1 1. Descripción de la base de datos

Para esta actividad se utilizará la base de datos babies, correspondiente al estudio Child Health and Development Studies, desarrollado en Estados Unidos.

La base contiene información relacionada con las madres y sus bebés, incluyendo características maternas, consumo de cigarrillo durante el embarazo, duración de la gestación y peso al nacer.

Se estudiarán dos variables principales:

  • Consumo de cigarrillo durante el embarazo.
  • Duración de la gestación en semanas.

La finalidad es aplicar técnicas de estadística inferencial para estimar parámetros poblacionales a partir de una muestra aleatoria y estudiar las propiedades de los estimadores.

1.1 1.1. Cargar la base de datos

if (!requireNamespace("openintro", quietly = TRUE)) {
  install.packages("openintro")
}

if (!requireNamespace("dplyr", quietly = TRUE)) {
  install.packages("dplyr")
}

if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggplot2")
}

library(openintro)
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(knitr)

data("babies", package = "openintro")

datos_originales <- babies

1.2 1.2. Identificación de la información

dim(datos_originales)
## [1] 1236    8
names(datos_originales)
## [1] "case"      "bwt"       "gestation" "parity"    "age"       "height"   
## [7] "weight"    "smoke"
str(datos_originales)
## tibble [1,236 × 8] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ case     : int [1:1236] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ bwt      : int [1:1236] 120 113 128 123 108 136 138 132 120 143 ...
##  $ gestation: int [1:1236] 284 282 279 NA 282 286 244 245 289 299 ...
##  $ parity   : int [1:1236] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ age      : int [1:1236] 27 33 28 36 23 25 33 23 25 30 ...
##  $ height   : int [1:1236] 62 64 64 69 67 62 62 65 62 66 ...
##  $ weight   : int [1:1236] 100 135 115 190 125 93 178 140 125 136 ...
##  $ smoke    : int [1:1236] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ...
head(datos_originales)

La función dim() permite conocer el número de filas y columnas.

La función names() identifica los nombres de las variables.

La función str() muestra la estructura y el tipo de dato de cada variable.

2 2. Planteamiento del problema

El consumo de cigarrillo durante el embarazo constituye una variable de interés en los estudios relacionados con la salud materno-infantil.

Una de las características que puede analizarse es la duración de la gestación, expresada en semanas.

Se desea estudiar la proporción de madres que fumaron durante el embarazo y estimar la duración promedio de la gestación.

También se busca comparar la duración de la gestación entre madres fumadoras y no fumadoras.

2.1 2.1. Pregunta de investigación

¿Cuál es la proporción de madres fumadoras y cuál es la duración media de la gestación? ¿Existen diferencias en las semanas de gestación entre madres fumadoras y no fumadoras?

2.2 2.2. Objetivo general

Aplicar técnicas de estimación puntual y por intervalos para estudiar la proporción de madres fumadoras y la duración de la gestación, verificando las propiedades estadísticas de los estimadores utilizados.

2.3 2.3. Objetivos específicos

  • Identificar la población y las variables de estudio.
  • Determinar el tamaño de muestra.
  • Seleccionar una muestra aleatoria simple.
  • Estimar la proporción poblacional de madres fumadoras.
  • Estimar la media y la varianza de las semanas de gestación.
  • Comparar la duración de la gestación según el consumo de cigarrillo.
  • Analizar las propiedades de insesgadez, consistencia y eficiencia.

3 3. Población, muestra y variables

3.1 3.1. Población de referencia

Para desarrollar esta práctica se considerarán como población finita de referencia todos los registros válidos de la base babies después de aplicar los criterios de limpieza.

Esta población de referencia es el conjunto de registros disponibles para el ejercicio. No debe confundirse con todas las madres gestantes de Estados Unidos ni con la población actual de Colombia.

3.2 3.2. Unidad estadística

Cada unidad estadística corresponde a un registro de una madre y su bebé en el estudio.

