelo lineal al modelo original obtenemos:
\[ P'= (1.0071)L^{0.745} C^{0.255} \]
Por último veamos la producción observada contra la estimada:
p_prod <- exp(cd.lm$coefficients[1]) * (lab^cd.lm$coefficients[2]) * cap^(1 -
cd.lm$coefficients[2])
plot(1899:1922, prod, type = "p", col = 6, ylab = "Producción", pch = 3, xlab = "año")
lines(1899:1922, p_prod, col = 4, lty = 2)
Notemos que algo sumamente interesante del modelo es que incluso la caida al final del periodo obtiene un buen resultado, no así para el año siguiente y su recuperación.
Cobb, C. W., & Douglas, P. H. (1928). A theory of Production. The American Economic Review, 18(1), 139–165. Retrieved from http://www.jstor.org/stable/1811556
Halling, C. (2006). Multiple Linear Regression. Retrieved from http://sphaerula.com/legacy/R/cobbDouglas.html