3.3 3.3. Variables de análisis

Variable Descripción Tipo
smoke Consumo de cigarrillo durante el embarazo Cualitativa nominal dicotómica
gestation Duración de la gestación en días Cuantitativa
gestation_semanas Duración de la gestación en semanas Cuantitativa continua

La variable smoke se codifica así:

  • 0: madre no fumadora.
  • 1: madre fumadora.

La variable gestation está expresada en días. Para facilitar la interpretación se realizará la conversión a semanas:

\[ \text{Semanas}=\frac{\text{Días de gestación}}{7} \]

3.4 3.4. Parámetros poblacionales de interés

Se estudiarán los siguientes parámetros:

Proporción poblacional:

\[ p=P(\text{madre fumadora}) \]

Media poblacional:

\[ \mu=E(X) \]

Donde \(X\) representa las semanas de gestación.

Varianza poblacional:

\[ \sigma^2=Var(X) \]

4 4. Preparación y exploración de los datos

4.1 4.1. Limpieza de la información

Se conservarán únicamente los registros con información válida para las dos variables de estudio.

datos <- datos_originales %>%
  transmute(
    smoke = as.numeric(as.character(smoke)),
    gestation_dias = as.numeric(as.character(gestation))
  ) %>%
  filter(
    !is.na(smoke),
    !is.na(gestation_dias),
    smoke %in% c(0, 1),
    gestation_dias > 0,
    gestation_dias < 999
  ) %>%
  mutate(
    gestation_semanas = gestation_dias / 7,
    grupo = factor(
      smoke,
      levels = c(0, 1),
      labels = c("No fumadora", "Fumadora")
    )
  )

N <- nrow(datos)

cat("Número de registros válidos:", N)
## Número de registros válidos: 1213

4.2 4.2. Distribución de las madres fumadoras

tabla_fumadoras <- datos %>%
  count(grupo) %>%
  mutate(
    porcentaje = 100 * n / sum(n)
  )

kable(tabla_fumadoras, digits = 2)
grupo n porcentaje
No fumadora 733 60.43
Fumadora 480 39.57 
ggplot(datos, aes(x = grupo, fill = grupo)) +
  geom_bar() +
  labs(
    title = "Distribución de madres según consumo de cigarrillo",
    x = "Consumo de cigarrillo",
    y = "Frecuencia"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

4.3 4.3. Distribución de las semanas de gestación

summary(datos$gestation_semanas)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   21.14   38.86   40.00   39.90   41.14   50.43
ggplot(datos, aes(x = gestation_semanas)) +
  geom_histogram(
    bins = 25,
    fill = "steelblue",
    color = "white"
  ) +
  labs(
    title = "Distribución de las semanas de gestación",
    x = "Semanas de gestación",
    y = "Frecuencia"
  ) +
  theme_minimal()

5 5. Cálculo del tamaño de muestra

En esta actividad se utilizará un muestreo aleatorio simple sin reemplazo.

Esto significa que cada registro tiene la misma probabilidad de ser seleccionado y que una observación no puede aparecer dos veces en la muestra.

El tamaño de muestra se calculará considerando:

  • Nivel de confianza del 95%.
  • Error máximo admisible para la proporción: 5%.
  • Error máximo admisible para la media: 0.5 semanas.

Para la proporción se utilizará el criterio conservador \(p=0.5\), porque maximiza la variabilidad de una variable dicotómica cuando no se conoce previamente la proporción.

Para la media se utilizará una muestra piloto de 30 registros para obtener una estimación preliminar de la desviación estándar.

5.1 5.1. Tamaño de muestra para estimar una proporción

La expresión inicial para una población grande es:

\[ n_0=\frac{Z_{\alpha/2}^{2}pq}{E^2} \]

Donde:

  • \(Z_{\alpha/2}\): valor crítico de la distribución normal.
  • \(p\): proporción esperada.
  • \(q=1-p\).
  • \(E\): error máximo permitido.

Cuando la población es finita se aplica:

\[ n=\frac{Nn_0}{N+n_0-1} \]

confianza <- 0.95

Z <- qnorm(1 - (1 - confianza) / 2)

p <- 0.5
q <- 1 - p

E_p <- 0.05

n0_p <- (Z^2 * p * q) / E_p^2

n_p <- (N * n0_p) / (N + n0_p - 1)

n_p <- ceiling(n_p)

cat("Tamaño de población:", N, "\n")
## Tamaño de población: 1213
cat("Tamaño de muestra para proporción:", n_p)
## Tamaño de muestra para proporción: 292

5.2 5.2. Tamaño de muestra para estimar la media

Para estimar la media se utiliza:

\[ n_0=\frac{Z_{\alpha/2}^{2}s^2}{E^2} \]

Donde:

  • \(s\): desviación estándar obtenida de la muestra piloto.
  • \(E\): error máximo permitido para la media.

Posteriormente se aplica la corrección para población finita.

set.seed(123)

piloto <- datos[
  sample(1:N, size = min(30, N), replace = FALSE),
]

s_piloto <- sd(piloto$gestation_semanas)

E_media <- 0.5

n0_media <- (Z^2 * s_piloto^2) / E_media^2

n_media <- (N * n0_media) /
  (N + n0_media - 1)

n_media <- ceiling(n_media)

cat("Desviación estándar de la muestra piloto:",
    round(s_piloto, 4), "\n")
## Desviación estándar de la muestra piloto: 2.2655
cat("Tamaño de muestra para la media:", n_media)
## Tamaño de muestra para la media: 75

5.3 5.3. Tamaño de muestra definitivo

Como se estudiarán tanto una proporción como una media, se seleccionará el mayor de los dos tamaños calculados.

\[ n=\max(n_p,n_{\mu}) \]

n_final <- min(N, max(n_p, n_media))

cat("Tamaño de muestra definitivo:", n_final)
## Tamaño de muestra definitivo: 292

Interpretación: el tamaño de muestra definitivo permite atender los dos criterios de precisión establecidos, bajo los supuestos del muestreo aleatorio simple.

La muestra piloto se utiliza para estimar la desviación estándar preliminar. La selección definitiva se realizará independientemente sobre el marco de referencia completo.

6 6. Selección de la muestra aleatoria

Se seleccionará una muestra aleatoria simple sin reemplazo utilizando la función sample().

set.seed(2026)

muestra <- datos[
  sample(
    1:N,
    size = n_final,
    replace = FALSE
  ),
]

cat("Población de referencia:", N, "\n")
## Población de referencia: 1213
cat("Tamaño de muestra:", nrow(muestra))
## Tamaño de muestra: 292

6.1 6.1. Descripción de la muestra seleccionada

head(muestra)
summary(muestra$gestation_semanas)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   31.86   38.96   40.00   39.99   41.14   50.14

6.2 6.2. Distribución de madres fumadoras en la muestra

tabla_muestra <- muestra %>%
  count(grupo) %>%
  mutate(
    porcentaje = 100 * n / sum(n)
  )

kable(tabla_muestra, digits = 2)
grupo n porcentaje
No fumadora 168 57.53
Fumadora 124 42.47

7 7. Estimación de los parámetros poblacionales

En esta sección se calcularán los estimadores a partir de la muestra seleccionada.

7.1 7.1. Estimación de la proporción poblacional

El parámetro de interés es:

\[ p=P(\text{madre fumadora}) \]

Su estimador es la proporción muestral:

\[ \widehat p=\frac{x}{n} \]

Donde:

  • \(x\): número de madres fumadoras en la muestra.
  • \(n\): tamaño de la muestra.
n <- nrow(muestra)

x <- sum(muestra$smoke == 1)

p_estimado <- mean(muestra$smoke)

cat("Madres fumadoras:", x, "\n")
## Madres fumadoras: 124
cat("Tamaño de muestra:", n, "\n")
## Tamaño de muestra: 292
cat("Proporción estimada:", round(p_estimado, 4), "\n")
## Proporción estimada: 0.4247
cat("Porcentaje estimado:",
    round(p_estimado * 100, 2), "%")
## Porcentaje estimado: 42.47 %

7.1.1 Intervalo de confianza para la proporción

Se utilizará el error estándar con corrección para población finita:

\[ EE(\widehat p)= \sqrt{\frac{N-n}{N}\frac{s_X^2}{n}} \]

Donde \(s_X^2\) es la varianza muestral de la variable indicadora.

EE_p <- sqrt(
  ((N - n) / N) *
    var(muestra$smoke) / n
)

LI_p <- max(0, p_estimado - Z * EE_p)
LS_p <- min(1, p_estimado + Z * EE_p)

data.frame(
  Estimacion = p_estimado,
  Error_estandar = EE_p,
  Limite_inferior = LI_p,
  Limite_superior = LS_p
)

7.2 7.2. Estimación de la media poblacional

El parámetro es la media de semanas de gestación:

\[ \mu=E(X) \]

El estimador es:

\[ \overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \]

media_estimada <- mean(muestra$gestation_semanas)

cat("Media estimada de gestación:",
    round(media_estimada, 4), "semanas")
## Media estimada de gestación: 39.9936 semanas

7.2.1 Intervalo de confianza para la media

\[ EE(\overline X)= \sqrt{\frac{N-n}{N}\frac{s^2}{n}} \]

EE_media <- sqrt(
  ((N - n) / N) *
    var(muestra$gestation_semanas) / n
)

t_critico <- qt(0.975, df = n - 1)

LI_media <- media_estimada - t_critico * EE_media
LS_media <- media_estimada + t_critico * EE_media

data.frame(
  Media_estimada = media_estimada,
  Error_estandar = EE_media,
  Limite_inferior = LI_media,
  Limite_superior = LS_media
)

7.3 7.3. Estimación de la varianza poblacional

La varianza muestral corregida se calcula mediante:

\[ S^2= \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2}{n-1} \]

varianza_estimada <- var(muestra$gestation_semanas)

desviacion_estimada <- sd(muestra$gestation_semanas)

cat("Varianza estimada:",
    round(varianza_estimada, 4), "\n")
## Varianza estimada: 5.4321
cat("Desviación estándar estimada:",
    round(desviacion_estimada, 4))
## Desviación estándar estimada: 2.3307

7.4 7.4. Tabla general de estimaciones

tabla_estimadores <- data.frame(
  Parametro = c(
    "Proporción de madres fumadoras",
    "Media de semanas de gestación",
    "Varianza de semanas de gestación",
    "Desviación estándar"
  ),

  Estimacion = c(
    p_estimado,
    media_estimada,
    varianza_estimada,
    desviacion_estimada
  )
)

kable(tabla_estimadores, digits = 4)
Parametro Estimacion
Proporción de madres fumadoras 0.4247
Media de semanas de gestación 39.9936
Varianza de semanas de gestación 5.4321
Desviación estándar 2.3307

8 8. Comparación entre madres fumadoras y no fumadoras

Se analizará si existen diferencias en la duración de la gestación entre los dos grupos.

8.1 8.1. Estadísticos descriptivos por grupo

comparacion <- muestra %>%
  group_by(grupo) %>%
  summarise(
    n = n(),
    media = mean(gestation_semanas),
    mediana = median(gestation_semanas),
    varianza = var(gestation_semanas),
    desviacion = sd(gestation_semanas),
    .groups = "drop"
  )

kable(comparacion, digits = 3)
grupo n media mediana varianza desviacion
No fumadora 168 40.117 40.143 5.166 2.273
Fumadora 124 39.826 40.000 5.788 2.406

8.2 8.2. Representación gráfica

ggplot(
  muestra,
  aes(x = grupo, y = gestation_semanas, fill = grupo)
) +
  geom_boxplot(alpha = 0.8) +
  labs(
    title = "Semanas de gestación según consumo de cigarrillo",
    x = "Condición de la madre",
    y = "Semanas de gestación"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

8.3 8.3. Diferencia de medias

Se plantea:

\[ H_0:\mu_F-\mu_N=0 \]

\[ H_1:\mu_F-\mu_N\neq 0 \]

Donde:

  • \(\mu_F\): media de gestación de madres fumadoras.
  • \(\mu_N\): media de gestación de madres no fumadoras.
prueba <- t.test(
  gestation_semanas ~ grupo,
  data = muestra,
  conf.level = 0.95
)

prueba
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  gestation_semanas by grupo
## t = 1.0469, df = 256.46, p-value = 0.2961
## alternative hypothesis: true difference in means between group No fumadora and group Fumadora is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.2566584  0.8392785
## sample estimates:
## mean in group No fumadora    mean in group Fumadora 
##                  40.11735                  39.82604

La prueba permite evaluar si existe evidencia estadística de una diferencia entre las medias de los dos grupos.

Un resultado estadísticamente significativo no demuestra por sí mismo una relación causal entre fumar y la duración de la gestación.

9 9. Verificación de las propiedades de los estimadores

Las propiedades de los estimadores se estudian mediante la teoría de la estimación y los supuestos del mecanismo de muestreo.

En esta actividad se considera el muestreo aleatorio simple sin reemplazo de una población finita de referencia.

9.1 9.1. Insesgadez

Un estimador es insesgado cuando su valor esperado coincide con el parámetro que pretende estimar.

\[ E(\widehat{\theta})=\theta \]

9.1.1 A. Insesgadez de la proporción

El estimador es:

\[ \widehat p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \]

Bajo muestreo aleatorio simple:

\[ E(\widehat p)=P \]

Por tanto, la proporción muestral es insesgada para la proporción de la población finita de referencia.

9.1.2 B. Insesgadez de la media

El estimador es:

\[ \overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \]

Su esperanza bajo muestreo aleatorio simple es:

\[ E(\overline X)=\mu \]

Por tanto, la media muestral es insesgada para la media de la población finita de referencia.

9.1.3 C. Insesgadez de la varianza

La varianza muestral corregida se calcula con denominador \(n-1\).

Cuando la varianza poblacional finita se define como:

\[ S_N^2= \frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i-\overline X_N)^2}{N-1} \]

Se cumple:

\[ E(S^2)=S_N^2 \]

Por tanto, la varianza muestral corregida es insesgada para esta definición de varianza poblacional.

9.2 9.2. Comparación con los parámetros de referencia

Para comprender la diferencia entre parámetro y estimador, se calcularán los parámetros utilizando todos los registros válidos de la base.

Esta comparación es posible porque, en esta actividad, el conjunto de registros disponibles se utiliza como población finita de referencia.

p_referencia <- mean(datos$smoke)

media_referencia <- mean(datos$gestation_semanas)

varianza_referencia <- 
  sum(
    (datos$gestation_semanas - media_referencia)^2
  ) / (N - 1)

comparacion_estimaciones <- data.frame(
  Parametro = c(
    "Proporción",
    "Media",
    "Varianza"
  ),

  Valor_referencia = c(
    p_referencia,
    media_referencia,
    varianza_referencia
  ),

  Estimacion_muestral = c(
    p_estimado,
    media_estimada,
    varianza_estimada
  )
)

comparacion_estimaciones$Diferencia <-
  comparacion_estimaciones$Estimacion_muestral -
  comparacion_estimaciones$Valor_referencia

kable(comparacion_estimaciones, digits = 4)
Parametro Valor_referencia Estimacion_muestral Diferencia
Proporción 0.3957 0.4247 0.0289
Media 39.9019 39.9936 0.0917
Varianza 5.2642 5.4321 0.1679

Interpretación:

Si la estimación muestral no coincide exactamente con el parámetro de referencia, existe un error de muestreo.

Esto no significa que el estimador sea sesgado.

La insesgadez se refiere al promedio de las estimaciones que se obtendrían al considerar todas las muestras posibles del mismo tamaño bajo el diseño de muestreo establecido.

9.3 9.3. Consistencia

Un estimador es consistente si converge en probabilidad al parámetro verdadero cuando el tamaño de muestra aumenta.

\[ \widehat{\theta}_n \xrightarrow{P}\theta \]

Para el muestreo aleatorio simple sin reemplazo, las varianzas de los estimadores de la media y de la proporción disminuyen conforme aumenta el tamaño de la muestra.

Para la media:

\[ Var(\overline X)= \left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S_N^2}{n} \]

Para la proporción:

\[ Var(\widehat p)= \left(1-\frac{n}{N}\right) \frac{S_X^2}{n} \]

Se utilizarán estas expresiones para comparar el error estándar teórico de diferentes tamaños muestrales.

n1 <- 30
n2 <- 100
n3 <- 300

Sx2 <- N / (N - 1) *
  p_referencia * (1 - p_referencia)

EE_p_30 <- sqrt((1 - n1/N) * Sx2/n1)
EE_p_100 <- sqrt((1 - n2/N) * Sx2/n2)
EE_p_300 <- sqrt((1 - n3/N) * Sx2/n3)

EE_m_30 <- sqrt((1 - n1/N) *
  varianza_referencia/n1)

EE_m_100 <- sqrt((1 - n2/N) *
  varianza_referencia/n2)

EE_m_300 <- sqrt((1 - n3/N) *
  varianza_referencia/n3)

tabla_consistencia <- data.frame(
  Tamano_muestra = c(30, 100, 300),
  EE_proporcion = c(
    EE_p_30,
    EE_p_100,
    EE_p_300
  ),
  EE_media = c(
    EE_m_30,
    EE_m_100,
    EE_m_300
  )
)

kable(tabla_consistencia, digits = 5)
Tamano_muestra EE_proporcion EE_media
30 0.08820 0.41368
100 0.04686 0.21978
300 0.02450 0.11492

Interpretación:

Al aumentar el tamaño de muestra se espera que disminuya el error estándar de los estimadores.

Esto indica que las estimaciones presentan menor variabilidad muestral.

En este diseño finito, si se realiza un censo (\(n=N\)), el error de muestreo de la media y de la proporción es cero.

9.4 9.4. Eficiencia

Un estimador es más eficiente que otro cuando, para estimar el mismo parámetro y bajo las mismas condiciones, presenta menor varianza.

Para la proporción:

\[ Var(\widehat p)= \left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S_X^2}{n} \]

Para la media:

\[ Var(\overline X)= \left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{S_N^2}{n} \]

En este ejercicio se estudia la eficiencia a través de la varianza teórica de los estimadores bajo el diseño de muestreo establecido.

No se debe comparar directamente la varianza de la proporción con la varianza de la media, porque estiman parámetros diferentes.

9.5 9.5. Suficiencia

Un estadístico es suficiente cuando contiene toda la información de la muestra relevante para estimar un parámetro, bajo un modelo probabilístico determinado.

Por ejemplo, en un modelo Bernoulli independiente, la suma de las observaciones:

\[ T=\sum_{i=1}^{n}X_i \]

es un estadístico suficiente para la probabilidad \(p\).

La suficiencia no se determina comparando la estimación con el parámetro poblacional.

En esta práctica no se afirmará que todos los estimadores calculados son suficientes bajo cualquier modelo. La propiedad depende de la distribución y del diseño probabilístico adoptados.

10 10. Conclusiones

A partir de los resultados obtenidos, responda:

  1. ¿Cuál es la proporción estimada de madres fumadoras?

  2. ¿Cuál es la media estimada de semanas de gestación?

  3. ¿Cuál fue el tamaño de muestra calculado y cuáles fueron los criterios utilizados para determinarlo?

  4. ¿Por qué se utilizó una muestra piloto para calcular el tamaño de muestra de la media?

  5. ¿La estimación muestral coincide exactamente con el parámetro de referencia? Explique.

  6. ¿Por qué la diferencia entre el estimador y el parámetro no demuestra que el estimador sea sesgado?

  7. ¿Qué ocurre con el error estándar cuando aumenta el tamaño de muestra?

  8. ¿Qué significa que un estimador sea consistente?

  9. ¿Por qué no es posible conocer directamente la insesgadez de un estimador cuando se desconoce la población?

  10. ¿Qué diferencias se encontraron entre las semanas de gestación de madres fumadoras y no fumadoras?